4. ŠTRUKTÚRA ZEME PODĽA SEIZMOLOGICKÝCH ÚDAJOV

Základy teórie pružnosti: tenzor deformácie, tenzor napätia, Hookov zákon, moduly pružnosti, homogénne deformácie, elastické vlny v izotropnom prostredí, Fermatov, Huygensov, Snellov zákon. Seizmické vlny. Vývoj seizmometrických pozorovaní: seizmické stanice a ich siete, hodografy, trajektórie vĺn vo vnútri Zeme. Stanovenie rýchlosti šírenia seizmických vĺn pomocou Hertlots-Wiechertovej rovnice. Rýchlosti pozdĺžnych a priečnych vĺn ako funkcia polomeru Zeme. Stav hmoty Zeme podľa seizmologických údajov. Zemská kôra. Litosféra a astenosféra. Seizmológia a globálna tektonika.

Základy teórie pružnosti[Landau, Lifshits, 2003, s. 9-25, 130-144]

Tenzor napätia

Mechanika pevných látok, považovaná za spojité médium, je obsahom teória elasticity. Základné rovnice teórie pružnosti stanovil O.L. Koshy a S.D. Poisson v 20. rokoch 19. storočia (bližšie v 15. kapitole).

Vplyvom pôsobiacich síl dochádza k deformácii pevných telies do jedného alebo druhého stupňa, t.j. zmeniť svoj tvar a objem. Ak chcete matematicky opísať deformáciu telesa, postupujte nasledovne. Poloha každého bodu telesa je určená jeho polomerovým vektorom r (so zložkami x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) v určitom súradnicovom systéme. Keď sa telo zdeformuje, všetky jeho body sa vo všeobecnosti posunú. Uvažujme o nejakom konkrétnom bode tela; ak jeho polomerový vektor pred deformáciou bol r, tak v deformovanom tele bude mať nejaký iný

hodnota r / (so zložkami x i / ). Posunutie bodu telesa pri deformácii bude potom reprezentované vektorom r / - r, ktorý označíme písmenom u:

Vektor u sa nazýva deformačný vektor(alebo vektor posunu). Znalosť vektora u

ako funkcia x i úplne určuje deformáciu telesa.

Pri deformácii telesa sa menia vzdialenosti medzi jeho bodmi. Ak bol vektor polomeru medzi nimi pred deformáciou dx i, potom v deformovanom telese polomer

vektor medzi tými istými bodmi bude dx i / = dx i + du i. Vzdialenosť medzi bodmi pred deformáciou bola rovná:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

a po deformácii:

dl/= dx 1/2 + dx 2/2 + dx 3/2.

Nakoniec dostaneme:

Tieto výrazy určujú zmenu prvku dĺžky pri deformácii telesa. Tenzor u ik sa nazýva tenzor napätia; podľa svojej definície je symetrický:

Ako každý symetrický tenzor, aj tenzor u ik v každom bode možno redukovať na

hlavné osi a uistiť sa, že v každom prvku objemu telesa možno deformáciu považovať za súbor troch nezávislých deformácií v troch na seba kolmých smeroch - hlavné osi tenzora deformácie. Takmer vo všetkých prípadoch deformácie telies sa deformácie ukážu ako malé. To znamená, že zmena akejkoľvek vzdialenosti v tele sa ukáže ako malá v porovnaní so samotnou vzdialenosťou. Inými slovami, relatívne predĺženia sú malé v porovnaní s jednotou.

S výnimkou niektorých špeciálnych prípadov, ktorých sa nebudeme dotýkať, ak je teleso vystavené malej deformácii, potom sú všetky komponenty deformačného tenzora tiež malé. Preto vo výraze (4.3) môžeme posledný člen zanedbať ako malú veličinu druhého rádu. V prípade malých deformácií je teda tenzor deformácie určený výrazom:

Takže sily sú príčinou pohybov (pohybov) vyskytujúcich sa v tele a deformácie sú výsledkom pohybov [Khaikin, 1963, s. 176].

