4. САЙСМОЛОГИЙН МЭДЭЭЛЭЛ ДЭЛХИЙН БҮТЭЦ

Уян хатан байдлын онолын үндэс: деформацийн тензор, хүчдэлийн тензор, Хукийн хууль, уян хатан модулиуд, нэгэн төрлийн хэв гажилт, изотроп орчин дахь уян долгион, Ферма, Гюйгенс, Снелийн хуулиуд. Газар хөдлөлтийн долгион. Сейсмометрийн ажиглалтын хөгжил: газар хөдлөлтийн станцууд ба тэдгээрийн сүлжээ, годограф, дэлхийн доторх долгионы замнал. Хертлотс-Вихертийн тэгшитгэлийг ашиглан газар хөдлөлтийн долгионы тархалтын хурдыг тодорхойлох. Дэлхийн радиусын функц болох уртааш ба хөндлөн долгионы хурд. Газар хөдлөлтийн өгөгдлийн дагуу дэлхийн материйн төлөв байдал. Дэлхийн царцдас. Литосфер ба астеносфер. Газар хөдлөлт судлал ба дэлхийн тектоник.

Уян хатан байдлын онолын үндэс[Ландау, Лифшиц, 2003, х. 9-25, 130-144]

Даралтын тензор

Тасралтгүй зөөвөрлөгч гэж үздэг хатуу бодисын механик нь агуулга юм уян хатан байдлын онол. Уян хатан байдлын онолын үндсэн тэгшитгэлийг О.Л. Коши болон С.Д. 19-р зууны 20-иод оны Пуассон (дэлгэрэнгүйг 15-р бүлгээс үзнэ үү).

Хэрэглэсэн хүчний нөлөөн дор хатуу биетүүд нэг градусаар деформацид ордог, өөрөөр хэлбэл. хэлбэр, эзэлхүүнийг өөрчлөх. Биеийн хэв гажилтыг математикийн хувьд тайлбарлахын тулд дараах байдлаар ажиллана. Биеийн цэг бүрийн байрлалыг тодорхой координатын систем дэх түүний радиус вектор r (х 1 = x, x 2 = y, x 3 = z бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй) тодорхойлно. Бие гажигтай үед түүний бүх цэгүүд, ерөнхийдөө хэлбэлздэг. Биеийн зарим тодорхой цэгийг авч үзье; Хэрэв деформацийн өмнөх радиус вектор нь r байсан бол хэв гажилттай биед өөр зүйл байх болно

утга r / (х i / бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй). Деформацийн үед биеийн цэгийн шилжилтийг r / - r вектороор илэрхийлэх бөгөөд бид үүнийг u үсгээр тэмдэглэнэ.

u векторыг нэрлэдэг деформацийн вектор(эсвэл шилжилтийн вектор). u векторын талаархи мэдлэг

х i функцийн хувьд биеийн хэв гажилтыг бүрэн тодорхойлно.

Биеийг деформаци хийх үед түүний цэгүүдийн хоорондох зай өөрчлөгддөг. Хэрэв деформацийн өмнө тэдгээрийн хоорондох радиус вектор нь dx i байсан бол деформацид орсон биед радиус

ижил хоёр цэгийн хоорондох вектор нь dx i / = dx i + du i байх болно. Деформацийн өмнөх цэгүүдийн хоорондох зай нь дараахтай тэнцүү байв.

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

мөн хэв гажилтын дараа:

dl / = dx 1/2 + dx 2/2 + dx 3/2.

Эцэст нь бид:

Эдгээр илэрхийлэл нь биеийн хэв гажилтын үед уртын элементийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог. u ik тензор гэж нэрлэдэг хүчдэлийн тензор; Түүний тодорхойлолтоор энэ нь тэгш хэмтэй байна:

Аливаа тэгш хэмтэй тензорын нэгэн адил цэг бүр дээрх тензорын утгыг багасгаж болно

үндсэн тэнхлэгүүд ба биеийн эзэлхүүний элемент бүрт хэв гажилтыг гурван перпендикуляр чиглэлд гурван бие даасан хэв гажилтын багц гэж үзэж болно - деформацийн тензорын үндсэн тэнхлэгүүд. Биеийн хэв гажилтын бараг бүх тохиолдолд деформаци нь бага байдаг. Энэ нь биеийн аль ч зайд гарсан өөрчлөлт нь тухайн зайтай харьцуулахад бага байдаг гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, харьцангуй суналт нь нэгдмэл байдалтай харьцуулахад бага байна.

Зарим онцгой тохиолдлуудыг эс тооцвол бидний хөндөхгүй байх болно, хэрэв бие нь жижиг хэв гажилтанд өртсөн бол деформацийн тензорын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь бас бага байдаг. Тиймээс (4.3) илэрхийлэлд бид сүүлчийн гишүүнийг хоёр дахь эрэмбийн бага хэмжигдэхүүн болгон үл тоомсорлож болно. Тиймээс жижиг хэв гажилтын үед деформацийн тензорыг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.

Тиймээс, хүч нь биед үүсэх хөдөлгөөний (хөдөлгөөний) шалтгаан, хэв гажилт нь хөдөлгөөний үр дүн юм [Хайкин, 1963, х. 176].

