4. СТРОЕНИЕ ЗЕМЛИ ПО ДАННЫМ СЕЙСМОЛОГИИ

Основы теории упругости: тензор деформации, тензор напряжений, закон Гука, упругие модули, однородные деформации, упругие волны в изотропной среде, законы Ферма, Гюйгенса, Снеллиуса. Сейсмические волны. Развитие сейсмометрических наблюдений: сейсмические станции и их сети, годографы, траектории волн внутри Земли. Определение скорости распространения сейсмических волн с помощью уравнения Гертлоца-Вихерта. Скорости продольных и поперечных волн как функции радиуса Земли. Состояние вещества Земли по данным сейсмологии. Земная кора. Литосфера и астеносфера. Сейсмология и глобальная тектоника.

Основы теории упругости [Ландау, Лифшиц, 2003, с. 9-25, 130-144]

Тензор деформации

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание теории упругости . Основные уравнения теории упругости были установлены О.Л. Коши и С.Д. Пуассоном в 20-х годах 19 века (подробнее см. главу 15).

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т.е. изменяют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают следующим образом. Положение каждой точки тела определяется ее радиус-вектором r (с компонентами х 1 = х , х 2 = у , х 3 = z ) в некоторой системе координат. При деформировании тела все его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела; если ее радиус-вектор до деформирования был r , то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое

значение r / (с компонентами x i / ). Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда вектором r / - r , который обозначим буквой u :

Вектор u называют вектором деформации (или вектором смещения ). Знание вектора u

как функции от x i полностью определяет деформацию тела.

При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Если радиусвектор между ними до деформирования был dx i , то в деформированном теле радиус-

вектор между теми же двумя точками будет dx i / = dx i + du i . Само расстояние между точками до деформирования было равно:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2 ,

а после деформирования:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Окончательно получаем:

Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Тензор u ik называется тензором деформации ; по своему определению он симметричен:

Как и всякий симметричный тензор, тензор u ik в каждой точке можно привести к

главным осям и убедиться, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформации по трем перпендикулярным направлениям – главным осям тензора деформации. Практически почти во всех случаях деформирования тел деформации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы по сравнению с единицей.

За исключением некоторых особых случаев, которых касаться не будем, если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации также являются малыми. Поэтому в выражении (4.3) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в случае малых деформаций тензор деформации определится выражением:

Итак, силы являются причиной возникающих в теле движений (перемещений), а деформации – результатом движений [Хайкин, 1963, с. 176].

Основное допущение классической теории упругости

В недеформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его теплового равновесия. При этом все его части находятся друг с другом и в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частей, равна нулю.

При деформировании же расположение молекул меняется, и тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В результате в нем возникнут силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформировании внутренние силы называются внутренними напряжениями . Если тело не деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют.

Внутренние напряжения обуславливаются молекулярными связями, т.е. силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Весьма существенным для теории упругости является то обстоятельство, что молекулярные силы обладают очень незначительным радиусом действия. Их влияние распространяется вокруг создающей их частицы лишь на расстоянии порядка межмолекулярных. Но в теории упругости, как в макроскопической теории, рассматриваются только расстояния, большие по сравнению с межмолекулярными. Поэтому «радиус действия» молекулярных сил в теории упругости должен считаться равным нулю. Можно сказать, что силы, обусловливающие внутренние напряжения, являются в теории упругости силами «близкодействующими», передающимися от каждой точки только к ближайшим с нею точкам.

Таким образом, в классической теории упругости силы, действующие на какуюнибудь часть тела со стороны окружающих ее частей, проявляют это действие только непосредственно через поверхность этой части тела.

По сути, такой же идеологии применительно к теории упругости вслед за [Ландау, Лифшиц, 2003] придерживается и автор фундаментального труда [Хайкин, 1963, с. 484].

