Az iskolai tanterv témáinak figyelembe vétele videoleckék segítségével kényelmes módja az anyag tanulmányozásának és asszimilálásának. A videó segítségével a hallgatók figyelmét a fő elméleti pontokra irányíthatja, és nem hagyja figyelmen kívül a fontos részleteket. Ha szükséges, a tanulók bármikor újra meghallgathatják a videóleckét, vagy visszatérhetnek néhány témához.
Ez a 8. osztályos oktatóvideó segít a tanulóknak új geometriai témát tanulni.
Az előző témakörben a Pitagorasz-tételt tanulmányoztuk és elemeztük annak bizonyítását.
Van egy tétel is, amely inverz Pitagorasz-tételként ismert. Tekintsük részletesebben.
Tétel. Egy háromszög derékszögű, ha teljesíti az egyenlőséget: a háromszög egyik oldalának négyzetes értéke megegyezik a másik két oldalának négyzetösszegével.
Bizonyíték. Tegyük fel, hogy kapunk egy ABC háromszöget, amelyben igaz az AB 2 = CA 2 + CB 2 egyenlőség. Be kell bizonyítanunk, hogy a C szög 90 fok. Tekintsünk egy A 1 B 1 C 1 háromszöget, amelyben a C 1 szöge 90 fok, a C 1 A 1 oldal egyenlő a CA-val és a B 1 C 1 oldal egyenlő a BC-vel.
A Pitagorasz-tételt alkalmazva felírjuk az A 1 C 1 B 1 háromszög oldalainak arányát: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. A kifejezést egyenlő oldalakra cserélve A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 -t kapunk.
A tétel feltételeiből tudjuk, hogy AB 2 = CA 2 + CB 2 . Ekkor felírhatjuk, hogy A 1 B 1 2 = AB 2, amiből következik, hogy A 1 B 1 = AB.
Azt találtuk, hogy az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögek három oldala egyenlő: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Tehát ezek a háromszögek egybevágóak. A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy a C szög egyenlő a szöggel 1-gyel, illetve 90 fokkal egyenlő. Megállapítottuk, hogy az ABC háromszög derékszögű háromszög, és C szöge 90 fok. Ezt a tételt bebizonyítottuk.
Ezután a szerző egy példát mond. Tegyük fel, hogy kapunk egy tetszőleges háromszöget. Oldalainak méretei ismertek: 5, 4 és 3 egység. Ellenőrizzük az állítást a Pitagorasz-tételre fordított tételből: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Ha az állítás helyes, akkor az adott háromszög derékszögű háromszög.
A következő példákban a háromszögek is derékszögűek lesznek, ha az oldaluk egyenlő:
5, 12, 13 egység; a 13 2 = 5 2 + 12 2 egyenlőség igaz;
8, 15, 17 egység; a 17 2 = 8 2 + 15 2 egyenlet igaz;
7, 24, 25 egység; a 25 2 = 7 2 + 24 2 egyenlet igaz.
A Pitagorasz-háromszög fogalma ismert. Ez egy derékszögű háromszög, amelynek oldalértékei egész számok. Ha a Pitagorasz-háromszög lábait a és c, valamint a b hipotenusz jelöli, akkor ennek a háromszögnek az oldalai a következő képletekkel írhatók fel:
b \u003d k x (m 2 - n 2)
c \u003d k x (m 2 + n 2)
ahol m, n, k bármely természetes szám, és m értéke nagyobb, mint n.
Érdekes tény: az 5, 4 és 3 oldalú háromszöget egyiptomi háromszögnek is nevezik, ilyen háromszög ismert volt az ókori Egyiptomban.
Ebben az oktatóvideóban megismerkedtünk a tétellel, a Pitagorasz-tétel fordítottjával. Fontolja meg részletesen a bizonyítékot. A tanulók azt is megtanulták, hogy mely háromszögeket nevezik Pitagorasz-háromszögeknek.
A tanulók könnyen megismerkedhetnek a „Tétel, a Pitagorasz-tétel inverze” témával ennek a videós leckének a segítségével.
A Pitagorasz-tétel ezt mondja:
Egy derékszögű háromszögben a lábak négyzeteinek összege egyenlő a befogó négyzetével:
a 2 + b 2 = c 2,
- aés b- derékszöget képező lábak.
- Val vel a háromszög befogója.