Уян хатан байдлын сонгодог онолын гол таамаглал

Деформацид ороогүй биед молекулуудын зохион байгуулалт нь түүний дулааны тэнцвэрийн төлөвтэй тохирч байна. Үүний зэрэгцээ түүний бүх хэсгүүд бие биетэйгээ механик тэнцвэрт байдалд байна. Энэ нь хэрэв та биеийн доторх зарим эзэлхүүнийг сонговол бусад хэсгүүдээс энэ эзлэхүүн дээр ажиллаж буй бүх хүчний үр дүн тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Деформацид орсон үед молекулуудын зохион байгуулалт өөрчлөгдөж, бие нь анх байсан тэнцвэрт байдлаасаа гардаг. Үүний үр дүнд түүний дотор хүч гарч, биеийг тэнцвэрт байдалд оруулахыг хичээх болно. Деформацийн үед үүсдэг эдгээр дотоод хүчийг гэж нэрлэдэг дотоод стресс. Хэрэв бие нь гажиггүй бол дотоод стресс байхгүй болно.

Дотоод стресс нь молекулын холбооноос үүдэлтэй, i.e. биеийн молекулуудын харилцан үйлчлэлийн хүч. Уян хатан байдлын онолын хувьд молекулын хүч маш бага радиустай байдаг нь маш чухал юм. Тэдний нөлөө нь зөвхөн молекул хоорондын дарааллын зайд үүсгэдэг бөөмийн эргэн тойронд тархдаг. Гэхдээ макроскопийн онолын нэгэн адил уян хатан байдлын онолд зөвхөн молекул хоорондын зайтай харьцуулахад том зайг авч үздэг. Тиймээс уян хатан байдлын онол дахь молекулын хүчний "үйл ажиллагааны радиус" -ыг тэгтэй тэнцүү гэж үзэх хэрэгтэй. Дотоод стрессийг үүсгэдэг хүч нь уян хатан байдлын онолын дагуу цэг бүрээс зөвхөн хамгийн ойрын цэгүүдэд дамждаг "богино зайн" хүч гэж бид хэлж чадна.

Ийнхүү уян хатан байдлын сонгодог онолд биеийн аль ч хэсэгт түүнийг тойрсон хэсгүүдээс үйлчилж байгаа хүчнүүд энэ нөлөөг илэрхийлдэг. зөвхөн гадаргуугаар шууд дамждагбиеийн энэ хэсэг.

Чухамдаа суурь бүтээлийн зохиогч [Хайкин, 1963, х. 484].

Стресс тензор

Бүх хүч зөвхөн гадаргуугаар дамжин үйлчилдэг гэсэн дүгнэлт нь уян хатан байдлын сонгодог онолын түлхүүр юм. Энэ нь бүх дотоод стресс ба хүчний үр дүнгийн гурван бүрэлдэхүүн хэсэг тус бүрийг биеийн аль ч эзэлхүүнийг зөвшөөрдөг

∫ F i dV (энд F i нь dV нэгж эзэлхүүнд үйлчлэх хүч) нь энэ эзэлхүүний гадаргуу дээр интеграл болж хувирдаг. Энэ тохиолдолд векторын шинжилгээнээс дараах байдлаар F i вектор нь хоёрдугаар зэрэглэлийн зарим тензорын зөрүү байх ёстой, i.e. харагдах:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂xk

Дараа нь тодорхой эзэлхүүн дээр үйлчлэх хүчийг энэ эзэлхүүнийг хамарсан хаалттай гадаргуу дээр интеграл гэж бичиж болно.

dV эзлэхүүнийг хамарна.

σ ik тензор гэж нэрлэдэг стресс тензор. (4.7)-аас харахад σ ik df k нь i байна

Гадаргуугийн элементэд үйлчлэх хүчний бүрэлдэхүүн хэсэг d f. xy, yz, xz хавтгайд гадаргуугийн элементүүдийг сонгохдоо хүчдэлийн тензорын бүрэлдэхүүн хэсэг σ ik болохыг олж мэднэ.

х тэнхлэгт перпендикуляр нэгж гадаргуу дээр үйлчлэх хүчний i-р бүрэлдэхүүн хэсэг k. Тэгэхээр, х тэнхлэгт перпендикуляр нэгж талбай дээр хэвийн байна

түүний (x тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн) хүч σ xx ба тангенциал (y ба z тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн)

хүч σ yx ба σ zx.

(4.7)-ээс ялгаатай нь биеийн бүх гадаргуу дээрх дотоод стрессээс үүсэх хүч нь:

− ∫ σ ik df k .

Биеийн тодорхой эзэлхүүн дээр үйлчлэх M ik хүчний моментийг дараах хэлбэрээр бичнэ үү.

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

Үүнийг зөвхөн гадаргуу дээр интеграл хэлбэрээр илэрхийлэхийг шаардвал стресс тензор нь тэгш хэмтэй болохыг олж авна.

Үүнтэй төстэй дүгнэлтийг илүү хялбар аргаар хийж болно [Сивухин, 1974, х. 383]. Тухайлбал. dM ik момент нь элементийн инерцийн моменттой шууд пропорциональ байна

эзэлхүүн dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3, тиймээс бид (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0-ийг олж авдаг бөгөөд энэ нь автоматаар (4.8) хамаарлыг илэрхийлнэ.