Hlavný predpoklad klasickej teórie pružnosti

V nedeformovanom tele usporiadanie molekúl zodpovedá stavu jeho tepelnej rovnováhy. Všetky jeho časti sú zároveň vo vzájomnej mechanickej rovnováhe. To znamená, že ak vyberiete nejaký objem vo vnútri telesa, tak výslednica všetkých síl pôsobiacich na tento objem z iných častí je rovná nule.

Pri deformácii sa zmení usporiadanie molekúl a teleso sa dostane z rovnovážneho stavu, v ktorom bolo pôvodne. V dôsledku toho v ňom vzniknú sily usilujúce sa vrátiť telo do stavu rovnováhy. Tieto vnútorné sily vznikajúce pri deformácii sa nazývajú vnútorné napätia. Ak teleso nie je deformované, potom v ňom nie sú žiadne vnútorné napätia.

Vnútorné napätia sú spôsobené molekulárnymi väzbami, t.j. sily vzájomného pôsobenia molekúl tela navzájom. Pre teóriu elasticity je veľmi dôležitá skutočnosť, že molekulárne sily majú veľmi malý polomer pôsobenia. Ich vplyv sa šíri okolo častice, ktorá ich vytvára, len vo vzdialenosti rádovo medzimolekulových. Ale v teórii pružnosti, rovnako ako v makroskopickej teórii, sa berú do úvahy iba vzdialenosti, ktoré sú veľké v porovnaní s medzimolekulárnymi. Preto by sa „polomer pôsobenia“ molekulárnych síl v teórii elasticity mal považovať za rovný nule. Môžeme povedať, že sily, ktoré spôsobujú vnútorné napätia, sú v teórii elasticity sily „krátkeho dosahu“, prenášané z každého bodu len do bodov, ktoré sú mu najbližšie.

V klasickej teórii pružnosti teda tento efekt prejavujú sily pôsobiace na ktorúkoľvek časť tela z častí, ktoré ho obklopujú len priamo cez povrch túto časť tela.

V skutočnosti autor základného diela [Khaikin, 1963, s. 484].

Tenzor stresu

Záver, že všetky sily pôsobia iba cez povrch, je kľúčový pre klasickú teóriu pružnosti. Umožňuje akýkoľvek objem telesa každú z troch zložiek výslednice všetkých vnútorných napätí a síl

∫ F i dV (kde F i je sila pôsobiaca na jednotkový objem dV) sa po povrchu tohto objemu premení na integrál. V tomto prípade, ako vyplýva z vektorovej analýzy, vektor F i musí byť divergenciou nejakého tenzora druhého radu, t.j. vyzerať ako:

F i = ∂ σ ik. (4.6)

∂xk

Potom sa sila pôsobiaca na určitý objem môže zapísať ako integrál cez uzavretý povrch pokrývajúci tento objem:

pokrývajúci objem dV.

Tenzor σ ik sa nazýva tenzor stresu. Ako je zrejmé z (4.7), σ ik df k je i

zložka sily pôsobiaca na plošný prvok d f. Výberom plošných prvkov v rovinách xy, yz, xz zistíme, že zložka σ ik tenzora napätia

je i-tá zložka sily pôsobiacej na jednotkovú plochu kolmú na os x k. Takže na jednotkovej ploche kolmej na os x kolmo na

jej (nasmerovaná pozdĺž osi x) sila σ xx a tangenciálna (nasmerovaná pozdĺž osi y a z)

sily σ yx a σ zx.

Všimnite si, že sila pôsobiaca z vnútorných napätí na celý povrch telesa, na rozdiel od (4.7), je:

− ∫ σ ik df k .

Zapíšte moment síl M ik pôsobiacich na určitý objem telesa v tvare:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

a požadovaním, aby bol vyjadrený ako integrál iba na povrchu, dostaneme, že tenzor napätia je symetrický:

K podobnému záveru možno dospieť aj jednoduchším spôsobom [Sivukhin, 1974, s. 383]. Totiž. Moment dM ik je priamo úmerný momentu zotrvačnosti elementáru

objem dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 a teda dostaneme (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0, z čoho automaticky vyplýva vzťah (4.8).