A Pitagorasz-tétel képletei
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
A Pitagorasz-tétel bizonyítása
A derékszögű háromszög területét a következő képlettel számítjuk ki:
S = \frac(1)(2)ab
Egy tetszőleges háromszög területének kiszámításához a képlet a következő:
- p- félperiméter. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- r a beírt kör sugara. Egy téglalaphoz r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Ezután egyenlővé tesszük mindkét képlet jobb oldalát egy háromszög területére:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \jobb)
2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Inverz Pitagorasz-tétel:
Ha egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, akkor a háromszög derékszögű háromszög. Azaz bármely pozitív szám hármasára a, bés c, oly módon, hogy
a 2 + b 2 = c 2,
van egy derékszögű háromszög lábakkal aés bés hypotenusa c.
Pitagorasz tétel- az euklideszi geometria egyik alaptétele, amely a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot megállapítja. Püthagorasz, a tudós matematikus és filozófus bizonyította be.
A tétel jelentése abban, hogy más tételek bizonyítására és problémák megoldására használható.
Kiegészítő anyag:
Téma: A tétel fordítottja a Pitagorasz-tételnek.
Az óra céljai: 1) tekintsünk a Pitagorasz-tétellel ellentétes tételt; alkalmazása a problémák megoldási folyamatában; a Pitagorasz-tétel megszilárdítása és alkalmazásához szükséges problémamegoldó készségek fejlesztése;
2) fejleszti a logikus gondolkodást, a kreatív keresést, a kognitív érdeklődést;
3) a tanulókat a tanuláshoz való felelősségteljes magatartásra, a matematikai beszéd kultúrájára nevelni.
Az óra típusa. Leckét az új ismeretek elsajátításában.
Az órák alatt
І. Idő szervezése
ІІ. Frissítés tudás
Tanulság nekemlenneakartakezdje egy négysorral.
Igen, a tudás útja nem zökkenőmentes
De iskolai évekből tudjuk
Több rejtély, mint találós kérdés
És a keresésnek nincs határa!
Tehát az utolsó leckében megtanultad a Pitagorasz-tételt. Kérdések:
Melyik alakra érvényes a Pitagorasz-tétel?
Melyik háromszöget nevezzük derékszögű háromszögnek?
Fogalmazd meg a Pitagorasz-tételt!
Hogyan írható fel a Pitagorasz-tétel az egyes háromszögekre?
Milyen háromszögeket nevezünk egyenlőnek?
Fogalmazzuk meg a háromszögek egyenlőségének jeleit?
Most tegyünk egy kicsit önálló munkavégzés:
Feladatok megoldása rajzok szerint.
№1
(1 b.) Lel.: AB.
№2
(1 b.) Lelet: Kr. e.
№3
( 2 b.)Keresés: AC
№4
(1b.)Keresés: AC
№5 Adott: ABCDrombusz
(2 b.) AB \u003d 13 cm
AC = 10 cm
Keresse megD
Önellenőrzés #1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. A tanulmány új anyag.
Az ókori egyiptomiak így építettek derékszöget a talajra: a kötelet csomókkal 12 egyenlő részre osztották, a végeit összekötötték, majd a kötelet a földre feszítették úgy, hogy egy háromszög alakult ki, amelynek oldalai 3, 4, ill. 5 hadosztály. Az 5 osztású oldallal szemben fekvő háromszög szöge megfelelő volt.
Meg tudja magyarázni ennek az ítéletnek a helyességét?
A kérdésre adott válaszkeresés eredményeként a tanulóknak meg kell érteniük, hogy matematikai szempontból a kérdés az: derékszögű lesz-e a háromszög.
Feltesszük a problémát: hogyan határozható meg mérés nélkül, hogy egy adott oldalú háromszög derékszögű-e. Ennek a feladatnak a megoldása a lecke célja.
Írd le az óra témáját!
Tétel. Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű háromszög.
A tétel önálló bizonyítása (bizonyítási tervet készíteni a tankönyv szerint).
Ebből a tételből az következik, hogy a 3, 4, 5 oldalú háromszög derékszögű (egyiptomi).
Általában olyan számok, amelyekre érvényes az egyenlőség Pythagorean hármasoknak nevezik. Azok a háromszögek pedig, amelyek oldalhosszát Pitagorasz-hármasok (6, 8, 10) fejezik ki, Pitagorasz-háromszögek.
Konszolidáció.
Mert , akkor a 12, 13, 5 oldalú háromszög nem derékszögű háromszög.
Mert , akkor az 1, 5, 6 oldalú háromszög derékszögű.
№ 430 (a, b, c)
( - nem)
