Test poliéderei és forgásfelületei. Poliéder. A poliéderek típusai és tulajdonságaik. Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Bármely geometriai test egy héjból, azaz egy külső felületből és valamilyen anyagból áll, amely kitölti (42. ábra). Minden geometriai testnek megvan a maga formája, amely összetételében, szerkezetében és méretében különbözik.

A geometriai test alakjának összetétele az azt alkotó felületek rekeszeinek listája (4. táblázat). Tehát a téglalap alakú paralelepipedon alakja hat rekeszből, felületből (lapból) áll: ezek közül kettő a paralelepipedon alapja, a maradék négy rekesz pedig egy zárt konvex törött felületet alkot, amelyet oldalfelületnek nevezünk.

42. ábra Geometrikus test: 1 - héj; 2 - a testhéjat alkotó felületek rekeszei

Formaszerkezet geometriai test - a forma jellemzője, amely a felületek rekeszeinek egymáshoz viszonyított kapcsolatát és elhelyezkedését mutatja (lásd 44. ábra).

Ezek a jellemzők egymással összefüggenek, és a legnagyobb mértékben meghatározzák a geometriai test és bármely más objektum alakját.

Alak szerint az egyszerű geometriai testeket poliéderekre és forgástestekre osztják.

Repülőgép egy felület speciális esete.

Poliéder - geometriai testek, amelyek héját síkok rekeszei alkotják (43. ábra, a).

Facets - síkok rekeszei, amelyek a poliéder felületét (héját) alkotják; élek - vonalszegmensek, amelyek mentén az oldalak metszik egymást; a csúcsok az élek végei.

A forradalom szilárd részei - geometriai testek (43. ábra, b), amelyek héja egy forgásfelület (például egy golyó), vagy a forgásfelület egy szakaszából és egy (két) síkmetszetből áll (például egy kúp, henger stb.).

Rizs. 43. Poliéderek (a) és forgástestek (b): 1 - geometriai test héja;
2 - repülőgépek rekeszei; 3 - a forgásfelületek rekeszei

4. Egyszerű geometriai testek összetétele

A forma szerkezete befolyásolja a geometriai test megjelenését. Tekintsük ezt az egyenes és ferde hengerek példáján (44. ábra), amelyek alaprekeszei egymáshoz képest eltérően helyezkednek el.

Rizs. 44. Szerkezeti különbségek a hengerek alakjában

Rizs. 45. A hengerek alakjának változásai

Rizs. 46. ​​Különféle formájú négyszögletű piramisok

A 45. ábrán látható hengerek képeit összevetve megállapíthatjuk, hogy az egyik alap helyzetének megváltozása a geometriai test alakjának megváltozásához vezet.

A magasság, szélesség, hossz, alapátmérő, axiális dőlésszög, az alapok egymáshoz viszonyított helyzetének változtatása jelentősen befolyásolja a geometriai testek alakját. Vegyünk például különféle alakú négyszögletű piramisokat (46. ábra).

Rizs. 47. Geometriai testek

Szakaszok: Technológia

Az óra céljai:

• a geometriai testekkel kapcsolatos ismeretek megszilárdítása, a poliéderek rajzának készítése;
• a térábrázolás és a térbeli gondolkodás fejlesztése;
• grafikai kultúrát teremteni.

Az óra típusa: kombinált.

Az óra felszerelése: MIMIO interaktív tábla, multimédiás projektor, számítógépek, mimo projekt interaktív táblához, multimédiás bemutató, Compass-3D LT program.

AZ ÓRÁK ALATT

I. Szervezési mozzanat

1. Köszöntés;

2. A tanulók jelenlétének ellenőrzése;

3. Az órára való felkészültség ellenőrzése;

4. Osztálynapló (és elektronikus) kitöltése

II. Korábban tanult anyag ismétlése

A mimo projekt megnyílik az interaktív táblán

1. lap. A matematika órán geometriai testeket tanultál. Számos test látható a képernyőn. Emlékezzünk a nevükre. A tanulók elnevezik a geometriai testeket, ha nehézségek adódnak, segítek. (1. ábra).

