Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения
a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,
где a i - цифры системы счисления; n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно. Например:
Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
двоичная (используются цифры 0, 1);
восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:
|
|
|
Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления .
Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Отдельную позицию в изображении числа принято называть
разрядом
, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи
числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.
Существуют системы позиционные и непозиционные .
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.
Пример непозиционной системы счисления - римская. В качестве
цифр в римской системе используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100),
D(500), M(1000).
Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или
разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то
она вычитается, если справа - прибавляется.
Пример:
CCXXXII=232
IX =9
В позиционных системах
счисления вес каждой цифры
изменяется
в зависимости от ее позиции в последовательности цифр,
изображающих число.
Любая позиционная сиситема характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков
или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре,
шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных
систем.
Примеры позиционной системы счисления - двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления и т. д.
Десятичная система счисления.
В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.
Пример:
333
10
= 3*100 +
3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Двоичная система счисления.
В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Основание системы - число 2. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц.
Пример:
1011
2
= 1*2^3 +
0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11
10
Восьмеричная система счисления.
В
этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Чтобы перевести
в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить
каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко
догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную
систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую
триаду соответствующей восьмеричной цифрой.
Пример:
6118 =011 001 001 2
1 110 011 101 2 =1435 8 (4 триады)
Шестнадцатиричная система счисления
.
Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна,
но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве
первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые
буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F.Перевод из шестнадцатеричной
системы в двоичную и обратно производится аналогочно тому, как это делается
для восьмеричной системы.
Перевод целых чисел в другие системы счисления
Целое число с основанием 10 переводится в систему счисления с основанием 2 путем последовательного деления числа, на основание 2 до получения остатка. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном полученному при делении. Сформированное число и будет являться числом с основанием N2.
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
а) Перевести 10101101 с.с.
101011012 = 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0 = 173
б) Перевести 7038 .
7038 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0= 451
в) Перевести B2E16 .
B2E16 = 11*16^2+ 2*16^1+ 14*16^0= 2862
Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).
Система счисления:
- даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);
- даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);
- отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа .
Отдельная позиция в отображении числа называется разряд , значит, номер позиции - номер разряда .
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся
на однородные и смешанные .
восьмеричная система счисления, шестнадцатеричная система счисления и другие системы счисления.
Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.
Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.