Стрессийн тензорын тэгш хэм нь түүнийг цэг бүрт гол тэнхлэгт хүргэх боломжийг олгодог, i.e. цэг бүрт стресс тензорыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Тэнцвэрт байгаа үед дотоод стрессийн хүчийг биеийн эзэлхүүний элемент бүрт харилцан нөхөх ёстой, өөрөөр хэлбэл. F i = 0 байх ёстой. Тэгэхээр тэгшитгэлүүд

Гэмтсэн биеийн тэнцвэрт байдал нь дараах хэлбэртэй байна.

∂ σ ik = 0 .

∂xk

Хэрэв бие нь таталцлын талбарт байгаа бол дотоод стресс хүчний F нийлбэр F + ρ г нэгж эзэлхүүнд үйлчлэх таталцлын хүч ρ g алга болно, ρ -

биеийн нягт, g – чөлөөт уналтын хурдатгалын вектор. Энэ тохиолдолд тэнцвэрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Эрчим хүчийг өдөөх

Зарим гажигтай биеийг авч үзээд түүний хэв гажилт нь хэв гажилтын вектор u i бага хэмжээгээр δ u i өөрчлөгдөхөөр өөрчлөгдөнө гэж үзье.

Дотоод стрессийн хүчээр гүйцэтгэсэн ажлыг тодорхойлъё. Хүчийг (4.6) δ u i нүүлгэн шилжүүлэлтээр үржүүлж, биеийн бүх эзэлхүүнийг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

δ R тэмдэг нь биеийн нэгж эзэлхүүн дэх дотоод стрессийн хүчний ажлыг илэрхийлдэг. Хязгааргүй орчинд хэв гажилтгүй, хязгааргүй орчинд интеграцийн гадаргууг хязгааргүй рүү чиглүүлж, хэсэг хэсгээр нь интеграцид оруулбал үүн дээр σ ik = 0 байна:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Тиймээс бид олдог:

Үүссэн томъёо нь биеийн дотоод энергийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог деформацийн тензорыг өөрчлөх ажлыг тодорхойлдог.

Уян хатан байдлын ОНОЛ– ачааллын нөлөөгөөр тайван буюу хөдөлгөөнд байгаа биеийн шилжилт, хэв гажилт, хүчдэлийг судалдаг тасралтгүй механикийн салбар. Энэхүү онолын зорилго нь математик тэгшитгэлийг гаргаж авах явдал бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь дараах асуултуудад хариулах боломжийг олгодог: хэрэв мэдэгдэж буй газруудад өгөгдсөн хэмжээний ачааллыг хэрэглэвэл энэ биет ямар хэв гажилт үүсэх вэ? Биеийн хурцадмал байдал ямар байх вэ? Бие нь нурж унах уу, эдгээр ачааллыг тэсвэрлэх үү гэдэг нь уян хатан байдлын онолтой нягт холбоотой боловч хатуухан хэлэхэд энэ онолын хүрээнд хамаарахгүй.

Боломжит жишээнүүдийн тоо хязгааргүй юм - тулгуур дээр хэвтэж, хүчээр ачаалагдсан дам нурууны хэв гажилт, даралтыг тодорхойлохоос эхлээд нисэх онгоц, усан онгоц, шумбагч онгоц, тэрэгний дугуй, хуяг дуулга дахь ижил утгыг тооцоолох хүртэл. суманд оногдох үед, уулын нуруунд уулын бэлээр дамжин өнгөрөхдөө, өндөр барилгын хүрээ гэх мэт. Энд анхааруулга өгөх ёстой: нимгэн ханатай элементүүдээс бүрдэх бүтцийг уян хатан байдлын онол дээр үндэслэн логикийн хувьд хялбаршуулсан онолыг ашиглан тооцоолно; Эдгээр онолуудад: материалын ачааллыг эсэргүүцэх онол (алдарт "хүч чадлын эсэргүүцэл"), гол үүрэг нь саваа ба дам нурууг тооцоолох явдал юм; бүтцийн механик - бариулын системийг тооцоолох (жишээлбэл, гүүр); Эцэст нь, бүрхүүлийн онол нь үндсэндээ хэв гажилт ба стрессийн талаархи бие даасан, маш өндөр хөгжсөн шинжлэх ухааны салбар бөгөөд судалгааны сэдэв нь хамгийн чухал бүтцийн элементүүд болох нимгэн ханатай бүрхүүлүүд - цилиндр, конус, бөмбөрцөг хэлбэртэй, илүү төвөгтэй хэлбэрүүд. Тиймээс уян хатан байдлын онолд үндсэн хэмжээсүүд нь тийм ч их ялгаатай байдаггүй биетүүдийг ихэвчлэн авч үздэг. Тиймээс мэдэгдэж буй хүчнүүд ажилладаг өгөгдсөн хэлбэрийн уян биеийг авч үздэг.

Уян хатан байдлын онолын үндсэн ойлголтууд нь жижиг хэсгүүдэд үйлчилдэг стрессүүд бөгөөд өгөгдсөн цэгээр дамжуулан бие махбодид оюун ухаанаар татагддаг. М, цэгийн жижиг хөршийн хэв гажилт Ммөн цэгийг өөрөө хөдөлгөх М. Илүү нарийвчлалтайгаар стресс тензоруудыг нэвтрүүлсэн ij, жижиг хэв гажилтын тензор e ijболон шилжилтийн вектор чи би.

Богино тэмдэглэгээ s ij, индексүүд хаана байна би, j 1, 2, 3 утгуудыг дараах хэлбэрийн матриц гэж ойлгох хэрэгтэй.