1 - négyszögű prizma
2 - csonka kúp
3 - háromszög alakú prizma
4 - henger
5 - hatszögletű prizma
6 - kúp
7 - kocka
8 - csonka hatszögletű gúla

4. lap. 2. Feladat Geometriai testek és geometriai testek neve. A tanulót a táblához hívjuk, és vele együtt poliédereket és forradalomtesteket húzunk a nevek alá, majd a geometriai testek nevét (2. ábra).

Arra a következtetésre jutunk, hogy minden test poliéderekre és forradalomtestekre oszlik.

Bekapcsoljuk a "Geometriai testek" prezentációt ( Alkalmazás ). Az előadás 17 diát tartalmaz. Az előadást több órára is felhasználhatod, kiegészítő anyagokat tartalmaz (14-17. dia). A 8. diáról van egy hiperhivatkozás a 2. prezentációra (kockasöprések). A 2. prezentáció 1 diát tartalmaz, amelyen 11 kocka kibontása látható (videókra mutató hivatkozások). Az órán a MIMIO interaktív táblát, valamint a számítógépen dolgozó (gyakorlati munkát végző) tanulókat használtuk.

2. dia. Minden geometriai test poliéderekre és forgástestekre oszlik. Poliéder: prizma és piramis. A forradalom testei: henger, kúp, golyó, tórusz. A tanulók lerajzolják a diagramot a munkafüzetükbe.

III. Új anyag magyarázata

3. dia. Vegyünk egy piramist. Írd le a piramis definícióját! A piramis csúcsa az összes lap közös csúcsa, amelyet S betű jelöl. A gúla magassága a gúla tetejéről leejtett merőleges (3. ábra).

4. dia. Helyes piramis. Ha a piramis alapja szabályos sokszög, és a magassága az alap közepére esik, akkor a gúla szabályos.
Egy szabályos piramisban minden oldalél egyenlő, minden oldallap egyenlő egyenlő szárú háromszög.
A szabályos gúla oldallapjának háromszögének magasságát - a jobb oldali piramis apotémája.

5. dia. Szabályos hatszögletű gúla építésének animációja fő elemeinek megjelölésével (4. ábra).

6. dia. Felírjuk egy füzetbe a prizma definícióját. A prizma olyan poliéder, amelynek két alapja (egyenlő, párhuzamos sokszög) és paralelogramma oldallapja van. A prizma lehet négyszögletű, ötszögletű, hatszögletű stb. A prizmát a tövében lévő alakról nevezték el. Szabályos hatszögletű prizma felépítésének animációja fő elemeinek megjelölésével (5. ábra).

7. dia. A szabályos prizma olyan egyenes prizma, amelynek alapja egy szabályos sokszög. A paralelepipedon szabályos négyszögű prizma (6. ábra).

8. dia. A kocka egy paralelepipedon, amelynek minden lapja négyzet (7. ábra).

(Kiegészítő anyag: a dián hiperhivatkozás található egy kockasöprésekkel ellátott prezentációra, összesen 11 különböző söprés van).
9. dia. Felírjuk a henger definícióját A forgástest az a henger, amely egy téglalap egyik oldalán átmenő tengely körüli elforgatásával keletkezik. Egy henger megszerzésének animációja (8. ábra).

10. dia. A kúp egy olyan forgástest, amelyet egy derékszögű háromszögnek az egyik lábán átmenő tengely körüli forgása alakít ki (9. ábra).

11. dia. A csonkakúp egy olyan forgástest, amelyet egy négyszögletes trapéz a magasságán átmenő tengely körüli forgása hoz létre (10. ábra).

dia 12. A golyó az átmérőjén átmenő tengely körüli kör forgásával kialakuló forgástest (11. ábra).

dia 13. A tórusz egy olyan forgástest, amelyet egy körnek a kör átmérőjével párhuzamos tengely körüli forgása képez (12. ábra).

A tanulók füzetbe írják le a geometriai testek definícióit.

