ความสุขจาก x ที่จะอ่าน Stephen Strogatz - The Pleasure of X การเดินทางที่น่าสนใจสู่โลกแห่งคณิตศาสตร์จากครูที่เก่งที่สุดในโลก

หนังสือเล่มนี้สามารถเปลี่ยนทัศนคติของคุณที่มีต่อคณิตศาสตร์ได้อย่างสิ้นเชิง ประกอบด้วยบทสั้น ๆ ซึ่งแต่ละบทคุณจะได้ค้นพบสิ่งใหม่ ๆ คุณจะได้เรียนรู้ว่าตัวเลขมีประโยชน์อย่างไรในการศึกษาโลกรอบตัวคุณ เข้าใจความงามของเรขาคณิต ทำความคุ้นเคยกับความสง่างามของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ดูความสำคัญของสถิติ และติดต่อกับอินฟินิตี้ ผู้เขียนอธิบายแนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานอย่างเรียบง่ายและสวยงาม โดยให้ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมที่ทุกคนสามารถเข้าใจได้

• ชื่อ: ความสุขของ X การเดินทางที่น่าตื่นเต้นสู่โลกของคณิตศาสตร์จากหนึ่งในครูที่ดีที่สุดในโลก
• ผู้เขียน:
• ปี:
• ประเภท:

• ดาวน์โหลด
• ข้อความที่ตัดตอนมา

ความสุขของ X การเดินทางที่น่าตื่นเต้นสู่โลกของคณิตศาสตร์จากหนึ่งในครูที่ดีที่สุดในโลก
Stephen Strogatz

หนังสือเล่มนี้สามารถเปลี่ยนทัศนคติของคุณที่มีต่อคณิตศาสตร์ได้อย่างสิ้นเชิง ประกอบด้วยบทสั้น ๆ ซึ่งแต่ละบทคุณจะได้ค้นพบสิ่งใหม่ ๆ คุณจะได้เรียนรู้ว่าตัวเลขมีประโยชน์อย่างไรในการศึกษาโลกรอบตัวคุณ เข้าใจความงามของเรขาคณิต ทำความคุ้นเคยกับความสง่างามของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ดูความสำคัญของสถิติ และติดต่อกับอินฟินิตี้ ผู้เขียนอธิบายแนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานอย่างเรียบง่ายและสวยงาม โดยให้ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมที่ทุกคนสามารถเข้าใจได้

ตีพิมพ์เป็นภาษารัสเซียเป็นครั้งแรก

Stephen Strogatz

ความสุขของ X การเดินทางที่น่าตื่นเต้นสู่โลกของคณิตศาสตร์จากหนึ่งในครูที่ดีที่สุดในโลก

Steven Strogatz

ไกด์ทัวร์ของคณิตศาสตร์ จากหนึ่งถึงอนันต์

เผยแพร่โดยได้รับอนุญาตจาก Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 สงวนลิขสิทธิ์

© แปลเป็นภาษารัสเซีย ฉบับภาษารัสเซีย ออกแบบ LLC "Mann, Ivanov และ Ferber", 2014

สงวนลิขสิทธิ์. ห้ามทำซ้ำส่วนหนึ่งส่วนใดของเวอร์ชันอิเล็กทรอนิกส์ของหนังสือเล่มนี้ในรูปแบบใดๆ หรือโดยวิธีการใดๆ รวมถึงการโพสต์บนอินเทอร์เน็ตหรือในองค์กร...

วันหนึ่งเดือนพฤษภาคมของปีที่แล้ว ข้าพเจ้านั่งเป็นผู้ช่วยใน ควบคุมงานคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 เบื่อฉันเอางานรุ่น "พิเศษ" จากโต๊ะของครูและเริ่มแก้ปัญหา งานทำในรูปแบบของ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งฉันเรียนจบในปี 1989 หลังจากจบการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย อย่างไรก็ตาม โดยไม่ต้องใช้ความพยายามมากนัก ฉันสามารถแก้ปัญหา 11 งานในส่วน B ได้- มากกว่าหลายท่านที่เขียนงานในวันนั้น. นักเรียนคนหนึ่ง + Yulia Soboleva มองดูด้วยความประหลาดใจในขณะที่ฉันตัดสินใจ แล้วเดินมาหาฉัน:

— นี่เป็นครั้งแรกที่ฉันเห็นผู้ช่วยที่ไม่ใช่ครูคณิตศาสตร์นั่งตัดสินใจ ขออภัยสำหรับคำถาม แต่มันมีประโยชน์ในชีวิตของคุณหรือไม่?

คำถามของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ไม่ได้ทำให้ฉันงุนงง ความจริงก็คือกับคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนฉันมีความรักโดยไม่มีการแลกเปลี่ยน: ในแง่ที่ว่าคณิตศาสตร์รักฉันและฉันรักเธอ- ไม่. นั่นคือคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่ายสำหรับฉันเสมอไม่มีปัญหาฉันยังจำครูคณิตศาสตร์ของฉันด้วยความอบอุ่น ... แต่ฉันไม่ชอบคณิตศาสตร์และนั่นแหล่ะ! นั่นเป็นวิธีที่มันเกิดขึ้น และเมื่อเข้าสู่มหาวิทยาลัยศิลปศาสตร์ (ฉันเป็นครูสอนประวัติศาสตร์โดยการศึกษา) ฉันก็เริ่มรู้สึกว่าขาดวิชาคณิตศาสตร์อย่างรุนแรง สำหรับฉัน ฉันเริ่มดูเหมือนโง่ ไม่ใช่ตอนกลางวัน แต่เป็นตามชั่วโมง ดังนั้น ในวันที่ 1-2 หลักสูตรเพื่อเติมเต็มช่องว่างนี้เธอ (!) ได้รวบรวมและแก้ไขปัญหาของ Olympiad แก้ไขตำราเรียนทั้งหมดสำหรับชั้นเรียนที่สำเร็จการศึกษาด้วยวิธีใหม่ และ— โอ้ ปาฏิหาริย์! ความชัดเจนของจิตใจและการคิดเชิงตรรกะเริ่มค่อยๆ กลับคืนมา แล้วเรียนอยู่ปี 3 แล้วอ่านหนังสือของ L. Carroll "The Logic Game" (ขอบคุณ เซอร์เกย์ มิเชลสัน) เริ่มสนใจตรรกะและความจำเป็นในการเรียนคณิตศาสตร์ก็หายไป และเมื่อเรียนจบได้สองสามปี ผมก็เริ่มสอนเศรษฐศาสตร์ คณิตศาสตร์ก็ตั้งมั่นอยู่ในใจ- ปัญหาต้องได้รับการแก้ไขอย่างใด
ทำไมฉันถึงเขียนทั้งหมดนี้? คำนำยาวๆ แบบนี้มีไว้เพื่ออธิบายว่าทำไมฉันจึงยินดีรับข้อเสนอ +นาตาเลีย ชานิน่า, ผู้ช่วยผู้จัดการโครงการ, สำนักพิมพ์ +มานน์ อีวานอฟ และเฟอร์เบอร์นำหนังสือ "The Pleasure of X" มาทบทวน (กลายเป็นวาจาปุนกลายเป็น)
ฉันชอบหนังสือตั้งแต่หน้าแรก: ฉันชอบตอนที่มันแสดง ความงามคณิตศาสตร์. ฉันชอบมันเมื่อมีรูปแบบที่เรียบง่าย ดังนั้นในบทแรกฉันจึงตกใจกับการค้นพบ: ถ้าคุณเพิ่มตามลำดับ เลขคี่โดยรวมแล้วเราจะได้กำลังสองของตัวเลขที่สอดคล้องกับจำนวนเลขคี่ที่ถ่ายในชุด แล้ว- เลขคี่นั้นสร้างมุมซึ่งคุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมได้ เช่น