Тензор напряжений

Вывод о том, что все силы проявляют свое действие только через поверхность, является ключевым для классической теории упругости. Он позволяет для любого объема тела каждую из трех компонент равнодействующей всех внутренних напряжений сил

∫ F i dV (где F i - сила, действующая на единицу объема dV ) преобразовать в интеграл по поверхности этого объема. В таком случае, как следует из векторного анализа, вектор F i должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т.е. иметь вид:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂x k

Тогда сила, действующая на некоторый объем, сможет быть записана в виде интеграла по замкнутой поверхности, охватывающей этот объем:

охватывающей объем dV .

Тензор σ ik называется тензором напряжений . Как видно из (4.7), σ ik df k есть i -я

компонента силы, действующей на элемент поверхности d f . Выбирая элементы поверхности в плоскостях ху , уz , xz , находим, что компонента σ ik тензора напряжений

есть i -я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси x k . Так, на единичную площадку, перпендикулярную к оси х , действуют нормальная к

ней (направленная вдоль оси х ) сила σ xx и тангенциальные (направленные по осям y и z )

силы σ yx и σ zx .

Отметим, что сила, действующая со стороны внутренних напряжений на всю поверхность тела, в отличие от (4.7) есть:

− ∫ σ ik df k .

Записывая момент сил M ik , действующих на некоторый объем тела, в виде:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

и требуя, чтобы он выражался в виде интеграла только по поверхности, получаем, что тензор напряжения является симметричным:

К аналогичному выводу можно прийти и более простым путем [Сивухин, 1974, с. 383]. А именно. Момент dM ik прямо пропорционален моменту инерции элементарного

объема dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 и, следовательно, получаем (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0 , откуда автоматически следует соотношение (4.8).

Симметрия тензора напряжений позволяет его в каждой точке привести его к главным осям , т.е. в каждой точке тензор напряжений может быть представлен в виде:

В равновесии силы внутренних напряжений должны взаимно компенсироваться в каждом элементе объема тела, т.е. должно быть F i = 0 . Таким образом, уравнения

равновесия деформированного тела имеют вид:

∂ σ ik = 0 .

∂x k

Если тело находится в поле силы тяжести, то должна исчезать сумма F + ρ g сил внутренних напряжений F и силы тяжести ρ g , действующей на единицу объема, ρ -

плотность тела, g – вектор ускорения свободного падения. Уравнения равновесия в этом случае имеют вид:

Энергия деформирования

Рассмотрим какое-нибудь деформированное тело и предположим, что его деформация меняется так, что вектор деформации u i изменяется на малую величину δ u i .

Определим работу, производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу (4.6) на перемещение δ u i и интегрируя по всему объему тела, получим:

Символом δ R обозначена работа сил внутренних напряжений в единице объема тела. Интегрируя по частям, рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, устремляя поверхность интегрирования в бесконечность, тогда на ней σ ik = 0 , получаем:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Таким образом, находим:

Полученная формула определяет работу по изменению тензора деформации, которая и определяет изменение внутренней энергии тела.

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ – раздел механики сплошных сред, изучающий перемещения, деформации и напряжения покоящихся или движущихся тел под действием нагрузок. Цель этой теории – вывод математических уравнений, решение которых позволяет ответить на следующие вопросы: каковы будут деформации данного конкретного тела, если к нему приложить в известных местах нагрузки заданной величины? Каковы будут при этом напряжения в теле? Вопрос в том, разрушится ли тело или выдержит эти нагрузки, тесно связан с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в компетенцию этой теории.

Количество возможных примеров безгранично – от определения деформаций и напряжений в балке, лежащей на опорах и нагруженной силами, до расчета тех же величин в конструкции самолета, корабля, подводной лодки, в колесе вагона, в броне при ударе снаряда, в горном массиве при прохождении штольни, в каркасе высотного здания и т.д. Здесь нужно сделать оговорку: конструкции, состоящие из тонкостенных элементов, рассчитывают по упрощенным теориям, логически основанным на теории упругости; к таким теориям относятся: теория сопротивления материалов действию нагрузок (знаменитый «сопромат»), задачей которой, в основном, является расчет стержней и балок; строительная механика – расчет стержневых систем (например, мостов); и, наконец, теория оболочек – по существу, самостоятельная и очень сильно развитая область науки о деформациях и напряжениях, предмет исследования которой – важнейшие элементы конструкций – тонкостенные оболочки – цилиндрические, конические, сфероидальные, и имеющие более сложные формы. Поэтому в теории упругости обычно рассматриваются тела, у которых существенные размеры отличаются не слишком сильно. Таким образом, рассматривается упругое тело заданной формы, на которое действуют известные силы.