IV. Gyakorlati munka "Szabályos prizma rajzának megalkotása"

Váltás a mimio projektre

7. lap. Adott egy háromszög alakú szabályos prizma. Az alap egy szabályos háromszög. A prizma magassága = 70 mm és az alapoldal = 40 mm. Tekintsünk egy prizmát (a főnézet irányát nyíl mutatja), lapos alakzatokat határozunk meg, amelyeket elöl, felül és bal oldali nézetben fogunk látni. A nézetek képeit kihúzzuk és a rajzmezőre helyezzük (13. ábra).

A tanulók önállóan rajzolnak szabályos hatszögletű prizmát az Iránytű - 3D programban. A prizma méretei: magasság - 60 mm, az alap körül körülírt kör átmérője - 50 mm.
Rajz felépítése felülnézetből (14. ábra).

Ezután megépül az elölnézet (15. ábra).

Ezután egy bal oldali nézet készül, és méreteket alkalmazunk (16. ábra).

A munkákat a tanulók ellenőrzik és számítógépre mentik.

V. Kiegészítő anyag a témához

14. dia. Helyes csonka gúla (17. ábra).

dia 15. Ferde sík által csonka piramis (18. ábra).

16. dia. Szabályos háromszög alakú gúla kialakítása (19. ábra).

dia 17. Paraleepipedon fejlődése (20. kép).

A poliéder olyan test, amelyet minden oldalról sík határol.Poliéder elemek: lapok, élek, csúcsok. A poliéder összes élének halmazát hálójának nevezzük. Egy poliédert konvexnek nevezünk, ha teljes egészében bármelyik lapja síkjának egyik oldalán fekszik; ráadásul lapjai konvex sokszögek. A konvex poliéderekhez Leonhard Euler a következő képletet javasolta:

Г+В-Р=2, ahol Г az arcok száma; B a csúcsok száma; P az élek száma.

A sok domború poliéder közül a legérdekesebbek a szabályos poliéderek (Platón szilárd testei), a piramisok és a prizmák. Egy poliédert szabályosnak nevezünk, ha minden lapja egyenlő szabályos sokszög. Ezek a következők (26. ábra): a - tetraéder; b - hexaéder (kocka); c - oktaéder; g - dodekaéder; d - ikozaéder.

a B C D E)

Rizs. 26

Szabályos poliéderek paraméterei (26. ábra)

A táblázatból látható, hogy egy kocka és egy oktaéder lapjainak és csúcsainak száma 6,8, illetve 8,6, így a végtelenségig egymásba írhatjuk (leírhatjuk) (27. ábra).

Egy nagy csoportot alkotnak az úgynevezett félszabályos poliéderek (Arkhimédes-testek). Ezek konvex poliéderek, amelyek lapjai különböző típusú szabályos sokszögek. Arkhimédész testei Platón csonka testei. Ezek egy része az ábrán látható. 28, és paramétereik alatt a táblázatban.

a B C D)

Rizs. 27 Fig. 28

A félig szabályos poliéderek paraméterei (28. ábra)

A poliéder elfoglalhat általános helyet a térben, vagy elemei párhuzamosak és (vagy) merőlegesek lehetnek a vetítési síkokkal. A poliéder felépítésének kezdeti adatai az első esetben a csúcsok koordinátái, a másodikban a méretei. A poliéder vetületeinek felépítése a rácsának vetületeinek megalkotására redukálódik. A poliéder vetületének külső vázlatát a test kontúrjának nevezzük.

Prizma

egy konvex poliéder, amelynek oldalélei párhuzamosak egymással. Az alsó és a felső oldal egyenlő sokszög, amely meghatározza az oldalélek számát, amelyeket a prizma alapjainak neveznek. A prizmát szabályosnak nevezzük, ha az alap szabályos sokszög, és egyenesnek, ha az oldalélek merőlegesek az alapra. Ellenkező esetben a prizma ferde. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok, a ferde prizmáé pedig paralelogrammák. Az egyenes prizma oldalfelülete tárgyak vetítésére utal, és sokszöggé degenerálódik az oldalélekre merőleges vetítési síkra. A prizma oldalfelületén elhelyezkedő pontok és vonalak vetületei egybeesnek annak degenerált vetületével.

