ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและสูตรพื้นฐานที่ง่ายที่สุด ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคืออะไรและจะคำนวณอย่างไรให้ถูกต้อง คำจำกัดความและตัวอย่างความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ทฤษฎีบทและสูตรทั้งหมดของทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ได้มาจากสัจพจน์ของทฤษฎีความน่าจะเป็น บทนี้กำหนดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและพิสูจน์ทฤษฎีบทและสูตรที่ใช้บ่อยที่สุดโดยพิจารณาจากความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข แนวคิดเรื่องความเป็นอิสระของเหตุการณ์ถูกนำมาใช้ ซึ่งจากนั้นใช้ในโครงร่างของการทดลองอิสระที่ต่อเนื่องกัน และให้คำอธิบายของโครงการ Markov ที่มีการทดลองแบบพึ่งพากัน

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ใน § 1.1 สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขได้มาจากรูปแบบคลาสสิก ในกรณีทั่วไป สูตรนี้ทำหน้าที่เป็นคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ แต่สมมติว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้น ที่, พี(บี) > 0.

คำจำกัดความ 2.1.ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ แต่เนื่องจาก ที่

คำจำกัดความ 2.2เหตุการณ์ แต่ไม่ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ที่,ถ้า

ความเป็นอิสระของเหตุการณ์มีร่วมกัน กล่าวคือ ถ้าเหตุการณ์ แต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ที่,แล้วเหตุการณ์ ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ แต่.อันที่จริง การใช้คำจำกัดความ 2.1 และ 2.2 สำหรับ พี(เอ) > 0 เรามี:

คำจำกัดความ 2.1 หมายถึงสูตรต่อไปนี้สำหรับการคูณความน่าจะเป็น:

สำหรับเหตุการณ์อิสระ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น:

คำจำกัดความ 2.3เหตุการณ์ A, A 2 ,..., แต่"สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์หากไม่สามารถจับคู่กันได้และรวมกันเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ กล่าวคือ

ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นทั้งหมดต่อไปนี้ถือเป็น

ทฤษฎีบท 2.1.ถ้าเหตุการณ์ A และ ..., อา”, พี(เอ)> 0 สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ตามด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่สามารถแสดงเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของเหตุการณ์ของกลุ่มที่สมบูรณ์และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ ที่:

งานเต็มกลุ่ม แต่" ..., แต่"เข้ากันไม่ได้แบบคู่ ดังนั้นผลิตภัณฑ์ (ทางแยก) กับเหตุการณ์ก็เข้ากันไม่ได้เช่นกัน ที่,เหล่านั้น. เหตุการณ์ ที่พี A/, B PL ที่ ผม เอฟ jเข้ากันไม่ได้ ตั้งแต่เหตุการณ์ ที่สามารถแสดงเป็น

แล้วนำไปใช้กับการสลายตัวของเหตุการณ์นี้ ที่สัจพจน์ของการบวกความน่าจะเป็น เรามี:

โดยใช้สูตรคูณความน่าจะเป็น (2.1.1) สำหรับแต่ละเทอม ในที่สุดเราก็ได้:

ข้อกำหนดที่เหตุการณ์ A จากกลุ่มเหตุการณ์ทั้งหมดสามารถถูกแทนที่ด้วยกลุ่มที่อ่อนแอกว่า: เหตุการณ์เป็นคู่

แต่อย่าตัดกัน Bcz^A rนอกจากนี้ตามสัจพจน์ของการนับ

ของการบวก ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นรวมสามารถขยายไปยังชุดของเหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อคู่ที่นับได้ แต่,-,

P(A,)> 0, tfcQ/l, :

จากสูตรความน่าจะเป็นรวม (2.1.3) เป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับสูตรเบย์: สำหรับเหตุการณ์ ที่กับ พี(บี)> 0 และสำหรับระบบที่เข้ากันไม่ได้

พัพฟ์เหตุการณ์ A „ P(A,) > 0, BCJ A,.,

อันที่จริง การใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและการคูณความน่าจะเป็น เรามี:

ตอนนี้แทนที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่โดยใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด เราได้สูตร (2.1.5)

ความน่าจะเป็น พี(เอ,)เหตุการณ์ และเรียกว่า ความน่าจะเป็นก่อนหน้าเหล่านั้น. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ก่อนการทดลอง และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์เหล่านี้ พี(เอ,บี) - หลังเหล่านั้น. ชี้แจงจากประสบการณ์ซึ่งผลของเหตุการณ์คือ ที่.