Основными понятиями теории упругости являются напряжения, действующие на малых площадках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку M , деформации малой окрестности точки M и перемещения самой точки M . Точнее говоря, вводятся тензоры напряжений s ij , тензор малых деформаций e ij и вектор перемещения u i .

Краткое обозначение s ij , где индексы i , j принимают значения 1, 2, 3 следует понимать как матрицу вида:

Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора e ij .

Если физическая точка тела M вследствие деформации заняла новое положение в пространстве M´ , то вектор перемещения есть вектор с компонентами (u x u y u z ), или, сокращенно, u i . В теории малых деформаций компоненты u i и e i считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора e ij и вектора u ij связаны формулами Коши, которые имеют вид:

Видно, что e xy = e yx , и, вообще говоря, e ij = e ji , поэтому тензор деформаций является симметричным по определению.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (т.е. скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая часть тела, которую можно мысленно из него выделить. Из тела выделяется маленький (строго говоря, бесконечно малый) прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы Oxyz (рис. 1).

Пусть ребра параллелепипеда имеют длины dx , dy , dz соответственно (здесь, как обычно dx есть дифференциал x , и т.д.). Согласно теории напряжений, на гранях параллелепипеда действуют компоненты тензора напряжений, которые обозначаются:

на грани OADG : s xx , s xy , s xz

на грани OABC : s yx , s yy , s yz

на грани DABE : s zx , s zy , s zz

при этом компоненты с одинаковыми индексами (например s xx ) действуют перпендикулярно грани, а с разными индексами – в плоскости площадки.

На противоположных гранях значения одноименных компонент тензора напряжений немного отличаются, это связано с тем, что они являются функциями координат и изменяются от точки к точке (всегда, кроме известных простейших случаев), а малость изменения связана с малыми размерами параллелепипеда, поэтому можно считать, что если на грани OABC действует напряжение s yy , то на грани GDEF действует напряжение s yy +ds yy , причем малая величина ds yy именно в силу своей малости может быть определена с помощью разложения в ряд Тейлора:

(здесь используются частные производные, т.к. компоненты тензора напряжений зависят от x , y , z ).

Аналогично можно выразить напряжения на всех гранях через s ij и ds ij . Далее, чтобы перейти от напряжений к силам, нужно умножить величину напряжения на площадь той площадки, на которой оно действует (например, s yy + ds yy умножить на dx dz ). Когда все силы, действующие на параллелепипед, определены, можно, как это делают в статике, записать уравнение равновесия тела, при этом во всех уравнениях для главного вектора останутся только члены с производными, так как сами напряжения взаимно уничтожаются, а множители dx dy dz сокращаются и в результате

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающие равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, которые приводятся к виду:

Эти равенства означают, что тензор напряжений есть симметричный тензор. Таким образом, для 6 неизвестных компонент s ij есть три уравнения равновесия, т.е. уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжения s ij через деформации e ij с помощью уравнений закона Гука , а затем деформации e ij выразить через перемещения u i с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнения равновесия. При этом получается три дифференциальных уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций u x u y u z , т.е. число неизвестных равно числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Ламе

не учитываются массовые силы (вес и др.)