เมื่อฉันอ่านหนังสือ ฉันได้ค้นพบสิ่งใหม่ๆ ให้กับตัวเอง มีความรักในอัลกอริธึมต่างๆ (ฉันพยายามที่จะได้มาซึ่งอัลกอริธึมแม้ในกระบวนการสร้างสรรค์และใกล้จะสร้างสรรค์) ฉันอดไม่ได้ที่จะสังเกตอัลกอริธึมง่ายๆ สำหรับการยกกำลังสองตัวเลขได้ถึง 50 ฉันชอบมันมากจนฉันวาดมัน ในสมุดบันทึก

แม้แต่การอ่านส่วนต่างๆ ของหนังสือที่กลายเป็นเรื่องยากสำหรับฉัน (ฉันจำไม่ได้ว่าวิชาคณิตศาสตร์ในเล่มขนาดนี้) เป็นเรื่องง่าย ฉันไม่เข้าใจทุกอย่าง แต่ฉันก็สนุกกับการอ่านในกรณีนี้ เพราะผู้เขียนเห็นทุกอย่างเป็นรูปธรรมของการประยุกต์ใช้กฎทางคณิตศาสตร์ในความเป็นจริงโดยรอบ สถิติ เนื้องอก แม้แต่การเลือกคู่ครอง - มีร่องรอยของคณิตศาสตร์อยู่ทุกหนทุกแห่ง และคำพูดนี้โดนใจเป็นพิเศษ: "ย้อนกลับไปก่อนหน้าที่ Google จะไม่มีอยู่จริง การค้นหาเว็บเป็นความพยายามที่สิ้นหวัง".

มีเพียงสองสิ่งที่ขวางทาง

1. ฉันไม่ชอบอ่านในรูปแบบอิเล็กทรอนิกส์ นอกจากนี้ ในกรณีของคณิตศาสตร์ คุณต้องการแก้ปัญหา/คำนวณบางอย่างทันที ถ้าฉันอ่านหนังสือที่เป็นกระดาษ ฉันจะเขียนโดยตรงบนขอบกระดาษและหน้าว่าง - หนังสือของสำนักพิมพ์ +มานน์ อีวานอฟ และเฟอร์เบอร์ตีพิมพ์ในลักษณะที่พวกเขาคิดว่าจะมีผู้อ่านที่ไม่เพียง แต่อ่านหนังสือ แต่ยังเขียนในนั้นด้วย
2. หนังสือเล่มนี้มีบันทึกมากมาย โดยปกติแล้ว ผู้จัดพิมพ์จะทิ้งข้อความในหนังสือไว้เพียงลิงก์กับข้อมูลสั้นๆ เท่านั้น และจดบันทึกโดยละเอียดในรูปแบบของหมายเหตุท้ายเรื่อง สำหรับฉัน รูปแบบการอ่านนี้ไม่สะดวก (และไม่สะดวกเป็นสองเท่าในรูปแบบอิเล็กทรอนิกส์) ฉันไม่ชอบกระโดดไปมาในหนังสือ และการอ่านบันทึกหลังจากอ่านข้อความหลักแล้วไม่สมเหตุสมผล ในท้ายที่สุด ฉันแค่มองข้ามพวกเขาไป แม้ว่าพวกเขาควรจะเป็นส่วนหนึ่งของข้อความหลัก: พวกเขาเขียนในลักษณะที่น่าสนใจในสไตล์เดียวกับเนื้อหาของหนังสือ

ฉันอยากจะแนะนำหนังสือเล่มนี้ไม่เฉพาะกับคนรักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังแนะนำสำหรับนักเรียนมัธยมและนักเรียนมัธยมอีกด้วย เพื่อให้เข้าใจบางสิ่งที่ดูเป็นนามธรรมเกินไปในหลักสูตรของโรงเรียนหรือมหาวิทยาลัย แน่นอนว่าครูคณิตศาสตร์ด้วย ที่นี่ +นาตาเลีย ลโวว่าอ่านแล้ว (ทบทวน) ฉันอยากจะแนะนำหนังสือเล่มนี้และ +ไดอาน่า โซนิน่าแต่ - อนิจจา! ลูกสาวเดินตามทางเดียวกับแม่ คณิตเป็นเรื่องง่าย เธอคือผู้ชนะ โอลิมปิกเทศบาลแต่สิ่งที่พวกเขาทำกับครูคณิตศาสตร์ที่มีองศาใน งานวิจัย(ซึ่งเธอได้รับรางวัลมากกว่าหนึ่งครั้งในการประชุมต่างๆ) การแก้ปัญหาโอลิมปิกสำหรับนักเรียนมัธยมปลาย เป็นเรื่องยากสำหรับฉันที่จะเข้าใจ แต่ในขณะเดียวกัน เขาก็ไม่อยากได้ยินเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ด้วยซ้ำ จำเป็น- ทำ แต่ไม่มีความยินดีและในขณะเดียวกันเมื่อตอบคำถามของนักเรียนว่าคณิตศาสตร์มีประโยชน์ต่อฉันอย่างไรในชีวิต นอกเหนือไปจากสิ่งที่เป็นแนวทางปฏิบัติแล้ว ฉันก็มีคำตอบให้เสมอว่า คุณต้องเรียนที่โรงเรียนให้ดี รวมทั้งเพื่อที่จะสามารถช่วยได้ ลูก ๆ ของพวกเขาเรียนรู้ แต่ลูกสาวของฉันไม่ต้องการความช่วยเหลือจากฉันจริงๆ- จัดการตัวเอง นั่นคือเหตุผลที่คำถามยังคงเปิดอยู่: เหตุใดด้วยเงื่อนไขการเริ่มต้นที่ยอดเยี่ยม - ครูที่ดี, ความสามารถที่ดีในเรื่องนั้น, มีเด็กที่ไม่ชอบคณิตศาสตร์หรือไม่? คุยเรื่องนี้เมื่อวันก่อนกับ +มารีน่า เคอร์วิทส์พร้อมที่จะหารือเรื่องนี้กับ "นักคณิตศาสตร์ที่คุ้นเคย" คนอื่นๆ -+จูริ เคิร์วิสและ +ลุดมิลล่า โรซเดสต์เวนสคาจา. เหตุผลคืออะไร? ในมีวิธีใดบ้างที่จะเปลี่ยนสถานการณ์? ที่นี่ฉันมีมันแก้ไขในวัยหนุ่มของฉัน แต่ฉันยังคงคิดตามหลอกหลอนว่าเมื่อก่อนไม่ตกหลุมรักคณิตศาสตร์ ฉันพลาดโอกาสบางอย่างในชีวิตไป ...