Tipikus feladat 3(29. ábra) : Készítsen összetett rajzot egyenes prizmáról a következő méretekkel: l - az alap oldala (a prizma hossza); b- az alap egyenlő szárú háromszögének magassága (a prizma szélessége); h a prizma magassága. Határozza meg az élek és lapok helyzetét a vetítési síkokhoz képest! Az ABB'A' és ACC'A' lapokon állítsa be az M pont és az n egyenes frontális vetületeit, és készítse el a hiányzó vetületeiket.

1. Mentálisan helyezze el a poliédert a vetítési síkok rendszerében úgy, hogy az alapja D ABC║P 1, éle pedig AC║P 3 legyen (29. ábra, a).

2. Mentálisan adja meg az alapsíkokat: S║P 1 és egybeesik az alapsíkokkal (D ABC); D║P 2 és egybeesik az ACC'A' hátlapjával. Megépítjük az S 2, S 3, D 1, D 3 alapvonalakat (29. ábra, b).

3. A D 1, D 3 alapvonalak segítségével megépítjük a prizma vízszintes, majd frontális és végül profilvetületét (29. ábra c).

Borda: AB, BC - vízszintes; AC - profil-kivetítés; AS, SC, SB - vízszintesen kiálló. Élek: ABC A "B'C' ─ vízszintes szintek; ABВ'A', BCC'B' ─ vízszintesen kiálló; ACC" A' ─ frontális szint ..

5. A prizma oldallapjain fekvő pontok vízszintes vetületeinek megalkotása a kiálló tárgy kollektív tulajdonságának felhasználásával történik: a prizma oldalfelületén található pontok és vonalak összes vetülete egybeesik annak degenerált (vízszintes) vetületével. . A pontok (például M) profilvetületeit úgy építjük fel, hogy a mélységüket (Y M) a D 3-ból vízszintes kommunikációs vonalak mentén ábrázoljuk, amelyeket a D 1-ből vízszintes vetületen mérünk (lásd még 8., 17. o.). Az n egyenesen beállítjuk az 1, 2 pontokat, és az M ponthoz hasonlóan a prizma felületére építjük fel. A láthatóságot a versengő pontok módszerével határozzuk meg. A „Prizma kivágással” feladathoz lásd.

a B C)

Rizs. 29

Piramis

poliéder, melynek egyik lapja egy sokszög (a gúla alapja), amely meghatározza az oldallapok számát, a fennmaradó lapok (oldal) pedig közös csúcsú háromszögek, amelyeket a piramis csúcsának nevezünk. A piramis csúcsát az alaplap tetejével összekötő szakaszokat oldalsó éleknek nevezzük. A piramis tetejéről az alapsíkra leejtett merőlegest a gúla magasságának nevezzük. A piramis szabályos, ha az alap szabályos sokszög, és egyenes, ha a csúcs az alap közepébe van vetítve. Egy szabályos gúla oldalsó élei egyenlőek, oldallapjai pedig egyenlő szárú háromszögek. A szabályos gúla oldallapjának magasságát apotémnek nevezzük. Ha a piramis csúcsa az alapján kívülre esik, akkor a piramis ferde.

Tipikus feladat 4(30-32. ábra) : Készítsen összetett rajzot egy egyenes szabályos gúláról a következő méretekkel: l - az alap oldala (hosszúság); b- az alapháromszög magassága (szélessége); h a piramis magassága. Határozza meg az élek és lapok helyzetét a vetítési síkokhoz képest! Állítsa be az ASB és ASC lapokhoz tartozó M és N pontok frontális és vízszintes vetületeit, és készítse el a hiányzó vetületeiket.

1. Mentálisan helyezze el a poliédert a vetületi síkok rendszerében úgy, hogy az alapja D ABC║P 1, éle pedig AC║P 3 legyen (31. ábra).

