Kooli õppekava teemade läbimõtlemine videotundide abil on mugav viis materjali õppimiseks ja assimileerimiseks. Video aitab suunata õpilaste tähelepanu põhilistele teoreetilistele punktidele ja mitte jätta tähelepanuta olulisi detaile. Vajadusel saavad õpilased alati videotundi uuesti kuulata või mõne teemaga tagasi minna.
See 8. klassile mõeldud videoõpetus aitab õpilastel õppida uut geomeetria teemat.
Eelmises teemas uurisime Pythagorase teoreemi ja analüüsisime selle tõestust.
Samuti on olemas teoreem, mida tuntakse Pythagorase pöördteoreemina. Vaatleme seda üksikasjalikumalt.
Teoreem. Kolmnurk on täisnurkne, kui see rahuldab võrdsust: kolmnurga ühe külje väärtus ruudus on sama, mis ülejäänud kahe külje ruudu summa.
Tõestus. Oletame, et meile on antud kolmnurk ABC, milles on tõene võrdus AB 2 = CA 2 + CB 2. Peame tõestama, et nurk C on 90 kraadi. Vaatleme kolmnurka A 1 B 1 C 1, mille nurk C 1 on 90 kraadi, külg C 1 A 1 on võrdne CA ja külg B 1 C 1 võrdub BC.
Rakendades Pythagorase teoreemi, kirjutame kolmnurga külgede suhte A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Asendades avaldise võrdsete külgedega, saame A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
Teoreemi tingimustest teame, et AB 2 = CA 2 + CB 2 . Siis saame kirjutada A 1 B 1 2 = AB 2, mis tähendab, et A 1 B 1 = AB.
Oleme leidnud, et kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 kolm külge on võrdsed: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Nii et need kolmnurgad on kongruentsed. Kolmnurkade võrdsusest järeldub, et nurk C võrdub nurgaga C 1 ja võrdub vastavalt 90 kraadiga. Oleme kindlaks teinud, et kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk ja selle nurk C on 90 kraadi. Oleme selle teoreemi tõestanud.
Seejärel toob autor näite. Oletame, et meile antakse suvaline kolmnurk. Selle külgede mõõtmed on teada: 5, 4 ja 3 ühikut. Kontrollime väidet Pythagorase teoreemile vastupidisest teoreemist: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Kui väide on õige, siis antud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk.
Järgmistes näidetes on kolmnurgad samuti täisnurksed, kui nende küljed on võrdsed:
5, 12, 13 ühikut; võrdus 13 2 = 5 2 + 12 2 on tõene;
8, 15, 17 ühikut; võrrand 17 2 = 8 2 + 15 2 on tõene;
7, 24, 25 ühikut; võrrand 25 2 = 7 2 + 24 2 on tõene.
Pythagorase kolmnurga mõiste on teada. See on täisnurkne kolmnurk, mille külgmised väärtused on täisarvud. Kui Pythagorase kolmnurga jalad on tähistatud a ja c ning hüpotenuusiga b, saab selle kolmnurga külgede väärtused kirjutada järgmiste valemite abil:
b \u003d k x (m 2 - n 2)
c \u003d k x (m 2 + n 2)
kus m, n, k on naturaalarvud ja m väärtus on suurem kui n.
Huvitav fakt: kolmnurka külgedega 5, 4 ja 3 nimetatakse ka Egiptuse kolmnurgaks, sellist kolmnurka tunti Vana-Egiptuses.
Selles videoõpetuses tutvusime Pythagorase teoreemi vastupidise teoreemiga. Kaaluge tõendit üksikasjalikult. Samuti said õpilased teada, milliseid kolmnurki nimetatakse Pythagorase kolmnurkadeks.
Õpilased saavad selle videotunni abil hõlpsasti iseseisvalt tutvuda teemaga "Teoreem, Pythagorase teoreemi pöördväärtus".
Pythagorase teoreem ütleb:
Täisnurkses kolmnurgas on jalgade ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga:
a 2 + b 2 = c 2,
- a ja b- täisnurga moodustavad jalad.
- koos on kolmnurga hüpotenuus.
