Matematička vrijednost područja poznata je još od antičke Grčke. Još u tim dalekim vremenima Grci su otkrili da je područje neprekinuti dio površine, koji je sa svih strana ograničen zatvorenom konturom. Ovo je brojčana vrijednost koja se mjeri u kvadratnim jedinicama. Površina je numerička karakteristika kako ravnih geometrijskih figura (planimetrijski), tako i površina tijela u prostoru (volumetrijske).
Trenutno se nalazi ne samo u školskom programu u nastavi geometrije i matematike, već iu astronomiji, svakodnevnom životu, građevinarstvu, razvoju dizajna, proizvodnji i mnogim drugim ljudskim predmetima. Vrlo često pribjegavamo izračunavanju površina segmenata na osobnoj parceli kada dizajniramo krajolik ili tijekom renoviranja ultramodernog dizajna sobe. Stoga će poznavanje metoda za izračunavanje različitih površina biti korisno uvijek i svugdje.
Da biste izračunali površinu kružnog segmenta i segmenta sfere, morate razumjeti geometrijske pojmove koji će biti potrebni tokom procesa proračuna.
Prije svega, segment kruga je fragment ravne figure kruga, koji se nalazi između luka kruga i tetive koji ga odsijeca. Ovaj koncept ne treba brkati sa sektorskom figurom. To su potpuno različite stvari.
Tetiva je segment koji spaja dvije tačke koje leže na kružnici.
Centralni ugao se formira između dva segmenta - poluprečnika. Mjeri se u stepenima lukom na koji se oslanja.
Segment sfere nastaje kada je dio odsječen nekom ravninom.U ovom slučaju, osnova sfernog segmenta je kružnica, a visina je okomica koja izlazi iz središta kružnice do sjecišta s površinom sfere. Ova tačka preseka naziva se vrh segmenta lopte.
Da biste odredili površinu segmenta sfere, morate znati odsječeni krug i visinu sfernog segmenta. Proizvod ove dvije komponente bit će površina segmenta sfere: S=2πRh, gdje je h visina segmenta, 2πR je obim, a R je polumjer velikog kruga.
Da biste izračunali površinu segmenta kruga, možete se poslužiti sljedećim formulama:
1. Da biste na najjednostavniji način pronašli površinu segmenta, potrebno je izračunati razliku između površine sektora u koji je segment upisan i čija je osnova tetiva segmenta: S1=S2 -S3, gdje je S1 površina segmenta, S2 je površina sektora, a S3 je površina trokuta.
Možete koristiti približnu formulu za izračunavanje površine kružnog segmenta: S=2/3*(a*h), gdje je a osnova trokuta ili h visina segmenta, što je rezultat razlike između polumjera kružnice i
2. Površina segmenta različitog od polukruga izračunava se na sljedeći način: S = (π R2:360)*α ± S3, gdje je π R2 površina kruga, α je mjera stepena centralnog ugla, koji sadrži luk segmenta kružnice, S3 je površina trokuta koji je formiran između dva polumjera kružnica i tetiva, koja ima ugao u centralnoj tački kružnice i dva vrha u tačkama dodira poluprečnika sa kružnicom.
Ako je ugao α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 stepeni, znak plus je primenjen.
3. Možete izračunati površinu segmenta koristeći druge metode koristeći trigonometriju. U pravilu se kao osnova uzima trokut. Ako se središnji ugao mjeri u stepenima, onda je prihvatljiva sljedeća formula: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, gdje je R2 kvadrat polumjera kružnice, α je stepena mera centralnog ugla.
4. Da biste izračunali površinu segmenta pomoću trigonometrijskih funkcija, možete koristiti drugu formulu, pod uslovom da se središnji ugao mjeri u radijanima: S= R2 * (α - sin α)/2, gdje je R2 kvadrat poluprečnik kružnice, α je stepen centralnog ugla.
- 01.10.2018
Na osnovu wi-fi modula NodeMcu v3 sa ESP8266 (ESP-12e) čipom, možete napraviti (na primjer) termometar na digitalnom senzoru 18B20; informacije o temperaturi će biti poslane u MySQL bazu podataka pomoću GET zahtjeva. Sljedeća skica vam omogućava da pošaljete GET zahtjeve na određenu stranicu, u mom slučaju to je test.php. #include
#include … - 22.09.2014
Automatski stacionarni dimer kontrolisan fotootpornikom R7, dizajniran za rad u teškim uslovima hladne i umereno hladne klime pri temperaturama okoline od -25 do +45°C, relativnoj vlažnosti vazduha do 85% pri temperaturi od +20°C i atmosferskom pritisku unutar 200 …900 mm Hg. Dimer se koristi za regulaciju osvjetljenja pojedinca...