ตัวอย่าง 2.1คำนวณตามสูตรและความน่าจะเป็นเต็มและ Bayesian

บริษัทผลิตผลิตภัณฑ์บางประเภทในสามสายการผลิต บรรทัดแรกผลิตผลิตภัณฑ์ 20% จากปริมาณการผลิตทั้งหมด ชุดที่สอง - 30% ชุดที่สาม - 50% แต่ละบรรทัดมีการจำแนกตามเปอร์เซ็นต์อายุการเก็บรักษาของผลิตภัณฑ์: 95, 98 และ 97% จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่สุ่มตัวอย่างซึ่งผลิตโดยองค์กรจะมีข้อบกพร่อง เช่นเดียวกับความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องนี้สร้างขึ้นในบรรทัดที่หนึ่ง สอง และสาม

การตัดสินใจ.แสดงโดย A „ L 2, A)เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการผลิตผลิตภัณฑ์ที่สุ่มเลือกตามลำดับในบรรทัดที่หนึ่ง สอง และสาม ตามเงื่อนไขของปัญหา พี(อา,) = 0,2; P(A 2) = 0,3; P(A)) = 0.5 และเหตุการณ์เหล่านี้รวมกันเป็นกลุ่มของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ เนื่องจากเป็นคู่ที่เข้ากันไม่ได้ กล่าวคือ พี(อา,) + อาร์(L 2) + P(L .) 3) = 1.

แสดงโดย ที่เหตุการณ์ที่ผลิตภัณฑ์ที่สุ่มออกมามีข้อบกพร่อง ตามเงื่อนไขของปัญหา P(B/A เสื้อ) = = 0,05; P (B / A 2) \u003d 0,02; P (B / A 3) \u003d 0,03.

เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่เลือกแบบสุ่มจะมีข้อบกพร่องคือ 3.1%

ความน่าจะเป็นระดับความสำคัญที่ผลิตภัณฑ์สุ่มสร้างขึ้นในบรรทัดแรก สอง หรือสามคือ 0.2 ตามลำดับ; 0.3 และ 0.5

สมมุติว่าจากการทดลอง ผลิตภัณฑ์ที่สุ่มออกมามีข้อบกพร่อง ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นหลังที่ผลิตภัณฑ์นี้ผลิตในบรรทัดแรก ที่สอง หรือสาม ตามสูตรเบย์ เรามี:

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์สุ่มและกลายเป็นว่ามีข้อบกพร่องเกิดขึ้นในบรรทัดแรก ที่สอง หรือสาม เท่ากับ 0.322 ตามลำดับ 0.194; 0.484.

สูตรคูณความน่าจะเป็น (2.1.1) สามารถขยายไปถึงกรณีของเหตุการณ์จำนวนจำกัดโดยพลการได้:

คำจำกัดความ 2.4.เหตุการณ์ เอ บี เอ 2, ..., แต่"มีความเป็นอิสระซึ่งกันและกันหากสำหรับส่วนย่อยใด ๆ ของพวกเขา

หากตรงตามเงื่อนไขนี้เฉพาะสำหรับ k = 2 จากนั้นเหตุการณ์จะเป็นอิสระเป็นคู่

ความเป็นอิสระแบบคู่เกิดขึ้นจากความเป็นอิสระของเหตุการณ์โดยรวม แต่ความเป็นอิสระโดยรวมไม่เป็นไปตามความเป็นอิสระแบบคู่