Тензор e-ийн богино тэмдэглэгээг мөн адил ойлгох хэрэгтэй ij.

Хэрэв биеийн физик цэг Мхэв гажилтын улмаас орон зайд шинэ байр суурь эзэллээ М´, тэгвэл шилжилтийн вектор нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор ( u x u y u z), эсвэл товчхондоо, чи би. Бага хэмжээний деформацийн онолын хувьд бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн чи бимөн e бибага хэмжигдэхүүн гэж тооцогддог (хатуухан хэлэхэд, хязгааргүй бага). Тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд e ijба вектор у ijДараах хэлбэртэй Коши томьёогоор холбогддог.

Энэ нь тодорхой байна e xy= e yx, мөн ерөнхийдөө, e ij= e жи, тиймээс омог тензор нь тодорхойлолтоороо тэгш хэмтэй байна.

Хэрэв уян харимхай бие нь гадны хүчний нөлөөн дор тэнцвэрт байдалд байвал (өөрөөр хэлбэл түүний бүх цэгүүдийн хурд 0-тэй тэнцүү) байвал түүнээс оюун санааны хувьд тусгаарлагдсан биеийн аль ч хэсэг нь тэнцвэрт байдалд байна. Их биеээс жижиг (хатуухан хэлэхэд хязгааргүй жижиг) тэгш өнцөгт параллелепипед гарч ирдэг бөгөөд ирмэг нь декартын системийн координатын хавтгайтай параллель байна. Оксиз(Зураг 1).

Параллелепипедийн ирмэгийг урттай болго dx, dy, dzүүний дагуу (энд ердийнх шиг dxдифференциал байдаг x, гэх мэт). Стрессийн онолын дагуу стресс тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь параллелепипедийн нүүрэн дээр ажилладаг бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

ирмэг дээр OADG:s хх, с xy, с xz

ирмэг дээр OABC:s yx, с yy, с yz

ирмэг дээр DABE:s zx, с zy, с zz

Энэ тохиолдолд ижил индекстэй бүрэлдэхүүн хэсгүүд (жишээ нь s хх) нүүрэнд перпендикуляр үйл ажиллагаа явуулж, өөр өөр индекстэй - сайтын хавтгайд.

Эсрэг талын нүүрэн дээр стресс тензорын ижил бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгууд арай өөр байдаг нь тэдгээр нь координатын функцууд бөгөөд цэгээс цэг рүү өөрчлөгддөг (хамгийн энгийн тохиолдлоос бусад тохиолдолд үргэлж), мөн Өөрчлөлтийн өчүүхэн байдал нь параллелепипедийн жижиг хэмжээтэй холбоотой тул хэрэв ирмэг дээр байгаа гэж бид үзэж болно. OABC s хүчдэлийг хэрэглэнэ yy, дараа нь ирмэг дээр байна GDEF s хүчдэлийг хэрэглэнэ yy+ds yy, мөн ds-ийн бага утга yyяг жижиг учраас үүнийг Тейлорын цуврал өргөтгөлийг ашиглан тодорхойлж болно:

(хэсэгчилсэн деривативуудыг энд ашигладаг, учир нь стресс тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь үүнээс хамаардаг x, y, z).

Үүний нэгэн адил бүх нүүрэн дээрх стрессийг s-ээр илэрхийлж болно ijболон ds ij. Дараа нь стрессээс хүч рүү шилжихийн тулд та стрессийн хэмжээг түүний ажиллаж буй талбайн хэмжээгээр үржүүлэх хэрэгтэй (жишээлбэл, s yy+ds yy-ээр үржүүлнэ dx dz). Параллелепипед дээр ажиллаж буй бүх хүчийг тодорхойлсны дараа статикт хийдэг шиг биеийн тэнцвэрийн тэгшитгэлийг бичиж болно, харин үндсэн векторын бүх тэгшитгэлд зөвхөн деривативтай гишүүд үлдэх болно, учир нь хүчдэлүүд. өөрсдөө бие биенээ хүчингүй болгож, хүчин зүйлүүд dx dy dzбагасч, үр дүнд нь

Үүний нэгэн адил параллелепипед дээр ажиллаж буй бүх хүчний үндсэн моментийн тэгтэй тэнцүү байдлыг илэрхийлсэн тэнцвэрийн тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд эдгээрийг дараах хэлбэрт оруулав.

Эдгээр тэгш байдал нь стресс тензор нь тэгш хэмтэй тензор гэсэн үг юм. Ийнхүү үл мэдэгдэх 6 бүрэлдэхүүн хэсгийн хувьд s ijгурван тэнцвэрийн тэгшитгэл байдаг, i.e. Статикийн тэгшитгэл нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй юм. Үүнээс гарах арга бол хүчдэлийг илэрхийлэх явдал юм ijхэв гажилтаар дамжуулан e ijХукийн хуулийн тэгшитгэлийг ашиглан, дараа нь хэв гажилт e ijхөдөлгөөнөөр илэрхийлнэ чи биКоши томъёог ашиглан үр дүнг тэнцвэрийн тэгшитгэлд орлуулна. Энэ нь гурван үл мэдэгдэх функцийн гурван дифференциал тэнцвэрийн тэгшитгэлийг үүсгэдэг u x u y u z, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байна. Эдгээр тэгшитгэлийг Ламегийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

массын хүчийг (жин гэх мэт) тооцохгүй

D – Лаплас оператор, өөрөөр хэлбэл

Одоо та биеийн гадаргуу дээр хилийн нөхцлийг тогтоох хэрэгтэй;

Эдгээр нөхцлийн үндсэн төрлүүд нь дараах байдалтай байна.