- 25.09.2014
Da biste izbjegli oštećenje ožičenja tijekom popravki, potrebno je koristiti uređaj za otkrivanje skrivenih ožičenja. Uređaj detektuje ne samo lokaciju skrivenog ožičenja, već i lokaciju oštećenja skrivenog ožičenja. Uređaj je audio pojačalo; u prvoj fazi se koristi tranzistor sa efektom polja za povećanje ulaznog otpora. U drugoj fazi op-amp. Senzor -...
- 03.10.2014
Predloženi uređaj stabilizuje napon do 24V i struju do 2A sa zaštitom od kratkog spoja. U slučaju nestabilnog pokretanja stabilizatora, treba koristiti sinhronizaciju sa autonomnog generatora impulsa (Sl. 2. Kolo stabilizatora je prikazano na slici 1. Schmittov okidač je montiran na VT1 VT2, koji kontrolira moćni regulacijski tranzistor VT3. Detalji: VT3 je opremljen hladnjakom...
Krug, njegovi dijelovi, njihove veličine i odnosi su stvari s kojima se zlatar stalno susreće. Prstenje, narukvice, kaste, cijevi, kuglice, spirale - mnogo okruglih stvari treba napraviti. Kako možete sve ovo izračunati, pogotovo ako ste imali sreće da preskočite časove geometrije u školi?..
Pogledajmo prvo koje dijelove krug ima i kako se zovu.
- Krug je linija koja zatvara krug.
- Luk je dio kružnice.
- Radijus je segment koji povezuje centar kružnice sa bilo kojom tačkom na kružnici.
- Tetiva je segment koji spaja dvije tačke na kružnici.
- Segment je dio kružnice omeđen tetivom i lukom.
- Sektor je dio kružnice omeđen sa dva polumjera i lukom.
Količine koje nas zanimaju i njihove oznake:
Sada da vidimo koje probleme vezane za dijelove kruga treba riješiti.
- Pronađite dužinu razvoja bilo kojeg dijela prstena (narukvice). S obzirom na prečnik i tetivu (opcija: prečnik i centralni ugao), pronađite dužinu luka.
- Postoji crtež na ravnini, morate saznati njegovu veličinu u projekciji nakon savijanja u luk. S obzirom na dužinu i prečnik luka, pronađite dužinu tetive.
- Saznajte visinu dijela dobivenog savijanjem ravnog obratka u luk. Opcije izvornih podataka: dužina i prečnik luka, dužina luka i tetiva; pronađite visinu segmenta.
Život će vam dati i druge primjere, ali ove sam dao samo da pokažem potrebu za postavljanjem neka dva parametra da biste pronašli sve ostale. Ovo ćemo uraditi. Naime, uzet ćemo pet parametara segmenta: D, L, X, φ i H. Zatim ćemo ih, birajući sve moguće parove od njih, smatrati početnim podacima, a sve ostale pronaći mozganjem.
Da ne bih nepotrebno opterećivao čitaoca, neću davati detaljna rješenja, već ću rezultate iznijeti samo u formi formula (onim slučajevima gdje nema formalnog rješenja, raspravljaću usput).
I još jedna napomena: o mjernim jedinicama. Sve veličine, osim centralnog ugla, mjere se u istim apstraktnim jedinicama. To znači da ako, na primjer, navedete jednu vrijednost u milimetrima, onda drugu ne treba navesti u centimetrima, a rezultirajuće vrijednosti će se mjeriti u istim milimetrima (i površine u kvadratnim milimetrima). Isto se može reći i za inče, stope i nautičke milje.
I samo se centralni ugao u svim slučajevima meri u stepenima i ništa drugo. Jer, kao pravilo, ljudi koji dizajniraju nešto okruglo nemaju tendenciju da mjere uglove u radijanima. Izraz “ugao pi sa četiri” mnoge zbunjuje, dok je “ugao četrdeset pet stepeni” svima razumljiv, jer je samo pet stepeni veći od normalnog. Međutim, u svim formulama će biti prisutan još jedan ugao - α - kao srednja vrijednost. U značenju, ovo je polovina središnjeg ugla, mjereno u radijanima, ali sigurno ne možete ulaziti u ovo značenje.
1. S obzirom na prečnik D i dužinu luka L
; dužina akorda 
;
visina segmenta 
; centralni ugao 
.
2. Dati prečnik D i dužina tetive X
; dužina luka ;
visina segmenta ; centralni ugao 
.
Budući da tetiva dijeli krug na dva segmenta, ovaj problem nema jedno, već dva rješenja. Da biste dobili drugi, trebate zamijeniti ugao α u gornjim formulama sa uglom .
3. Dati prečnik D i središnji ugao φ
; dužina luka ;
dužina akorda ; visina segmenta .
