Zváženie tém školských osnov pomocou video lekcií je pohodlný spôsob, ako študovať a osvojiť si materiál. Video pomáha sústrediť pozornosť študentov na hlavné teoretické body a neprehliadnuť dôležité detaily. V prípade potreby si študenti môžu vždy vypočuť video lekciu znova alebo sa vrátiť o niekoľko tém späť.
Tento videonávod pre 8. ročník pomôže žiakom naučiť sa novú tému z geometrie.
V predchádzajúcej téme sme študovali Pytagorovu vetu a analyzovali jej dôkaz.
Existuje aj veta, ktorá je známa ako inverzná Pytagorova veta. Pozrime sa na to podrobnejšie.
Veta. Trojuholník je pravouhlý, ak spĺňa rovnosť: hodnota jednej strany trojuholníka na druhú je rovnaká ako súčet ostatných dvoch strán na druhú.
Dôkaz. Predpokladajme, že máme trojuholník ABC, v ktorom platí rovnosť AB 2 = CA 2 + CB 2. Musíme dokázať, že uhol C je 90 stupňov. Uvažujme trojuholník A 1 B 1 C 1, v ktorom je uhol C 1 90 stupňov, strana C 1 A 1 sa rovná CA a strana B 1 C 1 sa rovná BC.
Použitím Pytagorovej vety zapíšeme pomer strán trojuholníka A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Nahradením výrazu rovnakými stranami dostaneme A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
Z podmienok vety vieme, že AB 2 = CA 2 + CB 2 . Potom môžeme napísať A 1 B 1 2 = AB 2 , čo znamená, že A 1 B 1 = AB.
Zistili sme, že v trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 sú tri strany rovnaké: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Takže tieto trojuholníky sú zhodné. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že uhol C sa rovná uhlu C 1 a teda sa rovná 90 stupňom. Zistili sme, že trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník a jeho uhol C je 90 stupňov. Túto vetu sme dokázali.
Autor potom uvádza príklad. Predpokladajme, že máme ľubovoľný trojuholník. Rozmery jeho strán sú známe: 5, 4 a 3 jednotky. Skontrolujme tvrdenie z vety konvertujúcej k Pytagorovej vete: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Ak je tvrdenie správne, potom je daný trojuholník pravouhlý.
V nasledujúcich príkladoch budú trojuholníky tiež pravouhlé, ak budú ich strany rovnaké:
5, 12, 13 jednotiek; platí rovnosť 13 2 = 5 2 + 12 2;
8, 15, 17 jednotiek; rovnica 17 2 = 8 2 + 15 2 platí;
7, 24, 25 jednotiek; platí rovnica 25 2 = 7 2 + 24 2.
Koncept Pytagorovho trojuholníka je známy. Je to pravouhlý trojuholník, ktorého bočné hodnoty sú celé čísla. Ak sú nohy pytagorovho trojuholníka označené a a c a prepona b, potom hodnoty strán tohto trojuholníka možno zapísať pomocou nasledujúcich vzorcov:
b \u003d k x (m 2 - n 2)
c \u003d k x (m 2 + n 2)
kde m, n, k sú ľubovoľné prirodzené čísla a hodnota m je väčšia ako hodnota n.
Zaujímavosť: trojuholník so stranami 5, 4 a 3 sa nazýva aj egyptský trojuholník, taký trojuholník poznali už v starovekom Egypte.
V tomto videonávode sme sa zoznámili s vetou, opakom Pytagorovej vety. Zvážte dôkaz podrobne. Žiaci sa tiež dozvedeli, ktoré trojuholníky sa nazývajú pytagorejské trojuholníky.
S témou „Veta, prevrátená hodnota Pytagorovej vety“ sa študenti môžu ľahko zoznámiť sami pomocou tejto video lekcie.
Pytagorova veta hovorí:
V pravouhlom trojuholníku sa súčet štvorcov nôh rovná štvorcu prepony:
a2 + b2 = c2,
- a a b- nohy zvierajúce pravý uhol.
- s je prepona trojuholníka.