1. Биеийн гадаргуугийн мэдэгдэж буй хэсэг дээр S 1, шилжилт хөдөлгөөнийг тодорхойлсон, i.e. шилжилтийн вектор нь бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй мэдэгдэж буй вектортой тэнцүү ( f x; е y ; е z ):

у х = е(xyz)

чи у= е(xyz)

у z = е(xyz)

(f x, f y, f z- мэдэгдэж буй координатын функцууд)

2. Гадаргуугийн үлдсэн хэсэгт С 2 гадаргуугийн хүчийг тодорхойлсон. Энэ нь биеийн доторх стрессийн тархалт нь гадаргуугийн ойролцоох хүчдэлийн утгууд ба үндсэн талбай бүрийн гадаргуу дээрх хязгаарт мэдэгдэж буй гадаад ачааллын вектортой тэнцүү стресс векторыг үүсгэдэг гэсэн үг юм. бүрэлдэхүүн хэсгүүд ( F x ;Fy ; Фз) гадаргуугийн хүч. Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү бичигдсэн байдаг: хэрэв нэг цэг дээр Агадаргуу, энэ гадаргуугийн нэгж хэвийн вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй байна n x, н ж, n zдараа нь энэ үед (үл мэдэгдэх) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд тэгш байдал хангагдсан байх ёстой ij:e ij, дараа нь гурван үл мэдэгдэхийн хувьд бид зургаан тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хэт тодорхойлогдсон системийг авна. Энэ систем нь e-тэй холбоотой нэмэлт нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л шийдэлтэй байх болно ij. Эдгээр нөхцөл нь нийцтэй байдлын тэгшитгэл юм.

Эдгээр тэгшитгэлийг ихэвчлэн тасралтгүй байдлын нөхцөл гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь хэв гажилтын дараа биеийн тасралтгүй байдлыг хангадаг гэсэн үг юм. Энэ илэрхийлэл нь дүрсэлсэн боловч тодорхой бус: хэрэв бид деформацийн (эсвэл стресс) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг үл мэдэгдэх байдлаар авбал эдгээр нөхцөл нь шилжилтийн тасралтгүй талбар байгааг баталгаажуулдаг. Эдгээр нөхцлийг биелүүлэхгүй байх нь тасралтгүй байдлыг зөрчихөд хүргэдэггүй, харин асуудлыг шийдэх шийдэл байхгүй болно.

Ийнхүү уян хатан байдлын онол нь дифференциал тэгшитгэл, хилийн нөхцлүүдийг гаргаж өгдөг бөгөөд энэ нь хилийн утгын асуудлыг боловсруулах боломжийг олгодог бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь авч үзэж буй бие дэх хүчдэл, омог, шилжилтийн тархалтын талаархи бүрэн мэдээллийг өгдөг. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх аргууд нь маш нарийн төвөгтэй бөгөөд хүчирхэг компьютер ашиглан аналитик аргуудыг тоон аргуудтай хослуулснаар хамгийн сайн үр дүнд хүрдэг.

Владимир Кузнецов

Уян хатан байдлын онолын тэнхлэгийн тэгш хэмийн асуудлууд (лекц)

Орчин үеийн механик инженерчлэлд хүч чадал, хөшүүн байдлын тооцооны үүрэг улам бүр чухал болж, тооцоолол нь өөрөө улам бүр төвөгтэй болж байна. Үүссэн ихэнх асуудлын шийдэл нь зөвхөн өндөр мэргэшсэн мэргэжилтнүүдэд байдаг.

Бүтцийн элементүүдийн тооцоотой холбоотой асуудлуудыг "Материалын бат бөх байдал", "Бүтцийн механик", "Уян хатан байдлын онол" зэрэг уламжлалт хичээлүүдэд, их дээд сургуулийн механикийн мэргэжлийн сургалтын хөтөлбөрт тусгасан янз бүрийн хослол, боть хэлбэрээр авч үздэг. Холбогдох материалууд нь олон тооны уран зохиолын эх сурвалжуудад тархсан бөгөөд математикийн өндөр мэдлэгтэй уншигчдын түвшинд танилцуулсан онолын хэсэгт маш их ачаалалтай байдаг. Тэд ихэвчлэн асуудлыг шийдвэрлэх арга зүйн үндэслэлийг онцолж өгдөггүй, мөн тооцооллын инженерийн практикт хангалттай тооны жишээ өгдөггүй.

Энэхүү лекцийн нэг зорилго нь уян хатан байдлын математик шугаман онолын үндсийг практик хэрэглээнд ашигладаг аргуудыг онцлон товч танилцуулах явдал юм. Өөр нэг зорилго бол машины элементүүдийн тодорхой жишээнүүдийг (зузаан ханатай хоолой, хавтан, бүрхүүл) ашиглан тооцооллын томъёог судлахдаа энэ онолын математик аппаратыг хэрхэн хэрэгжүүлж, сүүлийнх нь тодорхой жишээн дээр хэрхэн ашиглагдаж байгааг харуулах явдал юм. Үүнийг судалж буй объектын ачааллын шинж чанар, геометрийн төхөөрөмжид үзүүлэх нөлөөллийн хувьд хамгийн энгийн тэнхлэгийн тэгш хэмтэй асуудлын хамгийн түгээмэл ангиллын статик уян харимхай томъёогоор хийсэн.