ซื้อหนังสือเรื่องโอโซน >>>
ซื้อหนังสือในเขาวงกต >>>
ข้อมูลเกี่ยวกับหนังสือบนเว็บไซต์ของผู้จัดพิมพ์ >>>

หนังสือเล่มนี้เสริมด้วย:

Quanta

สกอตต์ แพตเตอร์สัน

อัจฉริยะ

เคน เจนนิงส์

ลูกเงิน

Michael Lewis

จิตใจที่ยืดหยุ่น

Carol Dweck

ฟิสิกส์ของตลาดหุ้น

James Weatherall

ความสุขของ X

ไกด์ทัวร์ของคณิตศาสตร์ จากหนึ่งถึงอนันต์

Stephen Strogatz

ความสุขจาก X

การเดินทางที่น่าตื่นเต้นสู่โลกแห่งคณิตศาสตร์จากครูผู้สอนที่ดีที่สุดในโลก

ข้อมูลจากสำนักพิมพ์

ตีพิมพ์เป็นภาษารัสเซียเป็นครั้งแรก

เผยแพร่โดยได้รับอนุญาตจาก Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

สโตรแกทส์, พี.

ความสุขจาก X. การเดินทางที่น่าตื่นเต้นสู่โลกแห่งคณิตศาสตร์จากหนึ่งในครูที่ดีที่สุดในโลก / Stephen Strogatz; ต่อ. จากอังกฤษ. - M. : Mann, Ivanov และ Ferber, 2014.

ไอ 978-500057-008-1

หนังสือเล่มนี้สามารถเปลี่ยนทัศนคติของคุณที่มีต่อคณิตศาสตร์ได้อย่างสิ้นเชิง ประกอบด้วยบทสั้น ๆ ซึ่งแต่ละบทคุณจะได้ค้นพบสิ่งใหม่ ๆ คุณจะได้เรียนรู้ว่าตัวเลขมีประโยชน์อย่างไรในการศึกษาโลกรอบตัวคุณ เข้าใจความงามของเรขาคณิต ทำความคุ้นเคยกับความสง่างามของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ดูความสำคัญของสถิติ และติดต่อกับอินฟินิตี้ ผู้เขียนอธิบายแนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานอย่างเรียบง่ายและสวยงาม โดยให้ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมที่ทุกคนสามารถเข้าใจได้

สงวนลิขสิทธิ์.

ห้ามทำซ้ำส่วนใดของหนังสือเล่มนี้ในรูปแบบใด ๆ โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรจากผู้ถือลิขสิทธิ์

การสนับสนุนทางกฎหมายของสำนักพิมพ์นั้นจัดทำโดยสำนักงานกฎหมาย "Vegas-Lex"

© Steven Strogatz, 2012 สงวนลิขสิทธิ์

© แปลเป็นภาษารัสเซีย ฉบับภาษารัสเซีย ออกแบบ LLC "Mann, Ivanov และ Ferber", 2014

คำนำ

ฉันมีเพื่อนที่แม้จะค้าขาย (เขาเป็นศิลปิน) ที่มีใจรักในวิทยาศาสตร์ เจอกันทีไรก็พูดอย่างกระตือรือร้น ความสำเร็จล่าสุดในทางจิตวิทยาหรือกลศาสตร์ควอนตัม แต่ทันทีที่เราพูดถึงคณิตศาสตร์ เขารู้สึกสั่นที่หัวเข่าซึ่งทำให้เขาไม่พอใจอย่างมาก เขาบ่นว่าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แปลกๆ เหล่านี้ไม่เพียงแต่ท้าทายเขา แต่บางครั้งเขาก็ไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะออกเสียงอย่างไร

อันที่จริง เหตุผลที่เขาไม่ชอบวิชาคณิตศาสตร์นั้นลึกซึ้งกว่านั้นมาก เขาจะไม่มีวันเข้าใจสิ่งที่นักคณิตศาสตร์โดยทั่วไปทำและสิ่งที่พวกเขาหมายถึงเมื่อพวกเขากล่าวว่าข้อพิสูจน์นี้สง่างาม บางครั้งเราพูดเล่นๆ ว่าฉันควรนั่งลงและเริ่มสอนเขาตั้งแต่พื้นฐานอย่างแท้จริง ตั้งแต่ 1 + 1 = 2 และเข้าสู่วิชาคณิตศาสตร์ให้มากที่สุด

และแม้ว่าแนวคิดนี้จะดูบ้าบอ แต่ก็เป็นสิ่งที่ฉันจะพยายามนำไปใช้ในหนังสือเล่มนี้ ฉันจะแนะนำคุณเกี่ยวกับสาขาวิทยาศาสตร์ที่สำคัญทั้งหมด ตั้งแต่คณิตศาสตร์ไปจนถึงคณิตศาสตร์ขั้นสูง เพื่อที่ผู้ที่ต้องการโอกาสครั้งที่สองจะได้คว้ามันไว้ และคราวนี้คุณไม่จำเป็นต้องนั่งที่โต๊ะทำงาน หนังสือเล่มนี้จะไม่ทำให้คุณเป็นผู้เชี่ยวชาญในวิชาคณิตศาสตร์ แต่จะช่วยให้เข้าใจว่าวินัยนี้ศึกษาอะไรและเหตุใดจึงน่าตื่นเต้นสำหรับผู้ที่เข้าใจ

เราจะเรียนรู้ว่าการดังค์สแลมดังค์ของ Michael Jordan สามารถช่วยอธิบายพื้นฐานของแคลคูลัสได้อย่างไร ฉันจะแสดงวิธีที่เรียบง่ายและน่าทึ่งให้คุณเข้าใจทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิด - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพยายามลงลึกถึงความลึกลับของชีวิตทั้งเล็กและใหญ่: Jay Simpson ฆ่าภรรยาของเขาหรือไม่ วิธีเปลี่ยนที่นอนให้อยู่ได้นานที่สุด ต้องเปลี่ยนคู่หูกี่คนก่อนที่จะมีงานแต่งงาน - และเราจะเห็นว่าทำไมอินฟินิตี้บางอันถึงใหญ่กว่าอย่างอื่น

