Matematická hodnota plochy je známa už od starovekého Grécka. Už v tých dávnych dobách Gréci zistili, že plocha je súvislá časť plochy, ktorá je zo všetkých strán ohraničená uzavretým obrysom. Toto je číselná hodnota, ktorá sa meria v štvorcových jednotkách. Plocha je číselná charakteristika plochých geometrických útvarov (planimetrických) a povrchov telies v priestore (objemových).
V súčasnosti sa nachádza nielen v školských osnovách na hodinách geometrie a matematiky, ale aj v astronómii, každodennom živote, konštrukcii, vývoji dizajnu, výrobe a mnohých ďalších ľudských predmetoch. Veľmi často sa pri navrhovaní krajinnej oblasti alebo pri rekonštrukčných prácach na ultramodernom dizajne miestnosti uchyľujeme k výpočtu plôch segmentov na osobnom pozemku. Znalosť metód na výpočet rôznych oblastí sa preto bude hodiť vždy a všade.
Ak chcete vypočítať plochu kruhového segmentu a segmentu gule, musíte pochopiť geometrické pojmy, ktoré budú potrebné počas výpočtového procesu.
Po prvé, segment kruhu je fragmentom plochého tvaru kruhu, ktorý sa nachádza medzi oblúkom kruhu a tetivou, ktorá ho oddeľuje. Tento pojem by sa nemal zamieňať s údajom o sektore. To sú úplne iné veci.
Tetiva je segment, ktorý spája dva body ležiace na kruhu.
Stredový uhol je vytvorený medzi dvoma segmentmi - polomermi. Meria sa v stupňoch podľa oblúka, na ktorom spočíva.
Segment gule sa vytvorí, keď je časť odrezaná nejakou rovinou. V tomto prípade je základňou guľového segmentu kruh a výška je kolmica vychádzajúca zo stredu kruhu k priesečníku s povrchom. sféry. Tento priesečník sa nazýva vrchol segmentu gule.
Aby ste mohli určiť oblasť guľového segmentu, musíte poznať hraničný kruh a výšku guľového segmentu. Súčinom týchto dvoch zložiek bude plocha segmentu gule: S=2πRh, kde h je výška segmentu, 2πR je obvod a R je polomer veľkého kruhu.
Na výpočet plochy segmentu kruhu sa môžete uchýliť k nasledujúcim vzorcom:
1. Ak chcete najjednoduchším spôsobom nájsť plochu segmentu, je potrebné vypočítať rozdiel medzi plochou sektora, v ktorom je segment vpísaný a ktorého základňou je tetiva segmentu: S1 = S2 -S3, kde S1 je plocha segmentu, S2 je plocha sektora a S3 je plocha trojuholníka.
Na výpočet plochy kruhového segmentu môžete použiť približný vzorec: S=2/3*(a*h), kde a je základňa trojuholníka alebo h je výška segmentu, čo je výsledok rozdielu medzi polomerom kružnice a
2. Plocha segmentu odlišného od polkruhu sa vypočíta takto: S = (π R2:360)*α ± S3, kde π R2 je plocha kruhu, α je miera stredového uhla, ktorý obsahuje oblúk segmentu kruhu, S3 je plocha trojuholníka, ktorý sa vytvoril medzi dvoma polomermi kružnica a tetiva, ktorá má v stredovom bode kružnice uhol a v bodoch dotyku polomerov s kružnicou dva vrcholy.
Ak uhol α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 stupňov, aplikované znamienko plus.
3. Môžete vypočítať plochu segmentu pomocou iných metód pomocou trigonometrie. Ako základ sa spravidla berie trojuholník. Ak sa stredový uhol meria v stupňoch, potom je prijateľný nasledujúci vzorec: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, kde R2 je druhá mocnina polomeru kruhu, α je miera stupňa stredového uhla.
4. Na výpočet plochy segmentu pomocou goniometrických funkcií môžete použiť iný vzorec za predpokladu, že stredový uhol sa meria v radiánoch: S= R2 * (α - sin α)/2, kde R2 je druhá mocnina polomer kruhu, α je miera stredového uhla.
- 01.10.2018
Na základe wi-fi modulu NodeMcu v3 s čipom ESP8266 (ESP-12e) môžete vyrobiť (napríklad) teplomer na digitálnom snímači 18B20, informácie o teplote budú odoslané do databázy MySQL pomocou požiadavky GET. Nasledujúci náčrt vám umožňuje posielať požiadavky GET na zadanú stránku, v mojom prípade je to test.php. #include
#include … - 22.09.2014
Automatický stacionárny stmievač riadený fotorezistorom R7, určený pre prevádzku v náročných podmienkach chladného a mierne chladného podnebia pri teplote okolia od -25 do +45°C, relatívnej vlhkosti vzduchu do 85% pri teplote +20°C a atmosférickom tlaku v rozmedzí 200…900 mm Hg. Stmievač slúži na reguláciu osvetlenia jednotlivých...