D – оператор Лапласа , то есть

Теперь нужно задать на поверхности тела граничные условия;

основные виды этих условий следующие:

1. На известной части поверхности тела S 1 заданы перемещения, т.е. вектор перемещений равен известному вектору с компонентами { f x ; f y ; f z }:

u x = f (xyz )

u y = f (xyz)

u z = f (xyz )

(f x , f y , f z – известные функции координат)

2. На остальной части поверхности S 2 заданы поверхностные силы. Это означает, что распределение напряжений внутри тела таково, что величины напряжений в непосредственной близости от поверхности, а в пределе – на поверхности на каждой элементарной площадке создают вектор напряжений, равный известному вектору внешней нагрузки с компонентами { F x ;F y ; F z } поверхностных сил. Математически это записывается так: если в точке A поверхности вектор единичной нормали к этой поверхности имеет компоненты n x , n y , n z то в этой точке должны быть выполнены равенства относительно (неизвестных) компонент s ij : e ij , то для трех неизвестных получим шесть уравнений, то есть переопределенную систему. Эта система будет иметь решение только при выполнении дополнительных условий относительно e ij . Эти условия и есть уравнения совместности.

Эти уравнения часто называют условиями сплошности, подразумевая при этом, что они обеспечивают сплошность тела после деформации. Это выражение образное, но неточное: эти условия обеспечивают существование непрерывного поля перемещений, если в качестве неизвестных принять компоненты деформаций (или напряжений). Невыполнение этих условий ведет не к нарушению сплошности, а к отсутствию решения задачи.

Таким образом, теория упругости дает дифференциальные уравнения и граничные условия, которые позволяют сформулировать краевые задачи, решение которых дает полную информацию о распределении в рассматриваемых телах напряжений, деформаций и перемещений. Методы решения таких задач весьма сложны и наилучшие результаты дает сочетание аналитических методов с численными, использующими мощные компьютеры.

Владимир Кузнецов

Осесимметричные задачи теории упругости (лекции)

Роль расчетов на прочность и жесткость в современном машиностроении становится все более ответственной, а сами расчеты – все более сложными. Решение большинства возникающих при этом задач доступно лишь высококвалифицированным специалистам.

Вопросы, связанные с расчетами элементов конструкций, рассматриваются в таких традиционных дисциплинах как "Сопротивление материалов", "Строительная механика", "Теория упругости", в разных сочетаниях и объемах представленных в учебных программах механических специальностей вузов. Соответствующие материалы разбросаны по многочисленным литературным источникам и очень перегружены теоретической частью, изложенной на уровне читателя с высокой математической подготовкой. В них часто не подчеркивается методическая основа решения задач, а также не проводится достаточного количества примеров из расчетной инженерной практики.

Одной из целей настоящего курса лекций является компактное изложение основ математической линейной теории упругости с акцентом на ее методы, используемые в практических приложениях. Другая цель – показать на конкретных примерах элементов машин (толстостенные трубы, пластины, оболочки), как реализуется математический аппарат этой теории при изучении расчетных формул и как последние используются в конкретных примерах. Сделано это в статической упругой постановке для наиболее распространенного класса осесимметрических задач, наиболее простых по влиянию на этот аппарат геометрии и характера нагружения исследуемых объектов.

Знакомство с данным курсом существенно облегчит дальнейшее изучение методов проектирования и расчета сложных машин и сооружений, которыми изобилует современная техника. Эти методы в настоящее время стремятся отразить такие особенности расчетов элементов конструкций как нестационарный температурный режим, переменные параметры упругости, возможную слоистую или армированною структуру, пластические деформации и деформации ползучести, причем при возможно более полном учете параметров как движения, так и геометрии исследуемых объектов. В большинстве случаев это осуществляется лишь с привлечением современных численных методов с последующей реализацией их на ЭВМ.