Vzorce Pytagorovej vety
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Dôkaz Pytagorovej vety
Plocha pravouhlého trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca:
S = \frac(1)(2)ab
Na výpočet plochy ľubovoľného trojuholníka je vzorec oblasti:
- p- semiperimeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c),
- r je polomer vpísanej kružnice. Pre obdĺžnik r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Potom vyrovnáme pravé strany oboch vzorcov pre oblasť trojuholníka:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)
2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Inverzná Pytagorova veta:
Ak sa štvorec jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom je trojuholník pravouhlý. Teda pre ľubovoľnú trojicu kladných čísel a, b a c, také že
a2 + b2 = c2,
tam je pravouhlý trojuholník s nohami a a b a preponu c.
Pytagorova veta- jedna zo základných teorém euklidovskej geometrie, stanovujúca vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Dokázal to vedec, matematik a filozof Pytagoras.
Význam vety v tom, že sa dá použiť na dokazovanie iných teorém a riešenie problémov.
Dodatočný materiál:
Predmet: Veta inverzná k Pytagorovej vete.
Ciele lekcie: 1) zvážte konverznú vetu k Pytagorovej vete; jeho uplatnenie v procese riešenia problémov; upevniť Pytagorovu vetu a zlepšiť zručnosti pri riešení problémov pre jej aplikáciu;
2) rozvíjať logické myslenie, tvorivé hľadanie, kognitívny záujem;
3) vychovávať študentov k zodpovednému prístupu k učeniu, kultúre matematickej reči.
Typ lekcie. Lekcia osvojovania si nových vedomostí.
Počas vyučovania
І. Organizácia času
ІІ. Aktualizovať vedomosti
Poučenie pre mňabychcelzačať štvorverším.
Áno, cesta poznania nie je hladká
Ale vieme zo školských rokov
Viac záhad ako hádaniek
A hľadanie nemá žiadne obmedzenia!
Takže v poslednej lekcii ste sa naučili Pytagorovu vetu. otázky:
Pre ktorý obrazec platí Pytagorova veta?
Ktorý trojuholník sa nazýva pravouhlý trojuholník?
Formulujte Pytagorovu vetu.
Ako bude napísaná Pytagorova veta pre každý trojuholník?
Aké trojuholníky sa nazývajú rovnaké?
Formulovať znaky rovnosti trojuholníkov?
A teraz urobme malú nezávislú prácu:
Riešenie problémov podľa výkresov.
№1
(1 b.) Nájdi: AB.
№2
(1 b.) Nález: pred Kr.
№3
( 2 b.)Nájsť: AC
№4
(1 b.)Nájsť: AC
№5 Dané: ABCDkosoštvorec
(2 b.) AB \u003d 13 cm
AC = 10 cm
Nájsť vD
Samokontrola #1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Štúdia o Nový materiál.
Starí Egypťania stavali na zemi pravé uhly týmto spôsobom: lano rozdelili na 12 rovnakých častí uzlami, zviazali jeho konce, potom sa lano natiahlo na zem tak, aby vznikol trojuholník so stranami 3, 4 a 5 divízií. Uhol trojuholníka, ktorý ležal oproti strane s 5 dielikmi, bol správny.
Môžete vysvetliť správnosť tohto rozsudku?
V dôsledku hľadania odpovede na otázku by študenti mali pochopiť, že z matematického hľadiska je otázka: bude trojuholník pravouhlý.
Kladieme si problém: ako bez meraní určiť, či trojuholník s danými stranami je pravouhlý. Vyriešenie tohto problému je cieľom lekcie.
Zapíšte si tému lekcie.
Veta. Ak sa súčet štvorcov dvoch strán trojuholníka rovná štvorcu tretej strany, potom je trojuholník pravouhlý.
Samostatne dokážte vetu (vytvorte si dôkazový plán podľa učebnice).
Z tejto vety vyplýva, že trojuholník so stranami 3, 4, 5 je pravouhlý (egyptský).
Vo všeobecnosti čísla, pre ktoré platí rovnosť sa nazývajú pytagorejské trojky. A trojuholníky, ktorých dĺžky strán sú vyjadrené pytagorovskými trojicami (6, 8, 10), sú pytagorejské trojuholníky.
Konsolidácia.
Pretože , potom trojuholník so stranami 12, 13, 5 nie je pravouhlý trojuholník.
Pretože , potom je trojuholník so stranami 1, 5, 6 pravouhlý.
№ 430 (a, b, c)
( - nie je)