Symetria tenzora napätia umožňuje jeho privedenie k hlavným osám v každom bode, t.j. v každom bode môže byť tenzor napätia reprezentovaný ako:

V rovnováhe musia byť vnútorné napäťové sily v každom prvku objemu telesa vzájomne kompenzované, t.j. by malo byť F i = 0. Takže rovnice

rovnováha deformovaného telesa má tvar:

∂σik = 0.

∂xk

Ak je teleso v gravitačnom poli, potom by mal zmiznúť súčet F + ρ g vnútorných napäťových síl F a gravitačnej sily ρ g pôsobiacich na jednotku objemu, ρ -

telesná hustota, g – vektor zrýchlenia voľného pádu. Rovnovážne rovnice majú v tomto prípade tvar:

Napätie energie

Uvažujme nejaké deformované teleso a predpokladajme, že jeho deformácia sa zmení tak, že sa deformačný vektor u i zmení o malú hodnotu δ u i.

Určme prácu vykonanú vnútornými napäťovými silami. Vynásobením sily (4.6) posunutím δ u i a integrovaním cez celý objem telesa dostaneme:

Symbol δ R označuje prácu síl vnútorného napätia na jednotku objemu telesa. Integráciou po častiach, s ohľadom na neohraničené prostredie, ktoré nie je deformované v nekonečne, nasmerovaním integračnej plochy do nekonečna, potom na nej σ ik = 0, dostaneme:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Tak nájdeme:

Výsledný vzorec určuje prácu pri zmene deformačného tenzora, ktorý určuje zmenu vnútornej energie telesa.

TEÓRIA ELASTICITY– odbor mechaniky kontinua, ktorý študuje posuny, deformácie a napätia telies v pokoji alebo v pohybe pod vplyvom zaťaženia. Účelom tejto teórie je odvodiť matematické rovnice, ktorých riešenie nám umožňuje odpovedať na otázky: aké budú deformácie tohto konkrétneho telesa, ak naň pôsobí zaťaženie danej veľkosti v známych miestach? Aké bude napätie v tele? Otázka, či sa telo zrúti alebo vydržia tieto zaťaženia, úzko súvisí s teóriou elasticity, ale prísne vzaté nie je v kompetencii tejto teórie.

Počet možných príkladov je neobmedzený - od určenia deformácií a napätí v nosníku ležiacom na podperách a zaťaženom silami, až po výpočet rovnakých hodnôt v konštrukcii lietadla, lode, ponorky, v kolese vozíka, v pancieri. pri zásahu projektilom, v pohorí pri prechode štôlňou, v ráme výškovej budovy a pod. Tu je potrebné upozorniť: konštrukcie pozostávajúce z tenkostenných prvkov sú vypočítané pomocou zjednodušených teórií logicky založených na teórii pružnosti; Medzi tieto teórie patria: teória odolnosti materiálov voči zaťaženiu (známy „pevnostný odpor“), ktorej úlohou je najmä vypočítať tyče a nosníky; stavebná mechanika – výpočet prútových sústav (napr. mostov); a napokon teória škrupín je v podstate samostatný a veľmi vysoko rozvinutý vedný odbor o deformáciách a napätiach, predmetom výskumu ktorého sú najdôležitejšie konštrukčné prvky - tenkostenné škrupiny - valcové, kužeľové, guľovité a majúce zložitejšie tvary. Preto sa v teórii pružnosti zvyčajne uvažuje s telesami, ktorých podstatné rozmery sa príliš nelíšia. Uvažuje sa teda o elastickom telese daného tvaru, na ktoré pôsobia známe sily.

Základnými pojmami teórie elasticity sú napätia pôsobiace na malé plochy, ktoré sa dajú mentálne vtiahnuť do tela cez daný bod. M, deformácie malého okolia bodu M a posúvanie samotného bodu M. Presnejšie povedané, zavádzajú sa tenzory napätia s ij, tenzor malých deformácií e ij a vektor posunu u i.