นอกจากนี้เรายังได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปด้วยเหตุการณ์ที่เป็นอิสระและตอนนี้จะมีความต่อเนื่องที่น่าสนใจมากขึ้นซึ่งจะทำให้ไม่เพียง แต่จะเชี่ยวชาญ วัสดุใหม่แต่บางทีอาจจะให้ความช่วยเหลือในชีวิตประจำวันด้วย

ให้เราพูดซ้ำสั้นๆ ว่าเหตุการณ์คืออะไร: เหตุการณ์และเป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจากการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์อื่น ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด- โยนเหรียญสองเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยเหรียญหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของการโยนเหรียญอื่น

แนวคิดเรื่องการพึ่งพาอาศัยกันของเหตุการณ์ก็คุ้นเคยสำหรับคุณเช่นกัน และถึงคราวต้องรับมืออย่างใกล้ชิดแล้ว

ให้เราพิจารณาชุดดั้งเดิมของสองเหตุการณ์ก่อน: เหตุการณ์คือ ขึ้นอยู่กับ หากนอกเหนือไปจากปัจจัยสุ่ม ความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คำนวณโดยสมมติว่าเหตุการณ์ เกิดขึ้นแล้ว, ถูกเรียก ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น และแสดงโดย . พร้อมกันนั้นเหตุการณ์เรียกว่า เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา (ทั้งๆ ที่พูดอย่างเคร่งครัด พึ่งพิงได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น).

การ์ดในมือ:

งาน 1

จากสำรับไพ่ 36 ใบ จั่วไพ่ 2 ใบติดต่อกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองเป็นหัวใจถ้าก่อนหน้านี้:

ก) เวิร์มถูกลบ;
b) จั่วไพ่ชุดอื่น

การตัดสินใจ: พิจารณาเหตุการณ์: - ไพ่ใบที่สองจะเป็นหัวใจ ค่อนข้างชัดเจนว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ขึ้นอยู่กับว่าเวิร์มถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้หรือไม่

ก) หากหัวใจถูกดึงออกมาเป็นครั้งแรก (เหตุการณ์) แสดงว่าไพ่ 35 ใบยังคงอยู่ในสำรับ ซึ่งตอนนี้มีไพ่ชุดหัวใจ 8 ใบ โดย ความหมายคลาสสิก:
เนื่องจากว่าตัวหนอนก็ถูกกำจัดออกไปก่อนหน้านั้นด้วย

b) ถ้าในตอนแรกมีการจั่วไพ่ชุดอื่นออกมา (เหตุการณ์) หัวใจทั้ง 9 ดวงยังคงอยู่ในสำรับ โดย ความหมายคลาสสิก:
คือความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองเป็นหัวใจ เนื่องจากก่อนหน้านี้มีการจั่วไพ่ชุดอื่น

ทุกอย่างมีเหตุผล - ถ้าความน่าจะเป็นที่จะดึงหัวใจจากสำรับเต็มคือ จากนั้นเมื่อจั่วไพ่ใบต่อไป ความน่าจะเป็นเดียวกันจะเปลี่ยนไป: ในกรณีแรกมันจะลดลง (เพราะมีหัวใจน้อยกว่า) และในวินาทีนั้นจะเพิ่มขึ้น: (เพราะหัวใจทั้งหมดยังคงอยู่ในสำรับ)

ตอบ:

เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาอาศัยกันสามารถมีได้มากกว่านี้ ในขณะที่งานยังไม่เย็นลง เรามาเพิ่มอีกสิ่งหนึ่ง: - การ์ดใบที่สามจะแยกเวิร์ม สมมติว่าเหตุการณ์เกิดขึ้น และจากนั้น เหตุการณ์ ; จากนั้นมีการ์ดเหลือ 34 ใบในสำรับ รวม 7 หัวใจ โดย ความหมายคลาสสิก:
- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เนื่องจากที่หัวใจสองดวงถูกดึงออกมาก่อนหน้านี้