Pythagorase teoreemi valemid
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Pythagorase teoreemi tõestus
Täisnurkse kolmnurga pindala arvutatakse järgmise valemiga:
S = \frac(1)(2)ab
Suvalise kolmnurga pindala arvutamiseks on pindala valem järgmine:
- lk- poolperimeeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- r on sisse kirjutatud ringi raadius. Ristküliku jaoks r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Seejärel võrdsustame kolmnurga pindala jaoks mõlema valemi paremad küljed:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \parem)
2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Pythagorase pöördteoreem:
Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis on kolmnurk täisnurkne kolmnurk. See tähendab mis tahes positiivsete arvude kolmiku korral a, b ja c, selline, et
a 2 + b 2 = c 2,
on täisnurkne kolmnurk jalgadega a ja b ja hüpotenuus c.
Pythagorase teoreem- üks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Seda tõestas teadlane matemaatik ja filosoof Pythagoras.
Teoreemi tähendus selles, et seda saab kasutada teiste teoreemide tõestamiseks ja ülesannete lahendamiseks.
Lisamaterjal:
Teema: Teoreem vastupidine Pythagorase teoreemile.
Tunni eesmärgid: 1) käsitleb Pythagorase teoreemile vastupidist teoreemi; selle rakendamine probleemide lahendamise protsessis; kinnistada Pythagorase teoreemi ja parandada probleemide lahendamise oskusi selle rakendamiseks;
2) arendab loogilist mõtlemist, loovat otsingut, tunnetuslikku huvi;
3) kasvatada õpilastes vastutustundlikku suhtumist õppimisse, matemaatilise kõnekultuuri.
Tunni tüüp. Õppetund uute teadmiste õppimiseks.
Tundide ajal
І. Aja organiseerimine
ІІ. Värskenda teadmisi
Õppetund mulleolekstahtisalusta neljavärsiga.
Jah, teadmiste tee ei ole sujuv
Aga me teame kooliaastatest
Rohkem mõistatusi kui mõistatusi
Ja otsingul pole piire!
Nii et viimases õppetunnis õppisite Pythagorase teoreemi. Küsimused:
Millise kujundi puhul kehtib Pythagorase teoreem?
Millist kolmnurka nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks?
Sõnastage Pythagorase teoreem.
Kuidas kirjutatakse iga kolmnurga jaoks Pythagorase teoreem?
Milliseid kolmnurki nimetatakse võrdseteks?
Sõnastada kolmnurkade võrdsuse märgid?
Ja nüüd teeme väikese iseseisva töö:
Ülesannete lahendamine jooniste järgi.
№1
(1 b.) Leia: AB.
№2
(1 b.) Leid: eKr.
№3
( 2 b.)Leia: AC
№4
(1 b.)Leia: AC
№5 Antud: ABCDromb
(2 b.) AB \u003d 13 cm
AC = 10 cm
Otsi sisseD
Enesekontroll nr 1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Uuring uus materjalist.
Vanad egiptlased ehitasid maapinnale täisnurgad nii: nad jagasid köie sõlmedega 12 võrdseks osaks, sidusid selle otsad kinni, misjärel nöör venitati maapinnale nii, et tekkis kolmnurk, mille küljed olid 3, 4 ja 5 jaotust. Kolmnurga nurk, mis asus 5 jaotusega külje vastas, oli õige.
Kas saate selgitada selle otsuse õigsust?
Küsimusele vastuse otsimise tulemusena peaksid õpilased aru saama, et matemaatilisest vaatenurgast on küsimus: kas kolmnurk on täisnurkne.
Esitame probleemi: kuidas ilma mõõtmisi tegemata kindlaks teha, kas antud külgedega kolmnurk on täisnurkne. Selle ülesande lahendamine on tunni eesmärk.
Kirjutage tunni teema üles.
Teoreem. Kui kolmnurga kahe külje ruutude summa on võrdne kolmanda külje ruuduga, siis on kolmnurk täisnurkne kolmnurk.
Tõestama iseseisvalt teoreemi (koostama õpiku järgi tõestuskava).
Sellest teoreemist järeldub, et kolmnurk külgedega 3, 4, 5 on täisnurkne (Egiptuse).
Üldiselt numbrid, mille puhul kehtib võrdsus nimetatakse Pythagorase kolmikuteks. Ja kolmnurgad, mille külgede pikkus on väljendatud Pythagorase kolmikutega (6, 8, 10), on Pythagorase kolmnurgad.
Konsolideerimine.
Sest , siis kolmnurk külgedega 12, 13, 5 ei ole täisnurkne kolmnurk.
Sest , siis kolmnurk külgedega 1, 5, 6 on täisnurkne.
№ 430 (a, b, c)
( - ei ole)