Krátke označenie s ij, kde sú indexy i, j nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 treba chápať ako maticu tvaru:

Skrátený zápis pre tenzor e treba chápať podobne ij.

Ak fyzický bod tela M v dôsledku deformácie zaujala novú polohu v priestore M', potom vektor posunutia je vektor so zložkami ( u x u y u z), alebo v skratke u i. V teórii malých deformácií súčiastky u i a e i sa považujú za malé množstvá (presne povedané, nekonečne malé). Komponenty tenzora e ij a vektor u ij sú spojené Cauchyho vzorcami, ktoré majú tvar:

Je jasné, že napr xy= e yx a všeobecne povedané napr ij= e ji, takže tenzor deformácie je podľa definície symetrický.

Ak je elastické teleso pôsobením vonkajších síl v rovnováhe (t.j. rýchlosti všetkých jeho bodov sú rovné nule), potom je v rovnováhe aj každá časť telesa, ktorú možno od neho mentálne izolovať. Z tela vyčnieva malý (presne povedané, nekonečne malý) pravouhlý rovnobežnosten, ktorého okraje sú rovnobežné so súradnicovými rovinami karteziánskeho systému. Oxyz(obr. 1).

Okraje rovnobežnostena nech majú dĺžky dx, D Y, dz podľa toho (tu, ako obvykle dx existuje diferenciál X, atď.). Podľa teórie napätia komponenty tenzora napätia pôsobia na steny rovnobežnostena, ktoré sú označené:

na pokraji OADG:s xx, s xy, s xz

na pokraji OABC:s yx, s yy, s yz

na pokraji DABE:s zx, s zy, s zz

v tomto prípade komponenty s rovnakými indexmi (napríklad s xx) pôsobiť kolmo na tvár a s rôznymi indexmi - v rovine miesta.

Na opačných stranách sú hodnoty rovnakých komponentov tenzora napätia mierne odlišné, je to spôsobené tým, že sú to funkcie súradníc a menia sa z bodu do bodu (vždy, okrem známych najjednoduchších prípadov) a drobnosť zmeny súvisí s malými rozmermi rovnobežnostena, takže môžeme predpokladať, že ak na hranici OABC je privedené napätie s yy, potom na pokraji GDEF je privedené napätie s yy+ds yy a malá hodnota ds yy práve kvôli jeho maličkosti ho možno určiť pomocou rozšírenia Taylorovho radu:

(tu sa používajú čiastočné deriváty, pretože zložky tenzora napätia závisia od X, r, z).

Podobne môžu byť napätia na všetkých plochách vyjadrené pomocou s ij a ds ij. Ďalej, aby ste prešli od napätí k silám, musíte vynásobiť veľkosť napätia plochou oblasti, na ktorú pôsobí (napríklad s yy+ds yy vynásobiť dx dz). Po určení všetkých síl pôsobiacich na rovnobežnosten je možné, ako sa to robí v statike, zapísať rovnovážnu rovnicu telesa, pričom vo všetkých rovniciach pre hlavný vektor zostanú len členy s deriváciami, pretože napätia sa navzájom rušia a faktory dx dy dz sú znížené av dôsledku toho

Podobne sa získajú rovnice rovnováhy vyjadrujúce nulovú rovnosť hlavného momentu všetkých síl pôsobiacich na rovnobežnosten, ktoré sú redukované do tvaru:

Tieto rovnosti znamenajú, že tenzor napätia je symetrický tenzor. Teda pre 6 neznámych komponentov s ij existujú tri rovnovážne rovnice, t.j. na vyriešenie úlohy nestačia rovnice statiky. Východiskom je vyjadrenie napätí s ij cez deformácie e ij pomocou rovníc Hookovho zákona a potom deformácia e ij vyjadrovať pohybmi u i pomocou Cauchyho vzorcov a výsledok dosaďte do rovníc rovnováhy. To vytvára tri diferenciálne rovnice rovnováhy pre tri neznáme funkcie u x u y u z, t.j. počet neznámych sa rovná počtu rovníc. Tieto rovnice sa nazývajú Lamého rovnice

hmotnostné sily (hmotnosť a pod.) sa neberú do úvahy

D – Laplaceov operátor, to jest

Teraz je potrebné nastaviť okrajové podmienky na povrchu tela;

