พิสูจน์บทสนทนาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทเรียน "ทฤษฎีบท ส่วนกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส" บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

การพิจารณาหัวข้อของหลักสูตรของโรงเรียนโดยใช้บทเรียนวิดีโอเป็นวิธีที่สะดวกในการศึกษาและซึมซับเนื้อหา วิดีโอช่วยเน้นความสนใจของนักเรียนในประเด็นทางทฤษฎีหลักและไม่พลาดรายละเอียดที่สำคัญ หากจำเป็น นักเรียนสามารถฟังบทเรียนวิดีโออีกครั้งหรือย้อนกลับไปสองสามหัวข้อได้เสมอ

วิดีโอแนะนำสำหรับเกรด 8 นี้จะช่วยให้นักเรียนเรียนรู้หัวข้อใหม่ในเรขาคณิต

ในหัวข้อที่แล้ว เราศึกษาทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิเคราะห์ข้อพิสูจน์ของมัน

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทหนึ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน ลองพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม

ทฤษฎีบท. สามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมฉากถ้ามันเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน: ค่าของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมกำลังสองจะเท่ากับผลบวกของอีกสองด้านกำลังสอง

การพิสูจน์. สมมติว่าเราได้รับสามเหลี่ยม ABC ซึ่งความเท่าเทียมกัน AB 2 = CA 2 + CB 2 เป็นจริง เราต้องพิสูจน์ว่ามุม C เท่ากับ 90 องศา พิจารณาสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 โดยที่มุม C 1 เท่ากับ 90 องศา ด้าน C 1 A 1 เท่ากับ CA และด้าน B 1 C 1 เท่ากับ BC

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเขียนอัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยม A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . โดยการแทนที่นิพจน์ด้วยด้านเท่ากัน เราจะได้ A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2

เรารู้จากเงื่อนไขของทฤษฎีบทว่า AB 2 = CA 2 + CB 2 . จากนั้นเราสามารถเขียน A 1 B 1 2 = AB 2 ซึ่งหมายความว่า A 1 B 1 = AB

เราพบว่าในรูปสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 มีสามด้านเท่ากัน: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB สามเหลี่ยมพวกนี้จึงเท่ากันหมด จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม มุม C เท่ากับมุม C 1 และเท่ากับ 90 องศา เราได้กำหนดว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมของมันคือ 90 องศา เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้แล้ว

ผู้เขียนจึงยกตัวอย่าง สมมติว่าเราได้รับสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ ทราบขนาดของด้านข้าง: 5, 4 และ 3 หน่วย ลองตรวจสอบข้อความจากทฤษฎีบท สนทนากับทฤษฎีบทพีทาโกรัส: 5 2 = 3 2 + 4 2 . หากข้อความถูกต้อง สามเหลี่ยมที่ให้มาจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในตัวอย่างต่อไปนี้ สามเหลี่ยมจะมีมุมฉากด้วยถ้าด้านเท่ากัน:

5, 12, 13 ยูนิต; ความเท่าเทียมกัน 13 2 = 5 2 + 12 2 เป็นจริง

8, 15, 17 ยูนิต; สมการ 17 2 = 8 2 + 15 2 เป็นจริง

7, 24, 25 ยูนิต; สมการ 25 2 = 7 2 + 24 2 เป็นจริง

แนวความคิดของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสเป็นที่รู้จัก มันคือสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีค่าด้านข้างเป็นจำนวนเต็ม หากขาของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสแสดงด้วย a และ c และด้านตรงข้ามมุมฉาก b ค่าของด้านข้างของสามเหลี่ยมนี้สามารถเขียนได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (ม. 2 + น 2)

โดยที่ m, n, k คือจำนวนธรรมชาติใดๆ และค่าของ m มากกว่าค่าของ n

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ: สามเหลี่ยมที่มีด้าน 5, 4 และ 3 เรียกอีกอย่างว่าสามเหลี่ยมอียิปต์ สามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นที่รู้จักในอียิปต์โบราณ

ในวิดีโอสอนนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีบท ซึ่งเป็นการสนทนาของทฤษฎีบทพีทาโกรัส พิจารณาหลักฐานโดยละเอียด นักเรียนยังได้เรียนรู้ว่าสามเหลี่ยมใดเรียกว่าสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

นักเรียนสามารถทำความคุ้นเคยกับหัวข้อ "Theorem, the inverse of the Pythagorean theorem" ได้อย่างง่ายดายด้วยความช่วยเหลือจากบทเรียนวิดีโอนี้

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่า:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

a 2 + b 2 = c 2,

• เอและ ข- ขาทำมุมฉาก
• กับคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม

สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัส

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยสูตร:

S = \frac(1)(2)ab

ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพลการ สูตรพื้นที่คือ:

• พี- ครึ่งวงกลม p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• rคือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ สำหรับสี่เหลี่ยม r=\frac(1)(2)(a+b-c)

จากนั้นเราเทียบด้านขวาของทั้งสองสูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = เป็^(2)+b^(2)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสผกผัน:

หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านใดด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของอีกสองด้านที่เหลือ สามเหลี่ยมนั้นก็คือสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ สำหรับจำนวนบวกสามเท่าใดๆ ก, ขและ ค, ดังนั้น

a 2 + b 2 = c 2,

มีขาสามเหลี่ยมมุมฉาก เอและ ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส- หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก ได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์นักคณิตศาสตร์และปราชญ์ Pythagoras

ความหมายของทฤษฎีบทโดยสามารถใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นๆ และแก้ปัญหาได้

วัสดุเพิ่มเติม:

เรื่อง: ทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: 1) พิจารณาทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทพีทาโกรัส การประยุกต์ใช้ในกระบวนการแก้ปัญหา รวมทฤษฎีบทพีทาโกรัสและปรับปรุงทักษะการแก้ปัญหาสำหรับการใช้งาน

2) พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ การค้นหาอย่างสร้างสรรค์ ความสนใจทางปัญญา

3) เพื่อให้ความรู้นักเรียนในทัศนคติที่รับผิดชอบในการเรียนรู้วัฒนธรรมการพูดทางคณิตศาสตร์

ประเภทบทเรียน บทเรียนในการเรียนรู้ความรู้ใหม่ๆ

ระหว่างเรียน

І. เวลาจัดงาน

ІІ. อัปเดต ความรู้

บทเรียนของฉันจะต้องการเริ่มต้นด้วย quatrain

ใช่ เส้นทางแห่งความรู้ไม่ราบรื่น

แต่เรารู้ตั้งแต่สมัยเรียน

ความลึกลับมากกว่าปริศนา

และไม่จำกัดการค้นหา!

ในบทเรียนที่แล้ว คุณได้เรียนรู้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส คำถาม:

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับตัวเลขใด

สามเหลี่ยมใดเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก

กำหนดทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแต่ละรูปจะเขียนอย่างไร

สามเหลี่ยมอะไรเรียกว่าเท่ากัน?

กำหนดเครื่องหมายความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม?

และตอนนี้เรามาทำงานอิสระกันเถอะ:

แก้ปัญหาตามรูปวาด

№1

(1 b.) ค้นหา: AB

№2

(1 ข.) ค้นหา: ปีก่อนคริสตกาล

№3

( 2 ข.)ค้นหา: AC

№4

(1 ข.)ค้นหา: AC

№5 มอบให้: ABCดีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

(2 b.) AB \u003d 13 cm

AC = 10 ซม.

ค้นหาในดี

ตรวจสอบด้วยตนเอง #1 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. การศึกษาของ ใหม่ วัสดุ.

ชาวอียิปต์โบราณสร้างมุมฉากบนพื้นดินในลักษณะนี้: พวกเขาแบ่งเชือกออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กันด้วยนอตผูกปลายของมันหลังจากนั้นเชือกก็ถูกยืดออกบนพื้นเพื่อให้สามเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นด้วยด้าน 3, 4 และ 5 ดิวิชั่น. มุมของสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงข้ามกับด้านที่มี 5 ส่วนคือด้านขวา

คุณสามารถอธิบายความถูกต้องของการตัดสินนี้ได้หรือไม่?

จากการค้นหาคำตอบของคำถาม นักเรียนควรเข้าใจว่าจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำถามคือ สามเหลี่ยมจะเป็นมุมฉากหรือไม่

เราสร้างปัญหา: อย่างไรโดยไม่ต้องทำการวัดเพื่อตรวจสอบว่าสามเหลี่ยมที่มีด้านที่กำหนดนั้นเป็นมุมฉากหรือไม่ การแก้ปัญหานี้คือจุดประสงค์ของบทเรียน

เขียนหัวข้อของบทเรียน

ทฤษฎีบท. หากผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของสองด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านที่สาม แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

พิสูจน์ทฤษฎีบทอย่างอิสระ (จัดทำแผนพิสูจน์ตามตำราเรียน)

จากทฤษฎีบทนี้ สามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4, 5 เป็นมุมฉาก (อียิปต์)

โดยทั่วไป ตัวเลขที่มีความเท่าเทียมกัน เรียกว่าพีทาโกรัสแฝดสาม และสามเหลี่ยมที่ความยาวด้านแสดงโดยสามพีทาโกรัส (6, 8, 10) คือสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

การรวมบัญชี

เพราะ แล้วสามเหลี่ยมที่มีด้าน 12, 13, 5 ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก

เพราะ จากนั้นสามเหลี่ยมที่มีด้าน 1, 5, 6 จะเป็นมุมฉาก

№ 430 (ก, ข, ค)

( - ไม่ใช่)