Энэхүү сургалттай танилцах нь орчин үеийн технологид элбэг байдаг нарийн төвөгтэй машин, байгууламжийн дизайн, тооцооны аргуудыг цаашид судлахад ихээхэн хөнгөвчлөх болно. Эдгээр аргууд нь одоогийн байдлаар бүтцийн элементүүдийн тооцооллын онцлог шинж чанаруудыг тогтмол бус температурын нөхцөл, уян хатан байдлын хувьсах параметрүүд, давхарга эсвэл бэхэлсэн бүтэц, хуванцар хэв гажилт, мөлхөгчдийн хэв гажилт, хөдөлгөөний болон шилжилтийн параметрүүдийг аль болох бүрэн хэмжээгээр тусгах зорилготой. судалж буй объектуудын геометр. Ихэнх тохиолдолд энэ нь зөвхөн орчин үеийн тоон аргуудыг ашиглан дараа нь компьютер дээр хэрэгждэг.

- – физикийн нөлөөллөөс үүссэн хатуу биет дэх уян харимхай хэв гажилт, хүчдэлийг судалдаг механикийн салбар. [12 хэл дээрх барилгын нэр томьёоны толь] Нэр томъёоны гарчиг: Ерөнхий нэр томьёо Нэвтэрхий толь бичгийн гарчиг: Зүлгүүрийн... ... Барилгын материалын нэр томъёо, тодорхойлолт, тайлбарын нэвтэрхий толь бичиг

уян хатан байдлын онол- Материалын уян хатан ажлын хүрээнд ачаалагдсан хатуу биетийн стресс ба хэв гажилтын төлөвийн өөрчлөлтийн зүй тогтолын шинжлэх ухаан [12 хэл дээрх барилгын нэр томьёоны толь бичиг (ЗХУ-ын VNIIIS Госстрой)] EN уян хатан байдлын онол DE.. ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

уян хатан байдлын онол- tamprumo teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. уян хатан байдлын онол vok. Elastizitätstheorie, f rus. уян хатан байдлын онол, f pranc. théorie d'élasticité, f … Физикийн нэр томъёо

Уян хатан байдлын ОНОЛ- Материалын уян хатан ажлын хүрээнд ачаалал ихтэй хатуу биетийн хүчдэлийн болон хэв гажилтын төлөвийн өөрчлөлтийн хуулиудын шинжлэх ухаан (болгар хэл; Български) уян хатан байдлын онол (чех хэл; Čeština) teorie pružnosti (Герман... ... Барилгын толь бичиг

Уян хатан чанар ба уян хатан байдлын онол- уян хатан байдлын онол, уян хатан байдлын онол гэсэн хоёр дэд хэсгээс бүрдэнэ. Үг, хэллэгийн утгын жагсаалт... Википедиа

Уян хатан байдлын онол- ачааллын нөлөөгөөр тайван эсвэл хөдөлж буй уян биетүүдийн шилжилт хөдөлгөөн, хэв гажилт, хүчдэлийг судалдаг механикийн салбар. U. t Барилга, бизнес, нисэх болон... Физик нэвтэрхий толь бичиг

УЯНМАЛТЫН МАТЕМАТИК ОНОЛ- ачааллын нөлөөгөөр тайван эсвэл хөдөлж буй уян биетүүдийн шилжилт хөдөлгөөн, хэв гажилт, хүчдэлийг судалдаг механикийн салбар. Биеийн аль ч цэг дэх стресс нь стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн 6 утгаар тодорхойлогддог: хэвийн ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Уян хатан байдлын онол- Үргэлжилсэн механик Continuum Сонгодог механик Масс хадгалагдах хууль Импульс хадгалагдах хууль ... Википедиа

Уян хатан байдлын онол- механикийн салбар (Механикийг харна уу) нь ачааллын нөлөөн дор уян харимхай биетүүдийн тайван байдал, хөдөлгөөнд үүсэх шилжилт хөдөлгөөн, хэв гажилт, хүчдэлийг судалдаг. U. t хүч чадал, хэв гажилт ба... ... тооцооны онолын үндэслэл. Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Хуванцар байдлын онол- Хуванцар байдлын онол нь уян хатан байдлын хязгаараас давсан хэв гажилт бие дэх хүчдэл ба шилжилтийг тодорхойлох зорилготой тасралтгүй механикийн салбар юм. Хатуухан хэлэхэд, уян хатан байдлын онолд стресс төлөвийг... ... Википедиа гэж үздэг.

Номууд

• Уян хатан байдлын онол, М.Филоненко-Бородич, Уншигчдын анхааралд санал болгож буй уян хатан байдлын онолын богино курс нь зохиолчийн Москвагийн Улсын Их Сургуульд уншсан лекцүүд дээр үндэслэсэн болно. М.В.Ломоносов. Эдгээр лекцүүд нь... Ангилал: Математик Нийтлэгч: YOYO Media, Үйлдвэрлэгч: Yoyo Media, 2200 UAH-аар худалдаж аваарай (зөвхөн Украинд)
• Уян хатан байдлын онол, М.Филоненко-Бородич, Уншигчдын анхааралд санал болгож буй "Уян хатан байдлын онолын богино курс"-ийг зохиолчийн Москвагийн Улсын Их Сургуульд уншсан лекцүүдийн үндсэн дээр эмхэтгэсэн болно. М.В.Ломоносов. Эдгээр лекцүүд... Ангилал: Математик, шинжлэх ухаанЦуврал: Нийтлэгч:

Уян хатан байдлын онолгадны хүчний (ачаалал) нөлөөн дор үүсдэг уян харимхай биетүүдийн стресс, хэв гажилтыг судалдаг.