Hlavné typy týchto stavov sú nasledovné:

1. Na známej časti povrchu telesa S 1 sú špecifikované posuny, t.j. vektor posunutia sa rovná známemu vektoru so zložkami ( f x; f y; f z):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f y, f z– známe súradnicové funkcie)

2. Na zvyšok povrchu S Sú špecifikované 2 povrchové sily. To znamená, že rozloženie napätia vo vnútri tela je také, že hodnoty napätia v bezprostrednej blízkosti povrchu a v limite na povrchu v každej elementárnej oblasti vytvárajú vektor napätia rovný známemu vektoru vonkajšieho zaťaženia s komponenty ( Fx ;Fy ; Fz) povrchové sily. Matematicky sa to píše takto: ak v bode A povrchu, jednotkový normálový vektor k tomuto povrchu má zložky n x, n y, n z potom v tomto bode musia byť splnené rovnosti vzhľadom na (neznáme) zložky s ij:e ij, potom pre tri neznáme dostaneme šesť rovníc, teda preurčený systém. Tento systém bude mať riešenie len vtedy, ak budú splnené dodatočné podmienky týkajúce sa e ij. Tieto podmienky sú rovnicami kompatibility.

Tieto rovnice sa často nazývajú podmienky kontinuity, čo znamená, že zabezpečujú kontinuitu telesa po deformácii. Tento výraz je obrazný, ale nepresný: tieto podmienky zabezpečujú existenciu súvislého poľa posunov, ak zložky deformácií (alebo napätí) berieme ako neznáme. Nesplnenie týchto podmienok nevedie k narušeniu kontinuity, ale k absencii riešenia problému.

Teória pružnosti teda poskytuje diferenciálne rovnice a okrajové podmienky, ktoré umožňujú formulovať okrajové úlohy, ktorých riešenie poskytuje úplnú informáciu o rozložení napätí, deformácií a posunov v uvažovaných telesách. Metódy riešenia takýchto problémov sú veľmi zložité a najlepšie výsledky sa dosahujú kombináciou analytických metód s numerickými pomocou výkonných počítačov.

Vladimír Kuznecov

Osovo symetrické problémy teórie pružnosti (prednášky)

Úloha výpočtov pevnosti a tuhosti v modernom strojárstve je stále dôležitejšia a samotné výpočty sú čoraz zložitejšie. Riešenie väčšiny problémov, ktoré vznikajú, je k dispozícii iba vysokokvalifikovaným odborníkom.

Otázky súvisiace s výpočtami konštrukčných prvkov sa zvažujú v takých tradičných disciplínach, ako sú „Sila materiálov“, „Konštrukčná mechanika“, „Teória pružnosti“, v rôznych kombináciách a objemoch prezentovaných v učebných osnovách mechanických špecialít univerzít. Príslušné materiály sú roztrúsené v početných literárnych zdrojoch a sú veľmi preplnené teoretickou časťou, prezentovanou na úrovni čitateľa s vysokým matematickým vzdelaním. Často nekladú dôraz na metodické východiská riešenia problémov a taktiež neposkytujú dostatočné množstvo príkladov z výpočtovej inžinierskej praxe.

Jedným z cieľov tohto kurzu prednášok je ucelená prezentácia základov matematickej lineárnej teórie pružnosti s dôrazom na jej metódy používané v praktických aplikáciách. Ďalším cieľom je na konkrétnych príkladoch strojných prvkov (hrubostenné rúry, dosky, škrupiny) ukázať, ako sa pri štúdiu výpočtových vzorcov implementuje matematický aparát tejto teórie a ako sa tieto používajú na konkrétnych príkladoch. Toto bolo urobené v statickej elastickej formulácii pre najbežnejšiu triedu osovo symetrických problémov, ktoré sú najjednoduchšie z hľadiska vplyvu na tento aparát geometrie a charakteru zaťaženia skúmaných objektov.