คณิตศาสตร์มีอยู่ทุกหนทุกแห่ง คุณเพียงแค่ต้องเรียนรู้ที่จะจดจำมัน คุณสามารถเห็นไซนูซอยด์ที่ด้านหลังของม้าลาย คุณสามารถได้ยินเสียงสะท้อนของทฤษฎีบทยุคลิดในปฏิญญาอิสรภาพ สิ่งที่ฉันสามารถพูดได้แม้ในรายงานแห้งก่อนสงครามโลกครั้งที่หนึ่งมีจำนวนลบ คุณยังสามารถดูได้ว่าสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ส่งผลต่อชีวิตเราอย่างไรในทุกวันนี้ เช่น เมื่อเรามองหาร้านอาหารโดยใช้คอมพิวเตอร์หรือพยายามทำความเข้าใจอย่างน้อย หรือดีกว่า รอดจากความผันผวนอันน่าสะพรึงกลัวของตลาดหุ้น

ชุดบทความ 15 บทความภายใต้ชื่อทั่วไป "ความรู้พื้นฐานของคณิตศาสตร์" ปรากฏออนไลน์เมื่อปลายเดือนมกราคม 2010 จดหมายและความคิดเห็นต่างๆ หลั่งไหลเข้ามาจากผู้อ่านทุกวัย เพื่อตอบสนองต่อการตีพิมพ์ ซึ่งรวมถึงนักเรียนและครูจำนวนมาก นอกจากนี้ยังมีคนที่อยากรู้อยากเห็นซึ่ง "หลงทาง" ด้วยเหตุผลทางคณิตศาสตร์ ตอนนี้พวกเขารู้สึกเหมือนพลาดอะไรบางอย่าง เกี่ยวกับและอยากจะลองอีกครั้ง ฉันรู้สึกยินดีเป็นอย่างยิ่งกับความกตัญญูจากพ่อแม่ของฉันสำหรับความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของฉัน พวกเขาสามารถอธิบายคณิตศาสตร์ให้ลูก ๆ ของพวกเขา และพวกเขาก็เริ่มเข้าใจมันดีขึ้นเอง ดูเหมือนว่าแม้แต่เพื่อนร่วมงานและสหายของฉัน ผู้ชื่นชอบวิทยาศาสตร์นี้ ก็ยังสนุกกับการอ่านบทความ ยกเว้นช่วงเวลาที่พวกเขาแข่งขันกันเองเพื่อเสนอคำแนะนำทุกประเภทสำหรับการพัฒนาลูกหลานของฉัน

แม้จะมีความเชื่อที่เป็นที่นิยม แต่ก็มีความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ในสังคมอย่างชัดเจนแม้ว่าจะให้ความสนใจเพียงเล็กน้อยกับปรากฏการณ์นี้ เราได้ยินเกี่ยวกับความกลัวของคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่หลายคนก็ยินดีที่จะพยายามทำความเข้าใจให้ดีขึ้น และเมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น จะเป็นการยากที่จะฉีกมันออก

หนังสือเล่มนี้จะแนะนำคุณเกี่ยวกับแนวคิดที่ซับซ้อนและล้ำหน้าที่สุดจากโลกแห่งคณิตศาสตร์ บทต่างๆ นั้นสั้น อ่านง่าย และไม่พึ่งพากันและกันจริงๆ ในจำนวนนี้รวมถึงบทความชุดแรกในนิวยอร์กไทม์ส ดังนั้น ทันทีที่คุณรู้สึกหิวทางคณิตศาสตร์ อย่าลังเลที่จะอ่านบทต่อไป หากคุณต้องการเข้าใจปัญหาที่คุณสนใจโดยละเอียดยิ่งขึ้น ในตอนท้ายของหนังสือจะมีหมายเหตุพร้อมข้อมูลเพิ่มเติมและคำแนะนำเกี่ยวกับสิ่งอื่นที่คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้

เพื่อความสะดวกของผู้อ่านที่ชอบวิธีการทีละขั้นตอน ฉันได้แบ่งเนื้อหาออกเป็นหกส่วนตามลำดับความสำคัญของหัวข้อ

ตอนที่ 1 "ตัวเลข" เริ่มต้นการเดินทางด้วยเลขคณิตใน โรงเรียนอนุบาลและ โรงเรียนประถม. ตัวเลขนี้แสดงให้เห็นว่าตัวเลขมีประโยชน์อย่างไรและมีผลอย่างไรในการอธิบายโลกรอบตัวเราอย่างน่าอัศจรรย์

ส่วนที่ 2 "อัตราส่วน" เปลี่ยนความสนใจจากตัวเลขไปยังความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา แนวคิดเหล่านี้เป็นหัวใจสำคัญของพีชคณิตและเป็นเครื่องมือแรกในการอธิบายว่าแนวคิดหนึ่งส่งผลต่ออีกฝ่ายอย่างไร โดยแสดงความสัมพันธ์เชิงสาเหตุของสิ่งต่างๆ ได้แก่ อุปสงค์และอุปทาน สิ่งเร้าและปฏิกิริยา - กล่าวโดยย่อ ความสัมพันธ์ทุกประเภทที่ทำให้โลก หลากหลายและรวยมาก . .

ส่วนที่ III "ตัวเลข" ไม่ได้เกี่ยวกับตัวเลขและสัญลักษณ์ แต่เกี่ยวกับตัวเลขและช่องว่าง - โดเมนของเรขาคณิตและตรีโกณมิติ หัวข้อเหล่านี้ พร้อมกับคำอธิบายของวัตถุที่สังเกตได้ทั้งหมดผ่านรูปแบบ ด้วยการใช้เหตุผลเชิงตรรกะและการพิสูจน์ ยกระดับคณิตศาสตร์ขึ้นอีกระดับของความแม่นยำ

ในส่วนที่ IV "เวลาแห่งการเปลี่ยนแปลง" เราจะดูแคลคูลัส - พื้นที่ทางคณิตศาสตร์ที่น่าประทับใจและมีหลายแง่มุมที่สุด แคลคูลัสทำให้สามารถทำนายการโคจรของดาวเคราะห์ วัฏจักรของน้ำขึ้นน้ำลง และทำให้สามารถเข้าใจและอธิบายกระบวนการและปรากฏการณ์ที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะทั้งหมดในจักรวาลและภายในตัวเรา สถานที่สำคัญส่วนนี้มีไว้สำหรับการศึกษาอินฟินิตี้ ความสงบซึ่งเป็นความก้าวหน้าที่ทำให้การคำนวณสามารถทำงานได้ คอมพิวเตอร์ช่วยแก้ปัญหามากมายที่เกิดขึ้นในโลกยุคโบราณ และในที่สุดก็นำไปสู่การปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์และโลกสมัยใหม่