Уян хатан байдал- энэ нь ачааллын дор хэлбэр, хэмжээгээ өөрчилсөн биеийн ачааллыг арилгасны дараа анхны хэмжээ, хэлбэрээ олж авах чадвар юм. Хэрэв биеийн хэмжээ өөрчлөгдөх нь ачаалалаас шугаман хамааралтай байвал шугаман уян хатан байдал. Ийм шинж чанартай биеийг нэрлэдэг төгс уян хатан. Хамгийн тохиромжтой уян хатан материал бол ган, цутгамал төмөр, хөнгөн цагаан, мод, шил юм. Хэрэв биеийн хэмжээсийн өөрчлөлт нь ачаалалаас шугаман бус хамааралтай бол шугаман бус уян хатан байдлын тухай ярьдаг. Жишээлбэл, резин нь шугаман бус уян хатан чанартай байдаг. Бид суралцах болно уян хатан байдлын шугаман онол.

Цагаан будаа. 1 - Шугаман (1) ба шугаман бус (2) уян хатан чанар

Хэрэв цэг бүрт биеийн шинж чанарууд бүх чиглэлд ижил байвал ийм биеийг нэрлэдэг изотроп. Инженерийн нарийвчлалтайгаар ган нь изотроп гэж тооцогддог. Хэрэв цэг бүрт биеийн шинж чанар өөр өөр чиглэлд өөр өөр байвал ийм биеийг нэрлэдэг анизотроп. Ийм шинж чанарыг модоор эзэмшдэг бөгөөд энэ нь үр тарианы дагуу зарим шинж чанартай, бусад нь үр тарианы дагуу байдаг. Бид суралцах болно изотроп биетүүдийн уян хатан байдлын шугаман онол.

Нэмж дурдахад бид дараахь хязгаарлалтуудыг нэвтрүүлж байна.

1. Биеийн материал нь нэгэн төрлийн, өөрөөр хэлбэл түүний шинж чанар нь биеийн бүх цэгүүдэд ижил байдаг;
2. Биеийн материал нь байна тасралтгүй байдал, өөрөөр хэлбэл, биеийн хэв гажилт нь хагаралгүйгээр үүсдэг;
3. Ачааллын дор хэв гажилт, шилжилт хөдөлгөөн нь биеийн хэмжээтэй харьцуулахад бага байдаг биеийг л авч үздэг.

Тиймээс уян харимхай тэнцвэрийн тогтвортой байдлын асуудлууд, хүчтэй муруй бариулыг тооцоолох, бүрхүүлийн зузаантай харьцуулах хазайлт бүхий хавтан ба бүрхүүлийн гулзайлтын асуудлыг бид авч үзэхгүй. Эдгээр асуудлуудыг авч үздэг уян хатан байдлын геометрийн шугаман бус онол.

Уян хатан байдлын шугаман онол нь гадны хүчний нөлөөн дор хамгийн тохиромжтой уян биет үүсдэг дотоод хүчийг судалдаг.

Тиймээс хүчийг гадаад (өөр өөр биетүүдийн хоорондын харилцан үйлчлэлийн хүч) ба дотоод (биеийн доторх хоёр зэргэлдээ элементийн хооронд үүсэх хүч) гэж хуваадаг. Гадны хүчийг нэг цэгт (төвлөрсөн), биеийн гадаргуугийн дагуу (гадаргуу) болон биеийн цэг бүрт (эзэлхүүн) хэрэглэж болно.

Гадны хүчний үйлчлэл дор тэнцвэрт байдалд байгаа биеийг авч үзье F1, F2, …, Fn (Зураг 2a). Бие махбодийг устгаж чадах биеийн хэсгүүдийн хооронд дотоод харилцан үйлчлэлийн хүч үүсдэг. Бидний сонирхсон хэсэгт эдгээр хүчийг тодорхойлохын тулд бид биеийг оюун ухаанаараа хоёр хэсэгт хувааж, баруун хэсгийг нь хаяж, үлдсэн хэсэгт үзүүлэх үйлдлийг үр дүнгийн хүчээр солино. Р (Зураг 2б).

OX тэнхлэгийг манай хэсэгт перпендикуляр чиглүүлээрэй. Дараа нь OY ба OZ тэнхлэгүүд нь огтлолын хавтгайд байрладаг. Үүссэн хүчний проекц П OX тэнхлэг дээр байгаа нь бидэнд хэвийн байдлыг өгдөг Px , мөн OY ба OZ тэнхлэгүүд дээр - шүргэгч Py Тэгээд Pz энэ хүчний бүрэлдэхүүн хэсэг.