Oboznámenie sa s týmto predmetom výrazne uľahčí ďalšie štúdium metód navrhovania a výpočtov zložitých strojov a konštrukcií, ktoré oplývajú modernými technológiami. Tieto metódy sa v súčasnosti snažia reflektovať také vlastnosti výpočtov konštrukčných prvkov, ako sú nestacionárne teplotné podmienky, variabilné parametre pružnosti, možná vrstvená alebo vystužená štruktúra, plastické deformácie a dotvarovanie, a to s čo najúplnejším zohľadnením parametrov pohybu a geometria skúmaných objektov. Vo väčšine prípadov sa to realizuje len s využitím moderných numerických metód s ich následnou implementáciou na počítači.

- – odbor mechaniky, ktorý študuje elastické deformácie a napätia v pevnom telese spôsobené fyzikálnymi vplyvmi. [Terminologický slovník stavebníctva v 12 jazykoch] Názov výrazu: Všeobecné výrazy Záhlavia encyklopédie: Abrazívny... ... Encyklopédia pojmov, definícií a vysvetlení stavebných materiálov

teória elasticity- Veda o zákonitostiach zmien v napätých a deformovaných stavoch zaťaženého telesa v medziach elastickej práce materiálu [Terminologický slovník konštrukcie v 12 jazykoch (VNIIIS Gosstroy ZSSR)] EN teória pružnosti DE.. ... Technická príručka prekladateľa

teória elasticity- tamprumo teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teória pružnosti vok. Elastizitätstheorie, f rus. teória pružnosti, f pranc. théorie d'élasticité, f … Fizikos terminų žodynas

TEÓRIA ELASTICITY- náuka o zákonitostiach zmeny napätých a deformovaných stavov zaťaženého telesa v medziach elastickej práce materiálu (bulharčina; Български) teória pružnosti (česky; česky) teorie pružnosti (nem.... ... Stavebný slovník

Teória elasticity a plasticity- pozostáva z dvoch pododdielov: Teória pružnosti, Teória plasticity. Zoznam významov slova alebo slovného spojenia... Wikipedia

TEÓRIA ELASTICITY- odvetvie mechaniky, v ktorom sa študujú posuny, deformácie a napätia vznikajúce v pokojových alebo pohybujúcich sa pružných telesách pod vplyvom zaťaženia. U. t základ pre výpočty pevnosti, deformovateľnosti a stability v stavebníctve, obchode, letectve a... ... Fyzická encyklopédia

ELASTICITA MATEMATICKÁ TEÓRIA- odvetvie mechaniky, v ktorom sa študujú posuny, deformácie a napätia vznikajúce v pokojových alebo pohybujúcich sa pružných telesách pod vplyvom zaťaženia. Stres v ktoromkoľvek bode tela je charakterizovaný 6 hodnotami zložiek stresu: normálny... Matematická encyklopédia

Teória elasticity- Mechanika kontinua Kontinuum Klasická mechanika Zákon zachovania hmoty Zákon zachovania hybnosti ... Wikipedia

Teória elasticity- odvetvie mechaniky (Pozri Mechanika), ktoré študuje posuny, deformácie a napätia, ktoré vznikajú v pružných telesách v pokoji alebo v pohybe pod vplyvom zaťaženia. U. t. teoretický základ pre výpočty pevnosti, deformovateľnosti a... ... Veľká sovietska encyklopédia