ส่วนที่ 5 "หลายหน้าของข้อมูล" เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็น สถิติ เครือข่าย และการประมวลผลข้อมูล - สิ่งเหล่านี้ยังค่อนข้างเล็ก เกิดจากแง่มุมที่ไม่ได้รับคำสั่งในชีวิตของเราเสมอไป เช่น โอกาสและโชค ความไม่แน่นอน ความเสี่ยง ความผันผวน การสุ่ม , การพึ่งพาอาศัยกัน. การใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมและประเภทข้อมูลที่ถูกต้อง เราจะเรียนรู้ที่จะระบุรูปแบบในกระแสของการสุ่ม

ในตอนท้ายของการเดินทาง ในตอนที่ VI "ขีดจำกัดของความเป็นไปได้" เราจะเข้าใกล้ขีดจำกัดของความรู้ทางคณิตศาสตร์ พื้นที่ชายแดนระหว่างสิ่งที่รู้แล้วกับสิ่งที่ยังเข้าใจยากและยังไม่รู้ เราจะพูดถึงหัวข้อต่างๆ อีกครั้งตามลำดับที่เราทราบ: ตัวเลข อัตราส่วน รูปร่าง การเปลี่ยนแปลง และอนันต์ - แต่ในขณะเดียวกัน เราจะพิจารณาแต่ละหัวข้อในเชิงลึกมากขึ้น ในรูปแบบสมัยใหม่

ปัญหาหลักของคณิตศาสตร์โรงเรียนคือไม่มีปัญหาในนั้น ใช่ ฉันรู้ว่าอะไรจะผ่านไปสำหรับปัญหาในห้องเรียน: แบบฝึกหัดที่น่าเบื่อและน่าเบื่อ “นี่คือภารกิจ นี่คือวิธีแก้ปัญหา ใช่ มันเกิดขึ้นในการสอบ งานบ้าน 1-15. ช่างเป็นวิธีที่น่าเบื่อในการเรียนรู้คณิตศาสตร์: กลายเป็นลิงชิมแปนซีที่ได้รับการฝึกฝน

Paul Lockhard

จากบทความ "The Mathematician's Lament"

คณิตศาสตร์อาจเป็นหนึ่งในสาขาวิทยาศาสตร์ที่แปลกประหลาดที่สุด ในเรื่องอื่นไม่มีสิ่งที่ตรงกันข้ามรวมกันอย่างแข็งแกร่ง: จากความเข้มงวดของการพิสูจน์อย่างเป็นทางการไปจนถึงความสามารถในการ "เห็น" โครงสร้างบางอย่าง คณิตศาสตร์มีทั้งความงามภายในและความงามภายนอก ไม่มีอะไรน่าตื่นเต้นไปกว่าการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ และไม่มีการสอนวิชาอื่นในโรงเรียนที่ไร้ความสามารถเช่นนี้

การศึกษาคณิตศาสตร์มักจะเริ่มต้นที่โรงเรียนอย่างไร ตั้งแต่การออกชุดสัญลักษณ์และคำจำกัดความที่เข้าใจยากจนถึงเด็กอายุ 7-8 ปี และระบบอัลกอริทึมสำหรับการใช้อักษรย่อนี้ แยกสิ่งต่าง ๆ เช่น ตารางสูตรคูณ จะถูกจดจำ

ในชั้นเรียนถัดไป ตามระบบนี้ นักเรียนจะได้รับการบอกเล่าและถูกบังคับให้จดจำชุดของพิธีกรรมทางหมอผีที่ช่วยให้พวกเขาสามารถแก้ปัญหาที่ต้องใช้แรงงานได้ คำจำกัดความใหม่จะเกิดขึ้น เช่น "เศษส่วนที่เหมาะสม" และ "เศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง" โดยไม่มีคำอธิบายแม้แต่น้อยว่ามาจากที่ใด และที่สำคัญที่สุดคือเพราะเหตุใด จะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับการแก้ปัญหาข้อความที่ไร้ประโยชน์และทำงานหนักซึ่งเกี่ยวข้องกับความเป็นจริงเช่นเดียวกับอัลกอริทึม

เพื่อเป็นการทดสอบเล็กๆ น้อยๆ เราสามารถเสนอให้จำไว้ว่า คุณต้องหาเศษส่วนที่ถูกต้องหรือไม่เหมาะสมกี่ครั้งในชีวิตของคุณ

ฉันถูกบังคับให้เรียนรู้ด้วยใจ: กำลังสองของผลบวกของตัวเลขสองตัวเท่ากับผลรวมของกำลังสองของพวกมัน เพิ่มขึ้นด้วยผลคูณของพวกมัน ฉันไม่รู้เลยว่ามันหมายถึงอะไร เมื่อฉันจำคำเหล่านี้ไม่ได้ ครูก็ตีหนังสือบนหัวฉัน ซึ่งไม่ได้กระตุ้นสติปัญญาของฉันเลยแม้แต่น้อย

เบอร์ทรานด์ รัสเซล

นักปรัชญา นักตรรกวิทยา และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ

ในเวลาเดียวกัน ครูจะปราบปรามผู้ไม่เห็นด้วยอย่างไร้ความปราณี ลองเขียน 5/2 แทน 2 1/2 (ซึ่งคุณต้องการคัดค้านเสมอ: ถ้าฉันมีแอปเปิ้ลสามลูก แต่ละอันถูกแบ่งครึ่ง ฉันจะเอา 5 แบ่งครึ่ง ไม่ใช่ 2 แอปเปิ้ลและ 1 ครึ่ง)

หัวข้อนี้สามารถดำเนินการต่อไปได้ระยะหนึ่ง นอกจากนี้ สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วในบทความของ Paul Lockhart เรื่อง "The Mathematician's Lament" มันแสดงให้เห็นค่อนข้างดีว่า "ใครจะถูกตำหนิ" แต่คำตอบสำหรับคำถามสำคัญที่สอง - "จะทำอย่างไร" ไม่ได้รับ

คำตอบสำหรับคำถามนี้มีอยู่ในหนังสือที่ยอดเยี่ยมซึ่งเพิ่งแปลเป็นภาษารัสเซีย หนังสือเล่มนี้ชื่อ The Pleasure of x

ความสุขจาก x

หากคุณไม่สามารถอธิบายบางสิ่งให้เด็กอายุ 6 ขวบฟังได้ แสดงว่าตัวคุณเองไม่เข้าใจ

Albert Einstein

นี่คือหนังสือที่ ควรเป็นเดสก์ท็อปสำหรับครูในวิชาเทคนิคใด ๆ ไม่ว่าจะเป็นคณิตศาสตร์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์

Steven Strogatz ผู้เขียนความยินดีนี้เป็นนักคณิตศาสตร์ระดับโลก ครูสอนคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่ Cornell University ในสหรัฐอเมริกา (หนึ่งในมหาวิทยาลัยเทคนิคชั้นนำของโลก) และจากการตัดสินโดยหนังสือ บุคคลนี้รวมคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมสองประการที่ทำให้งานนี้ขายดีที่สุด: Steven Strogatz เป็นนักคณิตศาสตร์และครูที่แข็งแกร่งในคนๆ เดียว