สำหรับการฝึกตนเอง:

งาน2

ซองประกอบด้วย สลากกินแบ่ง 10 ใบ รวม 3 ใบที่ชนะ ตั๋วจะถูกลบออกจากซองตามลำดับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) สลากที่ 2 จะเป็นผู้ชนะหากใบที่ 1 เป็นผู้ชนะ
b) รางวัลที่ 3 จะชนะหากตั๋วสองใบก่อนหน้าถูกรางวัล
c) คนที่ 4 จะชนะถ้าตั๋วก่อนหน้าถูกชนะ

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ พร้อมความคิดเห็นในตอนท้ายของบทเรียน

ทีนี้มาดูประเด็นสำคัญพื้นฐานจุดหนึ่ง: ในตัวอย่างที่พิจารณา ต้องหาเฉพาะความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเท่านั้น ในขณะที่ เหตุการณ์ก่อนหน้านี้ถือว่าเกิดขึ้นอย่างน่าเชื่อถือ. แต่แท้จริงแล้วพวกเขายังสุ่มอยู่! ดังนั้น ในงาน "อุ่นเครื่อง" การแยกหัวใจออกจากสำรับเต็มจึงเป็นเหตุการณ์สุ่ม ซึ่งความน่าจะเป็นจะเท่ากับ

ในทางปฏิบัติ จำเป็นต้องหาความน่าจะเป็นบ่อยกว่ามาก ลักษณะร่วมกันเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ เช่น วิธีหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจากสำรับเต็ม จะหนอนสกัด และแล้วหนอนตัวอื่นล่ะ? คำตอบของคำถามนี้คือ

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน: ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันของสองเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งคำนวณโดยสมมติว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้นแล้ว:

ในกรณีของเรา:
- ความน่าจะเป็นที่จะดึงหัวใจ 2 ดวงติดต่อกันจากสำรับเต็ม

ในทำนองเดียวกัน:
คือความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ชุดอื่นก่อน และแล้วตัวหนอน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นมากกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างเห็นได้ชัด ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว เห็นได้ชัดโดยไม่ต้องคำนวณใดๆ

และแน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องมีความหวังอะไรเป็นพิเศษจากซองที่มีลอตเตอรี่สิบใบ (ภารกิจที่ 2)คุณจั่วตั๋วที่ชนะ 3 ใบติดต่อกัน:
อย่างไรก็ตาม นี่ยังคงเป็นโอกาสที่ดี

ใช่ ถูกต้องแล้ว - ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันตามธรรมชาติขยายไปถึงจำนวนที่มากขึ้น

เราแก้ไขเนื้อหาด้วยตัวอย่างทั่วไปหลายประการ:

งาน3

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีดำ 7 ลูก สุ่มจับลูกบอลสองลูกจากโกศ ทีละลูกโดยไม่ส่งคืน หาความน่าจะเป็นที่:

ก) ลูกบอลทั้งสองจะเป็นสีขาว
b) ลูกบอลทั้งสองจะเป็นสีดำ
c) อันดับแรกจะดึงลูกบอลสีขาว และจากนั้นจะจับลูกบอลสีดำ

สังเกตคำชี้แจง "ไม่ส่งคืน" ความคิดเห็นนี้เน้นย้ำถึงความจริงที่ว่าเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าลูกบอลที่ถูกสกัดกลับมา? ในกรณีของการสุ่มตัวอย่างย้อนหลัง ความน่าจะเป็นของการดึงลูกบอลขาวดำจะไม่เปลี่ยนแปลง และในปัญหาดังกล่าว ควรมีคำแนะนำโดย ทฤษฎีการคูณสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ.

การตัดสินใจ: ทั้งหมดในโกศ: 4 + 7 = 11 ลูก ไป:

ก) พิจารณาเหตุการณ์ - ลูกแรกจะเป็นสีขาว - ลูกที่สองจะเป็นสีขาวและค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ประกอบด้วยความจริงที่ว่าลูกแรกจะเป็นสีขาว และสีขาวตัวที่2.

ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: สมมติว่าลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา จากนั้นโกศจะมี 10 ลูก โดย 3 ลูกเป็นสีขาว ดังนั้น:
คือ ความน่าจะเป็นที่จะจั่วลูกบอลสีขาวในการทดลองครั้งที่ 2 โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องจับลูกบอลสีขาวมาก่อน

คือความน่าจะเป็นที่ทั้งสองลูกเป็นสีขาว

b) หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ซึ่งประกอบด้วยลูกที่ 1 จะเป็นสีดำ และสีดำตัวที่ 2

ตามคำจำกัดความคลาสสิก: - ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มจับลูกบอลสีดำในการทดสอบครั้งแรก ให้นำลูกบอลสีดำออกไป จากนั้น 10 ลูกจะยังคงอยู่ในโกศ โดยในจำนวนนี้มี 6 ลูกที่เป็นสีดำ ดังนั้น: คือ ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มจับลูกบอลสีดำในการทดลองครั้งที่ 2 โดยต้องเคยจับลูกบอลสีดำมาก่อน

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน:
คือความน่าจะเป็นที่ทั้งสองลูกเป็นสีดำ

c) ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (ก่อนอื่น ลูกบอลสีขาวจะถูกสกัด และแล้วก็ดำ)

หลังจากจั่วลูกบอลสีขาว (ด้วยความน่าจะเป็น ) ลูกบอล 10 ลูกจะยังคงอยู่ในโกศ โดยในจำนวนนี้มี 3 ลูกเป็นสีขาว และ 7 ลูกเป็นสีดำ ดังนั้น: - ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีดำในการทดสอบครั้งที่ 2 โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีขาว ถูกวาดไว้ก่อน

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน:
คือความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ตอบ:

ปัญหานี้สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ ทฤษฎีบทเพิ่มเติมสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์. ในการทำเช่นนี้ เราพบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ 4 ที่หายไป: – ว่าลูกบอลสีดำจะถูกดึงออกมาก่อน และแล้วก็ขาว

เหตุการณ์ สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นต้องเท่ากับหนึ่ง:
ซึ่งต้องได้รับการตรวจสอบ

และทันทีที่ฉันเสนอให้ตรวจสอบว่าคุณเรียนรู้เนื้อหาที่นำเสนอได้ดีเพียงใด:

งาน 4

ความน่าจะเป็นที่จะดึงเอซสองเอซติดกันจากสำรับไพ่ 36 ใบเป็นเท่าใด

งาน 5

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีดำ 6 ลูก สีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูก ลูกบอลสามลูกถูกดึงออกมาอย่างต่อเนื่อง จงหาความน่าจะเป็นที่

ก) ลูกที่สามจะกลายเป็นสีขาวถ้าก่อนหน้านี้ดึงลูกบอลสีดำและสีแดง
b) ลูกแรกจะเป็นสีดำ ลูกที่สอง - แดง และลูกที่สาม - ขาว

คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ต้องบอกว่าปัญหามากมายที่กำลังพิจารณาแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่ง แต่เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน บางทีฉันจะนิ่งเงียบเกี่ยวกับเรื่องนี้ทั้งหมด

ทุกคนคงสังเกตเห็นว่าเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันเกิดขึ้นเมื่อมีการดำเนินการเป็นลูกโซ่ อย่างไรก็ตาม ลำดับของการกระทำเองไม่ได้รับประกันการขึ้นต่อกันของเหตุการณ์ ให้ตัวอย่างเช่น นักเรียนสุ่มตอบคำถามของการทดสอบบางอย่าง - แม้ว่าเหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นทีละคน ความไม่รู้ของคำตอบของคำถามหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับความไม่รู้ของคำตอบอื่น ๆ แต่อย่างใด =) แม้ว่าแน่นอนว่ายังมี รูปแบบที่นี่ =) งั้นก็เป็นตัวอย่างง่ายๆ กับการโยนเหรียญซ้ำๆ แบบนี้ กระบวนการที่น่าสนใจมันถูกเรียกว่า: ทำซ้ำการทดสอบอิสระ.