- 25.09.2014
Aby nedošlo k poškodeniu elektroinštalácie pri opravách, je potrebné použiť zariadenie na detekciu skrytých káblov. Prístroj detekuje nielen umiestnenie skrytých rozvodov, ale aj miesto poškodenia skrytých rozvodov. Zariadenie je audio zosilňovač, v prvom stupni sa na zvýšenie vstupného odporu používa tranzistor s efektom poľa. V druhom stupni op-amp. Senzor -...
- 03.10.2014
Navrhované zariadenie stabilizuje napätie do 24V a prúd do 2A s ochranou proti skratu. V prípade nestabilného spustenia stabilizátora by sa mala použiť synchronizácia z autonómneho generátora impulzov (obr. 2. Obvod stabilizátora je znázornený na obr. Na VT1 VT2 je namontovaný spúšť Schmitt, ktorý riadi výkonný regulačný tranzistor VT3. Podrobnosti: VT3 je vybavený chladičom...
Kruh, jeho časti, ich veľkosti a vzťahy sú veci, s ktorými sa klenotník neustále stretáva. Prstene, náramky, kasty, trubičky, guličky, špirály – treba vyrobiť veľa okrúhlych vecí. Ako sa to dá všetko vypočítať, najmä ak ste mali to šťastie, že ste v škole vynechali hodiny geometrie?...
Najprv sa pozrime, aké časti má kruh a ako sa nazývajú.
- Kruh je čiara, ktorá obklopuje kruh.
- Oblúk je časť kruhu.
- Polomer je segment spájajúci stred kruhu s ktorýmkoľvek bodom na kruhu.
- Tetiva je segment spájajúci dva body na kruhu.
- Úsečka je časť kružnice ohraničená tetivou a oblúkom.
- Sektor je časť kruhu ohraničená dvoma polomermi a oblúkom.
Množstvá, ktoré nás zaujímajú a ich označenie:
Teraz sa pozrime, aké problémy súvisiace s časťami kruhu je potrebné vyriešiť.
- Nájdite dĺžku vývoja ktorejkoľvek časti prsteňa (náramku). Vzhľadom na priemer a tetivu (možnosť: priemer a stredový uhol) nájdite dĺžku oblúka.
- Na rovine je kresba, jej veľkosť si treba zistiť v projekcii po ohnutí do oblúka. Vzhľadom na dĺžku a priemer oblúka nájdite dĺžku tetivy.
- Zistite výšku dielu získaného ohýbaním plochého obrobku do oblúka. Možnosti zdrojových údajov: dĺžka a priemer oblúka, dĺžka oblúka a tetiva; nájdite výšku segmentu.
Život vám poskytne ďalšie príklady, ale tieto som uviedol len preto, aby som ukázal, že je potrebné nastaviť nejaké dva parametre, aby ste našli všetky ostatné. To je to, čo urobíme. Konkrétne vezmeme päť parametrov segmentu: D, L, X, φ a H. Potom, keď z nich vyberieme všetky možné dvojice, budeme ich považovať za počiatočné údaje a všetky ostatné nájdeme brainstormingom.
Aby som čitateľa zbytočne nezaťažoval, nebudem uvádzať podrobné riešenia, ale uvediem len výsledky vo forme vzorcov (tie prípady, kde nie je formálne riešenie, rozoberiem na ceste).
A ešte jedna poznámka: o jednotkách merania. Všetky veličiny, okrem stredového uhla, sa merajú v rovnakých abstraktných jednotkách. To znamená, že ak napríklad zadáte jednu hodnotu v milimetroch, druhú nie je potrebné zadať v centimetroch a výsledné hodnoty sa budú merať v rovnakých milimetroch (a plochy v milimetroch štvorcových). To isté možno povedať o palcoch, stopách a námorných míľach.
A iba stredový uhol sa vo všetkých prípadoch meria v stupňoch a nič iné. Pretože, ako pravidlo, ľudia, ktorí navrhujú niečo okrúhle, nemajú tendenciu merať uhly v radiánoch. Fráza „uhol pi o štyri“ mnohých mätie, zatiaľ čo „uhol štyridsaťpäť stupňov“ je zrozumiteľný pre každého, pretože je len o päť stupňov vyšší ako normálne. Vo všetkých vzorcoch však bude ešte jeden uhol - α - prítomný ako medzihodnota. To znamená, že ide o polovicu stredového uhla, meraného v radiánoch, ale tento význam nemôžete bezpečne preniknúť.
1. Vzhľadom na priemer D a dĺžku oblúka L
; dĺžka akordu 
;
výška segmentu 
; stredový uhol 
.
2. Daný priemer D a dĺžka tetivy X
; dĺžka oblúka;
výška segmentu ; stredový uhol 
.
Keďže akord rozdeľuje kruh na dva segmenty, tento problém nemá jedno, ale dve riešenia. Ak chcete získať druhý, musíte nahradiť uhol α vo vyššie uvedených vzorcoch uhlom .
3. Daný priemer D a stredový uhol φ
; dĺžka oblúka;
dĺžka akordu ; výška segmentu .
4. Vzhľadom na priemer D a výšku segmentu H
; dĺžka oblúka;
dĺžka akordu ; stredový uhol .