Teória plasticity- Teória plasticity je odvetvie mechaniky kontinua, ktorého cieľom je určiť napätia a posuny v deformovateľnom telese za hranicami pružnosti. Presne povedané, v teórii plasticity sa predpokladá, že stav napätia... ... Wikipedia

knihy

• Teória pružnosti, M. Filonenko-Borodich, Krátky kurz o teórii pružnosti ponúkaný čitateľom je založený na prednáškach autora na Moskovskej štátnej univerzite. M. V. Lomonosov. Tieto prednášky majú... Kategória: Matematika Vydavateľ: YOYO Media, Výrobca: Yoyo Media, Kúpiť za 2200 UAH (iba Ukrajina)
• Teória elasticity, M. Filonenko-Borodich, „Krátky kurz teórie elasticity“ ponúkaný čitateľom je zostavený na základe prednášok autora na Moskovskej štátnej univerzite. M. V. Lomonosov. Tieto prednášky... Kategória: Matematika a veda Séria: Vydavateľ:

Teória elasticityštuduje napätia a deformácie pružných telies, ktoré vznikajú pod vplyvom vonkajších síl (zaťažení) na ne.

Elasticita- ide o schopnosť tela, ktoré pri zaťažení zmenilo svoj tvar a veľkosť, vrátiť sa po odstránení záťaže do pôvodnej veľkosti a tvaru. Ak zmena veľkosti tela lineárne závisí od zaťaženia, potom lineárna elasticita. Teleso s touto vlastnosťou je tzv dokonale elastické. Materiály s ideálnou elasticitou sú oceľ, liatina, hliník, drevo, sklo. Ak zmena veľkosti tela závisí nelineárne od zaťaženia, potom hovoríme o nelineárnej elasticite. Napríklad guma má nelineárnu elasticitu. Budeme študovať lineárna teória elasticity.

Ryža. 1 - Lineárna (1) a nelineárna (2) elasticita

Ak sú v každom bode vlastnosti telesa vo všetkých smeroch rovnaké, potom sa také teleso nazýva izotropný. S inžinierskou presnosťou možno oceľ považovať za izotropnú. Ak sa v každom bode vlastnosti telesa líšia v rôznych smeroch, potom sa také teleso nazýva anizotropný. Takéto vlastnosti má drevo, ktoré má niektoré vlastnosti pozdĺž vlákna a iné naprieč vláknami. Budeme študovať lineárna teória pružnosti izotropných telies.

Okrem toho zavádzame nasledujúce obmedzenia:

1. Materiál tiel je homogénne, t.j. jeho vlastnosti sú rovnaké vo všetkých bodoch telesa;
2. Materiál tiel má kontinuita, to znamená, že deformácia tela prebieha bez pretrhnutia;
3. Uvažujú sa len telesá, ktorých deformácie a posuny pri zaťažení sú v porovnaní s veľkosťou telesa malé.

Problémy stability elastickej rovnováhy, výpočty silne zakrivených tyčí a ohýbanie dosiek a škrupín s priehybmi porovnateľnými s hrúbkou škrupiny sú teda vylúčené z našej úvahy. Tieto problémy sa berú do úvahy geometricky nelineárna teória pružnosti.

Lineárna teória pružnosti študuje vnútorné sily, ktoré vznikajú v ideálne elastickom tele pod vplyvom vonkajších síl.

Sily sa teda delia na vonkajšie (sily vzájomného pôsobenia medzi rôznymi telesami) a vnútorné (sily vznikajúce medzi dvoma susednými prvkami vo vnútri telesa). Vonkajšie sily môžu pôsobiť v bode (koncentrované), pozdĺž povrchu telesa (povrch) a v každom bode telesa (objemovo).

Uvažujme teleso v rovnováhe pri pôsobení vonkajších síl F1, F2, …, Fn (obr. 2a). Medzi časťami tela vznikajú vnútorné interakčné sily, ktoré môžu telo zničiť. Aby sme určili tieto sily v sekcii, ktorá nás zaujíma, mentálne rozdelíme telo na dve časti a po vyradení pravej časti nahradíme jej pôsobenie na zvyšnú časť výslednou silou. R (obr. 2b).

Nechajte os OX smerovať kolmo na náš rez. Potom sú osi OY a OZ umiestnené v rovine rezu. Projekcia výslednej sily P na osi OX nám dáva normálne Px , a na osiach OY a OZ - dotyčnice Py A Pz zložky tejto sily.