ฉันพยายามอย่างเต็มที่ที่จะเลื่อนช่วงเวลานี้และหยิบตัวอย่างต่างๆ ออกมา แต่ถ้าเป็นงานใน ทฤษฎีบทการคูณของเหตุการณ์อิสระมือปืนอยู่ในความดูแลแล้วที่นี่มีการบุกรุกโกศด้วยลูกบอลจริง ๆ =) ดังนั้นจึงไม่มีที่ไป - โกศอีกครั้ง:

งาน 6

จากโกศที่มีลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก สุ่มจับลูกบอลสามลูกทีละลูก หาความน่าจะเป็นที่:

ก) ทั้งสามลูกจะเป็นสีดำ
b) จะมีลูกบอลสีดำอย่างน้อยสองลูก

การตัดสินใจ:total: 6 + 4 = 10 ลูกในโกศ

จะมีเหตุการณ์มากเกินไปในปัญหานี้ และในเรื่องนี้ เป็นการสมควรมากกว่าที่จะใช้รูปแบบการออกแบบแบบผสมผสาน ซึ่งหมายถึงเฉพาะเหตุการณ์หลักในอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีคำนวณความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขแล้ว

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - ทั้งสามลูกจะเป็นสีดำ

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน:

b) จุดที่สองน่าสนใจกว่า พิจารณาเหตุการณ์: - จะมีลูกบอลสีดำอย่างน้อยสองลูก เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 2 รายการ: ลูกบอลทั้งหมดจะเป็นสีดำ (เหตุการณ์) หรือ 2 ลูกจะเป็นสีดำและ 1 ลูกจะเป็นสีขาว - ให้ระบุเหตุการณ์สุดท้ายด้วยตัวอักษร

เหตุการณ์รวมถึง 3 ผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้:

ขาวถูกสกัดในการทดสอบครั้งแรก และในวันที่2 และในการทดสอบครั้งที่ 3 - ลูกบอลสีดำ
หรือ
และใน 2nd - BS และในวันที่ 3 - CHS
หรือ
ในการทดลองครั้งที่ 1 แยก SN ออก และในวันที่ 2 - CHS และในวันที่ 3 - BSh

ผู้ที่ต้องการสามารถทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างที่ยากขึ้นจาก ของสะสมของ Chudesenko, ซึ่งในการถ่ายโอนหลายลูก. สำหรับมือสมัครเล่นพิเศษ ฉันขอเสนอปัญหาของความซับซ้อนของการผสมผสานที่เพิ่มขึ้น - ด้วยการเคลื่อนไหวสองครั้งติดต่อกันของลูกบอลจากโกศที่ 1 ถึงโกศที่ 2 จากที่ 2 ถึงที่ 3 และการสกัดบอลครั้งสุดท้ายจากโกศสุดท้าย - ดูงานสุดท้ายของ ไฟล์ งานเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น. และยังมีงานอื่นๆ ที่น่าสนใจอีกมากมาย

และในตอนท้ายของบทความนี้ เราจะวิเคราะห์งานที่น่าสงสัยที่สุดซึ่งฉันหลอกล่อคุณในบทเรียนแรก =) เราจะไม่วิเคราะห์มันด้วยซ้ำ แต่เราจะทำการวิจัยเชิงปฏิบัติเล็กน้อย การคำนวณในรูปแบบทั่วไปจะยุ่งยากเกินไป ลองพิจารณาตัวอย่างเฉพาะ:

Petya ทำข้อสอบทฤษฎีความน่าจะเป็น เขารู้ตั๋ว 20 ใบดีและ 10 ใบไม่ดี สมมุติว่าวันแรกในกลุ่มสอบผ่าน เช่น 16 คน รวมพระเอกของเราด้วย โดยทั่วไปสถานการณ์จะคุ้นเคยอย่างเจ็บปวด: นักเรียนทีละคนเข้าไปในหอประชุมและดึงตั๋ว