6. Daná dĺžka oblúka L a stredový uhol φ
; priemer ;
dĺžka akordu ; výška segmentu .
8. Vzhľadom na dĺžku tetivy X a stredový uhol φ
; dĺžka oblúka 
;
priemer ; výška segmentu .
9. Vzhľadom na dĺžku tetivy X a výšku segmentu H
; dĺžka oblúka ;
priemer ; stredový uhol .
10. Vzhľadom na stredový uhol φ a výšku segmentu H
; priemer 
;
dĺžka oblúka; dĺžka akordu .
Pozorný čitateľ si nemohol nevšimnúť, že mi unikli dve možnosti:
5. Daná dĺžka oblúka L a dĺžka tetivy X
7. Vzhľadom na dĺžku oblúka L a výšku segmentu H
To sú práve tie dva nepríjemné prípady, keď úloha nemá riešenie, ktoré by sa dalo napísať vo forme vzorca. A úloha nie je taká zriedkavá. Napríklad máte plochý kus dĺžky L a chcete ho ohnúť tak, aby jeho dĺžka bola X (alebo jeho výška bola H). Aký priemer mám vziať tŕň (priečnik)?
Tento problém sa týka riešenia rovníc: 
; - v možnosti 5
; - v možnosti 7
a hoci sa nedajú vyriešiť analyticky, dajú sa jednoducho vyriešiť programovo. A dokonca viem, kde takýto program získať: práve na tejto stránke pod názvom . Všetko, čo vám tu podrobne hovorím, robí v mikrosekundách.
Na dokončenie obrázku pridajte k výsledkom našich výpočtov obvod a tri hodnoty oblasti - kruh, sektor a segment. (Plochy nám veľmi pomôžu pri výpočte hmotnosti všetkých guľatých a polkruhových častí, ale viac o tom v samostatnom článku.) Všetky tieto množstvá sa počítajú pomocou rovnakých vzorcov:
obvod ;
oblasť kruhu 
;
sektorová oblasť 
;
oblasť segmentu 
;
A na záver mi dovoľte, aby som vám ešte raz pripomenul existenciu úplne bezplatného programu, ktorý vykonáva všetky vyššie uvedené výpočty, čím vás zbaví potreby pamätať si, čo je arkustangens a kde ho hľadať.
Definovanie segmentu kruhu
Segment je geometrický útvar, ktorý sa získa odrezaním časti kruhu tetivou.
Online kalkulačka
Tento obrazec sa nachádza medzi tetivou a oblúkom kruhu.
ChordIde o segment ležiaci vo vnútri kruhu a spájajúci dva ľubovoľne zvolené body na ňom.
Pri odrezaní časti kruhu pomocou akordu môžete zvážiť dve postavy: toto je náš segment a rovnoramenný trojuholník, ktorého strany sú polomery kruhu.
Plochu segmentu možno nájsť ako rozdiel medzi oblasťami sektora kruhu a tohto rovnoramenného trojuholníka.
Oblasť segmentu možno nájsť niekoľkými spôsobmi. Pozrime sa na ne podrobnejšie.
Vzorec pre oblasť segmentu kruhu pomocou polomeru a dĺžky oblúka kruhu, výšky a základne trojuholníka
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ⋅ R⋅s −2 1 ⋅ h⋅a
R R R- polomer kruhu;
s s s- dĺžka oblúka;
h h h- výška rovnoramenného trojuholníka;
a a a- dĺžka základne tohto trojuholníka.
Ak je daný kruh, jeho polomer je číselne rovný 5 (cm), výška, ktorá je nakreslená k základni trojuholníka, sa rovná 2 (cm), dĺžka oblúka je 10 (cm). Nájdite oblasť segmentu kruhu.
Riešenie
R=5 R=5 R=5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1
0
Na výpočet plochy potrebujeme iba základňu trojuholníka. Poďme to nájsť pomocou vzorca:
A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8
Teraz môžete vypočítať plochu segmentu:
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ⋅ R⋅s −2 1 ⋅ h⋅a =2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (pozri námestie)
odpoveď: 17 cm štvorcových
Vzorec pre oblasť segmentu kruhu daný polomerom kruhu a stredovým uhlom
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alfa-\sin(\alpha))S=2 R 2 ⋅ (α − hriech(α))
R R R- polomer kruhu;
a\alfa α
- stredový uhol medzi dvoma polomermi pretínajúcimi tetivu, merané v radiánoch.
Nájdite oblasť segmentu kruhu, ak je polomer kruhu 7 (cm) a stredový uhol je 30 stupňov.
Riešenie
R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Najprv prevedieme uhol v stupňoch na radiány. Pretože π\pi π
Radián sa rovná 180 stupňom, potom:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3
0
∘
=
3
0
∘
⋅
1
8
0
∘
π
=
6
π
radián. Potom je oblasť segmentu:
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big (\frac(\pi)(6)-\sin\Big (\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\približne 0,57S=2 R 2 ⋅ (α − hriech(α)) =2 4 9 ⋅ ( 6 π − hriech ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (pozri námestie)
odpoveď: 0,57 cm štvorcových