2. Mentálisan adja meg az alapsíkokat: S║P 1 és egybeesik az alapsíkokkal (D ABC);

D║P 2 és egybeesik az AC éllel. Megépítjük az S 2, S 3, D 1, D 3 alapvonalakat (32. ábra).

3. Vízszintes, majd frontális és végül

a gúla profilvetülete (lásd 32. ábra).

4. Elemezzük az élek és lapok helyzetét a gúla komplex rajzán, figyelembe véve a vonalak és síkok helyzetének kiindulási adatait és osztályozóit (11,14. o.).

Élek: AB, BC - vízszintes; AC - profil-kivetítés; AS, SC - általános álláspont; SB - profilszint. Élek: ASB, BSC ─ általános helyzet; ABC ─vízszintes szint; ASC ─ profil-kivetítés.

5. A gúla lapjain fekvő pontok hiányzó vetületeinek megszerkesztése a "sík pontjaihoz tartozó" jellel történik. Segédvonalként vízszintes vonalakat vagy tetszőleges vonalakat használunk. A pontok profilvetületeit úgy építjük fel, hogy a pontok mélységét a vízszintes kapcsolódási vonalak mentén ábrázoljuk (az Y tengely irányában), amelyeket vízszintes vetületen mérünk (lásd 8., 17. oldal).

Rizs. 30 Fig. 31 Fig. 32

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időnként felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges - a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Konvex poliéder A poliédert konvexnek nevezzük, ha minden lapja síkjának egyik oldalán helyezkedik el. A konvex poliéder minden lapja konvex sokszög. Egy konvex poliéderben az összes síkszög összege minden csúcsánál kisebb, mint 360 fok.

Prizma elemek - Prizma alap 2 - Magasság 3 - Oldallap

A gúla magasságának elemei a gúla 2 oldallapja A gúla 3 alapja

Dodekaéder A dodekaéder tizenkét egyenlő oldalú ötszögből áll. Mindegyik csúcsa három ötszögből álló csúcs. A síkszögek összege minden csúcsban 324 fok. Így egy dodekaédernek 12 lapja, 20 csúcsa és 30 éle van.

HENGER A henger olyan test, amely két nem ugyanabban a síkban fekvő körből áll, amelyeket párhuzamos eltolással egyesítenek, és minden szakaszból, amelyek e körök megfelelő pontjait összekötik. A köröket a henger (3) alapjainak, a szakaszokat pedig generátorainak (4) nevezzük. Egy hengert egyenesnek nevezünk, ha generátorai merőlegesek az alapok síkjaira. A henger sugara az alapjának sugara (1). A henger magassága az alapok síkjai közötti távolság (2). A henger tengelye az alapok középpontjain áthaladó egyenes. 4 5

KÚP A kúp olyan test, amely egy körből áll - a kúp alapjából (5), egy pontból, amely nem e kör síkjában fekszik - a kúp tetejéből (2), és a csúcsot összekötő összes szegmensből. a kúp az alap pontjaival - a kúpot képezve. A kúp magassága a csúcsából az alap síkjára ejtett merőleges (1). A kúp tengelye egy egyenes, amely tartalmazza a magasságát. A kúp teljes felülete az alapjából (5) és az oldalfelületéből (3) áll. A kúp sugara az alapjának sugara. GOMB ÉS GOLYÓ A gömb olyan felület, amely a térben egy adott ponttól adott távolságra elhelyezkedő összes pontból áll (3). Ezt a pontot a gömb középpontjának, ezt a távolságot pedig a gömb sugarának (1) nevezzük. A gömb által határolt testet gömbnek nevezzük. A gömb középpontját, sugarát és átmérőjét a gömb középpontjának, sugarának és átmérőjének is nevezik. A golyó középpontján áthaladó síkot átmérős síknak (2) nevezzük. A golyó átmérős síkú keresztmetszetét nagykörnek, a gömb keresztmetszetét nagykörnek nevezzük. 3