- – раздел механики, изучающий вызванные физическими воздействиями упругие деформации и напряжения в твердом теле. [Терминологический словарь по строительству на 12 языках] Рубрика термина: Общие термины Рубрики энциклопедии: Абразивное… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

теория упругости - Наука о закономерностях изменения напряжённого и деформированного состояний нагруженного твёрдого тела в пределах упругой работы материала [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN elasticity theory DE… … Справочник технического переводчика

теория упругости - tamprumo teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. elasticity theory vok. Elastizitätstheorie, f rus. теория упругости, f pranc. théorie d’élasticité, f … Fizikos terminų žodynas

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ - наука о закономерностях изменения напряжённого и деформированного состояний нагруженного твёрдого тела в пределах упругой работы материала (Болгарский язык; Български) теория на еластичността (Чешский язык; Čeština) teorie pružnosti (Немецкий… … Строительный словарь

Теория упругости и пластичности - состоит из двух подразделов: Теории упругости, Теории пластичности. Список значений слова или словосочетан … Википедия

УПРУГОСТИ ТЕОРИЯ - раздел механики, в к ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т. основа расчётов на прочность, деформируемость и устойчивость в строит, деле, авиа и… … Физическая энциклопедия

УПРУГОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ - раздел механики, в к ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. Напряжение в любой точке тела характеризуется 6 величинами компонентами напряжений: нормальными … Математическая энциклопедия

Упругости теория - Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия

Упругости теория - раздел механики (См. Механика), в котором изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т. теоретическая основа расчётов на прочность, деформируемость и… … Большая советская энциклопедия

Теория пластичности - Теория пластичности раздел механики сплошных сред, задачами которого является определение напряжений и перемещений в деформируемом теле за пределами упругости. Строго говоря, в теории пластичности предполагается, что напряженное состояние… … Википедия

Книги

• Теория упругости , М. Филоненко-Бородич , Предлагаемый вниманию читателей краткий курс теории упругости составлен на основе лекций, прочитанных автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти лекции имеют… Категория: Математика Издатель: ЁЁ Медиа , Производитель: ЁЁ Медиа , Купить за 2200 грн (только Украина)
• Теория упругости , М. Филоненко-Бородич , Предлагаемый вниманию читателей «краткий курс теории упругости» составлен на основе лекций, прочитанных автором в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти лекции… Категория: Математика и естественные науки Серия: Издатель:

Теория упругости изучает напряжения и деформации упругих тел, возникающие под действием на них внешних сил (нагрузки).

Упругость - это способность тела, изменившего свою форму и размеры под нагрузкой, принимать исходные размеры и форму после снятия нагрузки. Если изменение размеров тела линейно зависит от нагрузки, то имеет место линейная упругость . Тело, обладающее этим свойством, называют идеально упругим . Материалы, обладающие идеальной упругостью - это сталь, чугун, алюминий, дерево, стекло. Если изменение размеров тела нелинейно зависит от нагрузки, то говорят о нелинейной упругости. Нелинейной упругостью обладает, например, резина. Мы будем изучать линейную теорию упругости .

Рис. 1 - Линейная (1) и нелинейная (2) упругость

Если в каждой точке свойства тела одинаковы во всех направлениях, то такое тело называют изотропным . С инженерной точностью изотропной можно считать сталь. Если в каждой точке свойства тела различны в разных направлениях, то такое тело называют анизотропным . Такими свойствами обладает дерево, которое имеет одни свойства вдоль волокон и другие - поперек волокон. Мы будем изучать линейную теорию упругости изотропных тел .

Дополнительно введем следующие ограничения:

1. Материал тел является однородным , т. е. его свойства одинаковы во всех точках тела;
2. Материал тел обладает сплошностью , т. е. деформирование тела происходит без разрывов;
3. Рассматриваются только тела, деформации и перемещения которых под нагрузкой малы по сравнению с размерами тела.

Таким образом, из нашего рассмотрения выпадают проблемы устойчивости упругого равновесия, расчеты сильно изогнутых стержней и изгиб пластин и оболочек при прогибах, сопоставимых с толщиной оболочки. Эти задачи рассматривает геометрически нелинейная теория упругости .

Линейная теория упругости изучает внутренние силы, возникающие в идеально упругом теле под действием на него внешних сил.

Таким образом, силы подразделяются на внешние (силы взаимодействия разных тел) и внутренние (силы, возникающие между двумя смежными элементами внутри тела). Внешние силы бывают приложены в точке (сосредоточенные), по поверхности тела (поверхностные) и в каждой точке тела (объемные).