คุณสามารถสอนได้ แต่ไม่รู้วิชานี้ดีพอ คุณสามารถรู้วิชานี้ได้ดี แต่ไม่สามารถสอนได้ คุณสามารถทำทั้งสองอย่างได้ แต่ปานกลาง Stephen Strogatz เป็นคนประเภทอื่น: เขารู้และรู้วิธีสอนอย่างถูกต้อง

หนังสือเล่มนี้เกี่ยวกับอะไร? อันที่จริงเกี่ยวกับทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ การเลือกส่วนต่างๆ ของหนังสือในแวบแรกนั้นถูกเลือกอย่างไม่เป็นระเบียบ (ตัวเลข อัตราส่วน ตัวเลข เวลาของการเปลี่ยนแปลง ข้อมูลที่หลากหลาย พรมแดนเป็นไปได้) แต่เมื่อคุณอ่าน คุณจะเริ่มเข้าใจว่าผู้เขียนต้องการสื่ออะไร หนังสือเล่มนี้มีพื้นฐานมาจากการวิจัย การวิจัยดำเนินการโดยผู้เขียนร่วมกับผู้อ่าน

ช่วงของงานภายใต้การพิจารณามีมาก บุคคลใดก็ตาม แม้แต่ความรู้ด้านคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม ก็จะได้เรียนรู้สิ่งใหม่จากมัน ในเวลาเดียวกัน ทั้งงานที่ใช้ได้จริง (เช่น การคำนวณดอกเบี้ยที่ได้รับจากหุ้นที่ลงทุนในตลาดหุ้น) และงานที่เป็นรูปธรรมล้วนได้รับการพิจารณา

มีงานหลายอย่างในบริบททางประวัติศาสตร์ ฉันต้องการจะอยู่ที่นี่ต่างหาก: ตอนนี้ประวัติศาสตร์ของการพัฒนาคณิตศาสตร์ได้ถูกโยนออกจากตำราเรียนเกือบทั้งหมด ในขณะเดียวกัน เพียงแค่เข้าใจบริบททางประวัติศาสตร์เท่านั้น เราสามารถทำทุกอย่างได้ตั้งแต่เลขคณิตที่ง่ายที่สุดไปจนถึงทฤษฎีทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาสมการกำลังสอง ทั้งนักเรียนและครูต้องเสียน้ำตาไปกี่ครั้งในการพยายามท่องคาถา: X หนึ่ง-สอง เท่ากับ ลบ ba บวกหรือลบ รูทของ ba กำลังสอง ลบสี่ a-tse แล้วหารทุกอย่างด้วยสอง a

อย่างไรก็ตาม วิธีการเขียนนี้ไม่ถูกต้องตามมาตรฐานทางคณิตศาสตร์ใหม่อีกต่อไป บรรณาธิการ

ผู้ที่มีความจำดีและ/หรือ "ในเรื่อง" ยังคงจำทฤษฎีบทของเวียตาได้ แต่แทนที่จะทั้งหมดนี้ Stephen Strogatz ให้คำอธิบายที่หรูหราซึ่งคิดค้นโดย al-Khwarizmi ด้วยความช่วยเหลือซึ่งไม่มีสูตรใด ๆ คุณสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายและเป็นธรรมชาติ (แม้ว่าจะไม่สมบูรณ์: ในสมัยนั้นตัวเลขติดลบยังไม่ถึง ใช้กันอย่างแพร่หลาย) และฉันรับรองกับคุณว่าทุกคนที่อ่านการตัดสินใจนี้จะจดจำตลอดไป ครั้งแรก.

จากบทหนึ่งไปยังอีกบทหนึ่ง ความซับซ้อนของงานเพิ่มขึ้น แต่ความเข้าใจไม่สูญหายซึ่งเป็นความสุขพิเศษของการอ่าน The Pleasure of x ผู้อ่านจะได้ดื่มด่ำกับบรรยากาศที่ผู้เขียนสร้างขึ้นเพื่อเขาอย่างแท้จริงในโลกใหม่ที่กล้าหาญ

ฉันไม่รู้ว่าจะเปรียบเทียบหนังสือเล่มนี้กับอะไร บางทีด้วยการบรรยายที่มีชื่อเสียงของ Feyman เกี่ยวกับฟิสิกส์หรือด้วย "คุณต้องล้อเล่นนะคุณ Feyman" แต่สิ่งหนึ่งที่แน่นอนคือ หนังสือเล่มนี้จะทิ้งร่องรอยไว้บนจิตวิญญาณของผู้ที่อ่านมัน

ตัวเลขสำหรับการศึกษาโลกรอบตัวเรามีประโยชน์เพียงใด ความงามของเรขาคณิตคืออะไร แคลคูลัสเชิงปริพันธ์มีความสง่างามเพียงใด และสถิติมีความสำคัญเพียงใด Steven Strogatz พูดถึงเรื่องทั้งหมดนี้ในหนังสือของเขา The Pleasure of X. ผู้เขียนอธิบายแนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานอย่างเรียบง่ายและสวยงาม โดยยกตัวอย่างที่ทุกคนสามารถเข้าใจได้ เว็บไซต์เผยแพร่หนึ่งในบทของหนังสือที่จัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ Mann, Ivanov และ Ferber

สถิติกลายเป็นเทรนด์ขึ้นมาทันใด ด้วยการถือกำเนิดของอินเทอร์เน็ต อีคอมเมิร์ซ สังคมออนไลน์ซึ่งเป็นโครงการถอดรหัสจีโนมมนุษย์และเกี่ยวข้องกับการพัฒนาวัฒนธรรมดิจิทัลโดยทั่วไป โลกจึงเริ่มที่จะสำลักข้อมูล นักการตลาดศึกษารสนิยมและนิสัยของเรา บริการข่าวกรองรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับตำแหน่ง อีเมล และโทรศัพท์ของเรา นักสถิติด้านกีฬาจะเล่นกลตัวเลขเพื่อตัดสินใจว่าจะซื้อนักเตะคนไหน รับสมัครใคร และใครเป็นสำรอง ทุกคนพยายามรวมจุดต่างๆ เข้าด้วยกันเป็นกราฟและค้นพบรูปแบบในการรวบรวมข้อมูลที่วุ่นวาย

ไม่น่าแปลกใจที่แนวโน้มเหล่านี้สะท้อนให้เห็นในการเรียนรู้ "มาลงที่สถิติกันเถอะ" Greg Mankiw นักเศรษฐศาสตร์จากมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดกล่าวในคอลัมน์ของ New York Times

“หลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายใช้เวลามากเกินไปกับหัวข้อดั้งเดิม เช่น เรขาคณิตแบบยุคลิดและตรีโกณมิติ แบบฝึกหัดทางจิตเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับคนทั่วไป แต่มีประโยชน์น้อยใน ชีวิตประจำวัน. มันจะเป็นประโยชน์มากขึ้นสำหรับนักเรียนในการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ” David Brooks ก้าวไปไกลกว่านั้น ในบทความของเขาเกี่ยวกับสาขาวิชาที่สมควรได้รับความสนใจสำหรับการศึกษาที่ดี เขาเขียนว่า: “ทำสถิติ คุณจะเห็นว่าการรู้ว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไรจะเป็นประโยชน์กับคุณอย่างมากในชีวิต

เป็นไปได้ทีเดียว และเป็นการดีที่จะเข้าใจว่าการแจกแจงคืออะไร นี่เป็นสิ่งแรกที่ฉันตั้งใจจะพูดถึง และฉันต้องการเน้นไปที่มัน เพราะนี่เป็นหนึ่งในบทเรียนหลักของสถิติ: สิ่งต่างๆ ดูเหมือนสุ่มอย่างสิ้นหวังและคาดเดาไม่ได้เมื่อพิจารณาเป็นรายบุคคล แต่โดยรวมแล้ว สิ่งเหล่านี้เผยให้เห็นถึงความสม่ำเสมอและการคาดเดา

คุณอาจเคยเห็นการสาธิตหลักการนี้ที่พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์บางแห่ง (หากไม่เห็น สามารถดูวิดีโอออนไลน์ได้) การจัดแสดงทั่วไปคืออุปกรณ์ที่เรียกว่ากระดาน Galton ซึ่งค่อนข้างคล้ายกับเครื่องพินบอล แต่ไม่มีครีบ ข้างในเป็นระยะสม่ำเสมอเป็นแถวของหมุด

กระดาน Galton

การทดลองเริ่มต้นด้วยการยิงลูกบอลหลายร้อยลูกขึ้นไปบนกระดาน Galton เมื่อมันตกลงมา พวกมันจะชนกับหมุดและด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันที่จะเด้งไปทางขวาหรือทางซ้าย จากนั้นพวกมันจะกระจายไปที่ด้านล่างของกระดาน โดยตกลงไปในช่องที่มีความกว้างเท่ากัน ความสูงของคอลัมน์ของลูกบอลแสดงความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสามารถอยู่ในตำแหน่งที่กำหนด ลูกบอลส่วนใหญ่วางอยู่ตรงกลางโดยประมาณ ด้านข้างมีจำนวนน้อยลงและที่ขอบก็ยิ่งน้อยลงด้วย

โดยทั่วไปแล้ว รูปภาพสามารถคาดเดาได้อย่างมาก: ลูกบอลจะกระจายเป็นรูประฆังเสมอ แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะคาดเดาว่าแต่ละลูกจะจบลงที่ใด

อุบัติเหตุส่วนบุคคลกลายเป็นอย่างไร รูปแบบทั่วไป? แต่นั่นคือวิธีการสุ่มทำงาน ในคอลัมน์กลาง ลูกบอลส่วนใหญ่สะสม เพราะก่อนจะกลิ้งลงมา หลายๆ ลูกจะกระโดดไปทางขวาและซ้ายประมาณเท่าๆ กัน ส่งผลให้ลูกบอลอยู่ตรงกลาง ลูกบอลเดี่ยวหลายลูกที่อยู่ตามขอบทำให้เกิดการกระจายตัว ซึ่งเป็นลูกบอลที่เด้งไปในทิศทางเดียวกันเมื่อชนกับหมุดเสมอ การกระเด้งดังกล่าวไม่น่าจะเกิดขึ้นได้ นั่นเป็นสาเหตุที่ทำให้มีลูกบอลอยู่บริเวณขอบน้อยมาก

เช่นเดียวกับตำแหน่งของแต่ละลูกจะถูกกำหนดโดยผลรวมของเซต เหตุการณ์สุ่ม, ปรากฏการณ์มากมายในโลกนี้เป็นผลมาจากเหตุการณ์เล็ก ๆ น้อย ๆ มากมายและยังเชื่อฟังเส้นโค้งระฆัง นี่คือวิธีการทำงานของบริษัทประกันภัย พวกเขาสามารถระบุจำนวนลูกค้าที่เสียชีวิตในแต่ละปีได้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามพวกเขาไม่รู้ว่าคราวนี้ใครจะไม่โชคดีอย่างแน่นอน

หรือยกตัวอย่างความสูงของบุคคล ขึ้นอยู่กับอุบัติเหตุนับไม่ถ้วนที่เกี่ยวข้องกับพันธุกรรม ชีวเคมี โภชนาการ และสิ่งแวดล้อม ดังนั้นเมื่อพิจารณาร่วมกันแล้วความสูงของตัวผู้และตัวเมียจะเป็นส่วนโค้งรูประฆัง

ในบล็อกโพสต์ชื่อ "ข้อมูลเท็จที่ผู้คนรายงานเกี่ยวกับตัวเองทางออนไลน์" สถิติเว็บไซต์หาคู่ OkCupid เพิ่งโพสต์กราฟของการเติบโตของลูกค้าหรือค่อนข้างเป็นค่าที่พวกเขารายงาน พบว่าอัตราการเติบโตของทั้งสองเพศตามที่คาดไว้เป็นรูประฆัง อย่างไรก็ตาม น่าแปลกที่การแจกแจงทั้งสองเบ้ไปทางขวาประมาณสองนิ้วจากค่าที่คาดไว้

Strogats S. Pleasure จาก H. - M. : Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

ดังนั้น ความสูงของลูกค้าที่สำรวจโดย OkCupid นั้นสูงกว่าค่าเฉลี่ย หรือพวกเขาเพิ่มความสูงอีกสองสามนิ้วเมื่ออธิบายตนเองทางออนไลน์

รูปแบบในอุดมคติของเส้นโค้งระฆังเหล่านี้คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่าการแจกแจงแบบปกติ นี่เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในสถิติซึ่งมีเหตุผลทางทฤษฎี สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าการแจกแจงแบบปกติเกิดจากการบวกปัจจัยสุ่มขนาดเล็กจำนวนมากเข้ามา ซึ่งแต่ละตัวทำหน้าที่แยกจากปัจจัยอื่นๆ และหลายสิ่งหลายอย่างเกิดขึ้นแบบนั้น

แต่ไม่ทั้งหมด และนี่คือจุดที่สองที่ฉันอยากจะดึงความสนใจ การแจกแจงแบบปกติไม่ได้แพร่หลายอย่างที่คิด เป็นเวลากว่าร้อยปีแล้ว และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงสองสามทศวรรษที่ผ่านมา นักวิทยาศาสตร์และนักสถิติได้สังเกตเห็นการมีอยู่ของปรากฏการณ์มากมายที่เบี่ยงเบนไปจากเส้นโค้งนี้และเป็นไปตามกำหนดการของพวกเขาเอง เป็นเรื่องน่าแปลกที่การแจกแจงประเภทดังกล่าวแทบไม่มีการกล่าวถึงในตำราเรียนเกี่ยวกับสถิติเบื้องต้น และหากเกิดขึ้น ก็มักจะถือว่าเป็นพยาธิวิทยาบางประเภท