V skutočnosti sila P nie je aplikovaný v bode, ale je nerovnomerne rozmiestnený po celom úseku. Intenzita tejto sily, teda sila pôsobiaca na jednotku plochy, sa nazýva Napätie. Plné napätie v bode je definovaný ako limit pomeru:

Normálne napätie v bode je definovaný ako limit pomeru

Šmykové napätie v bode sú definované ako hranice vzťahov

Prvý index pre šmykové napätia označuje smer šmykových napätí a druhý index je os kolmá na plochu, na ktorú pôsobia šmykové napätia. Vyrežme mentálne elementárny kváder so stranami dx, dy a dz v ľubovoľnom bode uvažovaného rezu a zvážme napätia pôsobiace na steny tohto kvádra (obr. 3).

Potom v každom bode sú napätia, ktoré sú reprezentované maticou tzv tenzor stresu.

Je zrejmé, že zložky tenzora napätia závisia od výberu súradnicového systému.

Cez zložky tenzora napätia možno nájsť takzvané ekvivalentné napätie, ktoré nezávisí od výberu súradnicového systému. Ekvivalentné napätie možno prirovnať k pevnostnej charakteristike materiálu, ktorú predstavuje dovolené napätie.

Potom sa podmienka pevnosti zapíše v známom tvare:

Úlohou teórie pružnosti je čo najpresnejšie určiť zložky tenzora napätia, a teda aj ekvivalentné napätie.

Schematicky označme oblasti použitia rôznych teórií na opísanie napäto-deformačného stavu dielov na ťahovom diagrame vzorky mäkkej ocele pred porušením.

Ryža. 4 - Oblasti použitia rôznych teórií: I - teória pružnosti, II - teória plasticity, III - lomová mechanika

Ak sú napätia vo výpočtoch väčšie ako medza klzu sv (v modernej notácii Rp ), potom sa nazývajú podmienene elastické. Existujú metódy, ktoré umožňujú študovať elasticko-plastický a plastický stav dielu pomocou elastických riešení. Pozrime sa na všeobecnú štruktúru teórie pružnosti.

Ryža. 6 - Bloková schéma teórie pružnosti

Od 70. rokov sa v prácach o teórii pružnosti najčastejšie používa moderný matematický aparát. Formálny matematický aparát je označenie a formalizácia predmetov a pôsobenia na ne. Teória elasticity využíva tenzorový počet. V našom kurze použijeme tenzorový počet len ​​ako ilustráciu krátkeho zápisu rozšírených výrazov. Aby bolo možné písať stručne, súradnicové osi a indexy napätia nie sú označené písmenami, ale číslami.

Hodnosť tenzora je počet indexov, ktoré sú k nemu pripojené. Ako sa ukáže neskôr, tenzor stresu je tenzorom druhého stupňa. Podľa definície je tenzor druhého stupňa súborom veličín Aij, ktoré závisia od dvoch indexov a transformujú sa pri zmene súradnicového systému podľa vzorcov

Hodnosť tenzora nesúvisí s rozmerom priestoru! Rozmer priestoru je určený počtom hodnôt, ktoré má každý index. Ak i, j, k, l nadobudnúť hodnoty 1, 2, 3, potom je tenzor (*) definovaný v trojrozmernom priestore. Pravidlá pre zbaľovanie a rozširovanie výrazov: pomocou vnútorných (opakujúcich sa v jednočlennom) indexoch k, l vykoná sa súčet a end-to-end (opakujúce sa vľavo a vpravo) indexy i, j určiť počet rovníc. Príklad rozšírenia výrazu (*) pre hodnoty i = 2, j = 3:

Ďalšou skratkou v zápise je, že parciálne deriváty sa označujú dolným indexom, za ktorým nasleduje čiarka. Napríklad:

Potom notácia označuje niekoľko vzťahov:

V budúcnosti sa postaráme o to, aby tabuľka napätia v bode bola tenzorom druhého stupňa, t. j. spĺňala vzťahy (*) pri zmene súradnicového systému.