Бодит байдал дээр хүч П нэг цэгт хэрэглэхгүй, харин бүх хэсэгт жигд бус тархсан. Энэ хүчний эрчмийг, өөрөөр хэлбэл нэгж талбайд үйлчлэх хүчийг гэнэ хүчдэл. Бүрэн хүчдэлцэг дээр харьцааны хязгаар гэж тодорхойлогддог:

Хэвийн хүчдэлцэг дээр харьцааны хязгаар гэж тодорхойлогддог

Шилжилтийн стресснэг цэг дээр харилцааны хязгаар гэж тодорхойлогддог

Шилжилтийн хүчдэлийн эхний индекс нь зүсэлтийн хүчдэлийн чиглэлийг заадаг ба хоёр дахь индекс нь зүсэлтийн хүчдэл үйлчилж буй нүүрний хэвийн тэнхлэг юм. Харгалзан авч буй огтлолын дурын цэгээс dx, dy, dz талуудтай энгийн параллелепипедийг оюун ухаанаар хайчилж, энэ параллелепипедийн нүүрэнд үйлчлэх хүчдэлийг авч үзье (Зураг 3).

Дараа нь цэг бүрт стрессүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийг матрицаар илэрхийлдэг стресс тензор.

Стрессийн тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь координатын системийн сонголтоос хамаардаг нь тодорхой байна.

Стрессийн тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр дамжуулан координатын системийн сонголтоос хамаардаггүй эквивалент стрессийг олж болно. Эквивалент стрессийг зөвшөөрөгдөх хүчдэлээр илэрхийлэгддэг материалын бат бэхийн шинж чанартай харьцуулж болно.

Дараа нь бат бэхийн нөхцлийг мэдэгдэж буй хэлбэрээр бичнэ.

Уян хатан байдлын онолын үүрэг бол стресс тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хамгийн зөв тодорхойлох, улмаар түүнтэй тэнцэх стрессийг тодорхойлох явдал юм.

Зөөлөн гангийн дээжийн эвдрэлийн өмнөх суналтын диаграмм дээр эд ангиудын хүчдэл-хүчдэлийн төлөвийг дүрслэхийн тулд янз бүрийн онолын хэрэглээний талбарыг бүдүүвчээр тодорхойлъё.

Цагаан будаа. 4 - Төрөл бүрийн онолын хэрэглээний чиглэл: I - уян хатан байдлын онол, II - уян хатан байдлын онол, III - хугарлын механик

Хэрэв тооцоолол дахь хүчдэл нь уналтын бат бэхээс их байвал st (орчин үеийн тэмдэглэгээгээр Rp ), дараа нь тэдгээрийг нөхцөлт уян харимхай гэж нэрлэдэг. Уян хатан уусмал ашиглан эд ангиудын уян-хуванцар ба хуванцар төлөвийг судлах боломжтой аргууд байдаг. Уян хатан байдлын онолын ерөнхий бүтцийг авч үзье.

Цагаан будаа. 6 - Уян хатан байдлын онолын блок схем

70-аад оноос хойш орчин үеийн математикийн төхөөрөмжийг уян хатан байдлын онолын ажилд ихэвчлэн ашигладаг. Математикийн албан ёсны аппарат гэдэг нь объект, тэдгээрийн дээрх үйлдлүүдийг тодорхойлох, албан ёсны болгох явдал юм. Уян хатан байдлын онол нь тензорын тооцоог ашигладаг. Хичээлдээ бид тензорын тооцоог зөвхөн өргөтгөсөн илэрхийллийн товч тэмдэглэгээний жишээ болгон ашиглах болно. Товчхон бичих боломжтой болгохын тулд координатын тэнхлэгүүд болон стрессийн индексүүдийг үсгээр биш, харин тоогоор тэмдэглэдэг.

Тензорын зэрэглэл нь түүнд хавсаргасан индексүүдийн тоо юм. Дараа нь харуулах болно, стресс тензор нь хоёр дахь зэрэглэлийн тензор юм. Тодорхойлолтоор бол хоёр дахь зэрэглэлийн тензор нь хэмжигдэхүүний цуглуулга юм Айж, хоёр индексээс хамаарах ба координатын систем томъёоны дагуу өөрчлөгдөхөд хувирдаг

Тензорын зэрэг нь орон зайн хэмжээстэй холбоогүй юм! Орон зайн хэмжээсийг индекс бүрийн авч буй утгуудын тоогоор тодорхойлно. Хэрэв би, j, к, л 1, 2, 3 утгыг авбал тензор (*) нь гурван хэмжээст орон зайд тодорхойлогдоно. Илэрхийллийг задлах, өргөжүүлэх дүрэм: дотоод (мономиаль хэлбэрээр давтагдах) индексээр к, лнийлбэр хийгдэж, төгсгөл хүртэлх (зүүн ба баруун талд давтагдах) индексүүд би, jтэгшитгэлийн тоог тодорхойлно. Утгыг илэрхийлэх (*) өргөтгөлийн жишээ би = 2, j = 3:

Тэмдэглэгээний өөр нэг товчлол бол хэсэгчилсэн деривативуудыг таслалаар тэмдэглэдэг. Жишээлбэл:

Дараа нь тэмдэглэгээ нь хэд хэдэн харилцааг илэрхийлдэг:

Ирээдүйд бид цэг дээрх стрессийн хүснэгт нь хоёр дахь зэрэглэлийн тензор, өөрөөр хэлбэл координатын систем өөрчлөгдөх үед (*) харилцааг хангаж байгаа эсэхийг шалгах болно.