4. S obzirom na prečnik D i visinu segmenta H
; dužina luka ;
dužina akorda ; centralni ugao .
6. Zadana dužina luka L i središnji ugao φ
; promjer ;
dužina akorda ; visina segmenta .
8. Dati dužinu tetive X i središnji ugao φ
; dužina luka 
;
promjer ; visina segmenta .
9. S obzirom na dužinu tetive X i visinu segmenta H
; dužina luka ;
promjer ; centralni ugao .
10. S obzirom na centralni ugao φ i visinu segmenta H
; prečnika 
;
dužina luka ; dužina akorda .
Pažljivi čitatelj nije mogao a da ne primijeti da sam propustio dvije opcije:
5. Zadata dužina luka L i dužina tetive X
7. S obzirom na dužinu luka L i visinu segmenta H
To su samo ona dva neugodna slučaja kada problem nema rješenje koje bi se moglo napisati u formi formule. A zadatak nije tako rijedak. Na primjer, imate ravan komad dužine L i želite ga saviti tako da njegova dužina postane X (ili njegova visina postane H). Koji prečnik da uzmem trn (prečka)?
Ovaj problem se svodi na rješavanje jednačina: 
; - u opciji 5
; - u opciji 7
i iako se ne mogu riješiti analitički, mogu se lako riješiti programski. I čak znam gdje da nabavim takav program: na ovoj stranici, pod imenom . Ona radi sve što vam ovde opširno govorim u mikrosekundama.
Da bismo upotpunili sliku, dodajmo rezultatima naših proračuna obim i tri vrijednosti površine - krug, sektor i segment. (Površine će nam puno pomoći pri izračunavanju mase svih okruglih i polukružnih dijelova, ali više o tome u posebnom članku.) Sve ove količine se izračunavaju pomoću istih formula:
obim ;
površina kruga 
;
oblast sektora 
;
područje segmenta 
;
I u zaključku, dozvolite mi da vas još jednom podsjetim na postojanje apsolutno besplatnog programa koji izvodi sve gore navedene proračune, oslobađajući vas potrebe da zapamtite što je arktangens i gdje ga tražiti.
Definiranje segmenta kruga
Segment je geometrijska figura koja se dobija odsecanjem dela kruga tetivom.
Online kalkulator
Ova figura se nalazi između tetive i luka kružnice.
AkordOvo je segment koji leži unutar kruga i povezuje dvije proizvoljno odabrane tačke na njemu.
Kada odsiječete dio kruga tetivom, možete uzeti u obzir dvije figure: ovo je naš segment i jednakokraki trokut, čije su strane polumjeri kruga.
Površina segmenta može se naći kao razlika između površina sektora kružnice i ovog jednakokračnog trokuta.
Površina segmenta se može pronaći na nekoliko načina. Pogledajmo ih detaljnije.
Formula za površinu segmenta kružnice koristeći polumjer i dužinu luka kružnice, visinu i bazu trokuta
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ⋅ R⋅s −2 1 ⋅ h⋅a
R R R- radijus kruga;
s s s- dužina luka;
h h h- visina jednakokračnog trougla;
aa a- dužina osnove ovog trougla.
Za krug, njegov polumjer je brojčano jednak 5 (cm), visina, koja je povučena do osnove trougla, jednaka je 2 (cm), dužina luka je 10 (cm). Pronađite površinu kružnog segmenta.
Rješenje
R=5 R=5 R=5
h = 2 h=2 h =2
s = 10 s=10 s =1
0
Za izračunavanje površine potrebna nam je samo osnova trokuta. Pronađimo ga pomoću formule:
A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8
Sada možete izračunati površinu segmenta:
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ⋅ R⋅s −2 1 ⋅ h⋅a =2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (vidi sq.)
odgovor: 17 cm sq.
Formula za površinu segmenta kružnice s obzirom na polumjer kružnice i središnji ugao
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ⋅ (α − grijeh(α))
R R R- radijus kruga;
α\alpha α
- središnji ugao između dva poluprečnika koji spuštaju tetivu, mjereno u radijanima.
Nađite površinu kružnog segmenta ako je polumjer kružnice 7 (cm), a središnji ugao 30 stepeni.
Rješenje
R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Hajde da prvo pretvorimo ugao u stepenima u radijane. Zbog π\pi π
Radijan je jednak 180 stepeni, tada:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3
0
∘
=
3
0
∘
⋅
1
8
0
∘
π
=
6
π
radian. Tada je površina segmenta:
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\cca 0,57S=2 R 2 ⋅ (α − sin(α)) =2 4 9 ⋅ ( 6 π − grijeh ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (vidi sq.)
odgovor: 0,57 cm sq.