นี่มันแปลก ฉันจะพยายามอธิบายว่าปรากฏการณ์มากมาย ชีวิตที่ทันสมัยสมเหตุสมผลมากขึ้นหากเข้าใจการแจกแจง "ทางพยาธิวิทยา" เหล่านี้ นี่คือความปกติใหม่ ยกตัวอย่างเช่น การกระจายขนาดเมืองในสหรัฐอเมริกา แทนที่จะจัดกลุ่มรอบ ๆ เส้นโค้งระฆังโดยเฉลี่ย เมืองส่วนใหญ่มีขนาดเล็ก และดังนั้นจึงกระจุกตัวอยู่ทางด้านซ้ายของกราฟ

Strogats S. Pleasure จาก H. - M. : Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

และยิ่งมีประชากรในเมืองมากเท่าใด ก็ยิ่งพบเมืองดังกล่าวน้อยลงเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยรวมแล้ว การกระจายจะเป็นเส้นโค้งรูปตัว L แทนที่จะเป็นเส้นโค้งรูประฆัง

และไม่มีอะไรน่าแปลกใจในเรื่องนี้ ทุกคนรู้ดีว่ามี megacities น้อยกว่าเมืองเล็กมาก แม้ว่าจะไม่ชัดเจนนัก แต่ขนาดของเมืองก็เป็นไปตามการแจกแจงที่สวยงามอย่างเรียบง่าย - หากคุณดูจากสเกลลอการิทึม

เราจะถือว่าความแตกต่างระหว่างสองเมืองจะเท่ากัน หากจำนวนประชากรแตกต่างกันด้วยจำนวนครั้งที่เท่ากัน (เช่นเดียวกับคีย์เปียโนสองคีย์ที่คั่นด้วยอ็อกเทฟจะมีความถี่ต่างกันสองเท่าเสมอ) และเราจะทำเช่นเดียวกันกับแกนตั้ง

Strogats S. Pleasure จาก H. - M. : Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

ตอนนี้ข้อมูลอยู่บนเส้นโค้งที่เกือบจะเป็นเส้นตรงที่สมบูรณ์แบบ จากคุณสมบัติของลอการิทึม ง่ายที่จะอนุมานได้ว่าเส้นโค้งรูปตัว L เดิมเป็นการพึ่งพากำลัง ซึ่งอธิบายโดยฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

โดยที่ x คือประชากรของเมือง y คือจำนวนเมืองที่มีขนาดนั้น c เป็นค่าคงที่ และเลขชี้กำลัง a (เลขชี้กำลัง-กฎกำลัง) กำหนดความชันเชิงลบของเส้นตรง

การกระจายกำลังมีบางอย่างไร้เหตุผล จากมุมมองของสถิติดั้งเดิม คุณสมบัติ ตัวอย่างเช่น ไม่เหมือนกับการกระจายแบบปกติ โหมด ค่ามัธยฐาน และวิธีการไม่ตรงกันเนื่องจากเส้นโค้งรูปตัว L ที่เอียงและเอียง

ประธานาธิบดีบุชได้รับประโยชน์อย่างมากจากสิ่งนี้ โดยประกาศในปี 2546 ว่าการลดภาษีช่วยแต่ละครอบครัวได้เฉลี่ย 1,586 ดอลลาร์ แม้ว่าจะถูกต้องทางคณิตศาสตร์ แต่ที่นี่เขาได้เปรียบจากการหักเฉลี่ยซึ่งซ่อนการหักเงินจำนวนมากหลายร้อยหลายพันดอลลาร์ที่ได้รับจาก 0.1% ของประชากรที่ร่ำรวยที่สุดในประเทศ เป็นที่ทราบกันว่า "หาง" ทางด้านขวาของการกระจายรายได้เป็นไปตามกฎแห่งอำนาจ และในสถานการณ์เช่นนี้ การใช้ค่าเฉลี่ยทำให้เข้าใจผิด เพราะมันอยู่ไกลจากมูลค่าที่แท้จริง ในความเป็นจริง ครอบครัวส่วนใหญ่ได้รับเงินคืนน้อยกว่า 650 ดอลลาร์ ในการแจกแจงนี้ ค่ามัธยฐานน้อยกว่าค่าเฉลี่ยมาก

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของการแจกแจงกฎกำลัง: พวกมันมี "หางหนัก" เมื่อเทียบกับอย่างน้อย "หางของไหล" ขนาดเล็กของการแจกแจงแบบปกติ หางขนาดใหญ่เช่นนี้ แม้ว่าจะหายาก แต่ก็พบได้บ่อยในการกระจายข้อมูลมากกว่าเส้นโค้งระฆังปกติ

ในวันจันทร์สีดำ 19 ตุลาคม พ.ศ. 2530 ค่าเฉลี่ยอุตสาหกรรมดาวโจนส์ร่วงลง 22% เมื่อเทียบกับระดับความไม่แน่นอนปกติบน ตลาดหลักทรัพย์ฤดูใบไม้ร่วงนี้มีมากกว่ายี่สิบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตามสถิติดั้งเดิม (ซึ่งใช้การแจกแจงแบบปกติ) เหตุการณ์ดังกล่าวแทบเป็นไปไม่ได้เลย: ความน่าจะเป็นน้อยกว่าหนึ่งใน 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (10 ยกกำลัง 50) อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เกิดขึ้น เนื่องจากความผันผวนของราคาในตลาดหุ้นไม่เป็นไปตามการกระจายแบบปกติ

การแจกแจงที่มี "หางหนัก" นั้นเหมาะที่จะอธิบายมากกว่า สิ่งนี้เกิดขึ้นกับแผ่นดินไหว ไฟไหม้ และน้ำท่วม ทำให้ยากสำหรับบริษัทประกันภัยในการจัดการความเสี่ยง

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกันนี้อธิบายจำนวนผู้เสียชีวิตในสงครามและการโจมตีของผู้ก่อการร้าย ตลอดจนสิ่งอื่น ๆ ที่สงบสุขกว่ามาก เช่น จำนวนคำในนวนิยายหรือจำนวนคู่นอนที่บุคคลมี

แม้ว่าคำคุณศัพท์ที่ใช้อธิบายหางยาวไม่ได้ให้แสงที่ดีนัก แต่การแจกแจงแบบ "หาง" ก็มีหางอย่างภาคภูมิใจ ตัวหนา หนัก และยาว? ใช่แล้ว. แต่ในกรณีนี้ แสดงให้ฉันเห็นว่าอันไหนปกติ?