Рассмотрим тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил F1, F2, …, Fn (рис. 2а). Между частями тела возникают внутренние силы взаимодействия, которые могут разрушить тело. Чтобы определить эти силы в интересующем нас сечении, мысленно расчленим тело на две части и, отбросив правую часть, заменим ее действие на оставшуюся часть равнодействующей силой Р (рис. 2б).

Пусть ось OX направлена перпендикулярно нашему сечению. Тогда оси OY и OZ расположены в плоскости сечения. Проекция равнодействующей силы P на ось OX дает нам нормальную Px , а на оси OY и OZ - касательные Py и Pz составляющие этой силы.

В действительности сила P приложена не в точке, а неравномерно распределена по всему сечению. Интенсивность этой силы, то есть силу, действующую на единице площади, называют напряжением . Полное напряжение в точке определяют как предел отношения:

Нормальное напряжение в точке определяют как предел отношения

Касательные напряжения в точке определяют как пределы отношений

Первый индекс при касательных напряжениях обозначает направление касательных напряжений, а второй индекс - ось, нормальную к грани, на которой действуют касательные напряжения. Вырежем мысленно в произвольной точке рассматриваемого сечения элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy и dz и рассмотрим напряжения, действующие на гранях этого параллелепипеда (рис. 3).

Тогда в каждой точке действуют напряжения, которые представляются матрицей, называемой тензором напряжений .

Ясно, что составляющие тензора напряжений зависят от выбора системы координат.

Через составляющие тензора напряжений можно найти так называемое эквивалентное напряжение , которое не зависит от выбора системы координат. Эквивалентное напряжение можно сопоставить с характеристикой прочности материала, которая представляется допускаемым напряжением .

Тогда условие прочности записывается в известном виде:

Задача теории упругости заключается в наиболее точном определении составляющих тензора напряжений, а значит и эквивалентного напряжения .

Обозначим схематично области применения различных теорий для описания напряженно-деформированного состояния деталей на диаграмме растяжения образца из мягкой стали до разрушения.

Рис. 4 - Области применения различных теорий: I - теория упругости, II - теория пластичности, III - механика разрушения

Если напряжения в расчетах получаются больше предела текучести sт (в современных обозначениях Rp ), то их называют условно-упругими. Существуют методы, которые позволяют с помощью упругих решений изучать упруго-пластическое и пластическое состояние детали. Рассмотрим общую структуру теории упругости.

Рис. 6 - Структурная схема теории упругости

С 70-х годов в работах по теории упругости чаще всего используют современный математический аппарат. Формальный математический аппарат - это обозначения и формализация объектов и действий над ними. В теории упругости используют тензорное исчисление. Мы в нашем курсе будем использовать тензорное исчисление только как иллюстрацию краткой записи развернутых выражений. Для возможности краткой записи оси координат и индексы напряжений обозначаются не буквами, а числами.

Ранг тензора - это число индексов при нем. Как будет показано в дальнейшем, тензор напряжений - это тензор второго ранга. По определению тензором второго ранга называют совокупность величин Aij , которые зависят от двух индексов и преобразуются при изменении системы координат по формулам

Ранг тензора не связан с размерностью пространства! Размерность пространства определяется числом значений, которое принимает каждый индекс. Если i , j , k , l принимают значения 1, 2, 3, то тензор (*) определен в трехмерном пространстве. Правила свертывания-развертывания выражений: по внутренним (повторяющимся в одночлене) индексам k , l производится суммирование, а сквозные (повторяющиеся слева и справа) индексы i , j определяют число уравнений. Пример развертывания выражения (*) для значений i = 2, j = 3:

Еще одно сокращение в записи - частные производные обозначаются индексом за запятой. Например:

Тогда запись обозначает несколько соотношений:

В дальнейшем мы убедимся, что табличка напряжений в точке является тензором второго ранга, т. е. удовлетворяет соотношениям (*) при изменении системы координат.