เห็นได้ชัดว่าการแยกตั๋วเป็นลำดับเป็นเหตุการณ์ต่อเนื่องกัน และมีความเร่งด่วน คำถาม: ในกรณีใด Petya มีแนวโน้มที่จะได้ตั๋วที่ "ดี" มากกว่า - ถ้าเขาไป "แถวหน้า" หรือไป "ตรงกลาง" หรือถ้าเขาดึงตั๋วจากคนสุดท้าย? ไปเที่ยว ช่วงไหนดี?

ก่อนอื่นให้พิจารณาสถานการณ์ที่ "บริสุทธิ์ในการทดลอง" ซึ่ง Petya รักษาโอกาสให้คงที่ - เขาไม่ได้รับข้อมูลเกี่ยวกับคำถามที่เพื่อนร่วมชั้นของเขาได้รับแล้วเขาไม่ศึกษาอะไรเลยในทางเดินรอเทิร์น ฯลฯ

พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้: – Petya จะเป็นคนแรกที่เข้าสู่หอประชุมและจับฉลาก "ดี" ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: .

ความน่าจะเป็นในการดึงตั๋วที่ประสบความสำเร็จจะเปลี่ยนไปอย่างไรถ้า Nastya นักเรียนที่ยอดเยี่ยมถูกข้ามไปข้างหน้า ในกรณีนี้ อาจมีสองสมมติฐานที่เข้ากันไม่ได้:

- Nastya จะดึงตั๋ว "ดี" (สำหรับ Petya)
- Nastya จะดึงตั๋วที่ "ไม่ดี" ออกมาเช่น จะเพิ่มโอกาสของ Petya

เหตุการณ์ (ปีเตอร์เข้าที่สองและดึงตั๋ว "ดี") กลายเป็น ขึ้นอยู่กับ.

1) สมมติว่า Nastya มีความเป็นไปได้ “ขโมย” ตั๋วนำโชคหนึ่งใบจาก Petya จากนั้นตั๋ว 29 ใบจะยังคงอยู่บนโต๊ะโดยที่ 19 ใบนั้น "ดี" ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:

2) ทีนี้สมมติว่า Nastya มีความเป็นไปได้ “ช่วย” Petya จากตั๋วใบที่ 1 ที่“ แย่” จากนั้นตั๋ว 29 ใบจะยังคงอยู่บนโต๊ะซึ่งยังมีตั๋ว "ดี" 20 ใบ ตามคำจำกัดความคลาสสิก:

โดยใช้ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของการเข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกัน เราคำนวณความน่าจะเป็นที่ Petya จะดึงตั๋วที่ "ดี" ออกมาเป็นอันดับสองในบรรทัด:

ความน่าจะเป็น...ยังเหมือนเดิม! ลองพิจารณาเหตุการณ์: - Petya จะไปที่สามโดยปล่อยให้ Nastya และ Lena ไปข้างหน้าและดึงตั๋วที่ "ดี" ออกมา

จะมีสมมติฐานเพิ่มเติมที่นี่: ผู้หญิงสามารถ "ปล้น" สุภาพบุรุษด้วยตั๋วดี 2 ใบ หรือในทางกลับกัน - ช่วยเขาจากตั๋วไม่ดี 2 ใบ หรือแยกตั๋ว "ดี" 1 ใบและตั๋ว "แย่" 1 ใบ หากเราใช้เหตุผลแบบเดียวกัน ให้ใช้ทฤษฎีบทเดียวกัน แล้ว ... เราจะได้ค่าความน่าจะเป็นเท่ากัน !

ดังนั้น จากมุมมองทางคณิตศาสตร์อย่างหมดจด ไม่ว่าจะต้องไปเมื่อใด ความน่าจะเป็นเริ่มต้นจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่. นี่เป็นเพียงการประมาณการทางทฤษฎีโดยเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น หาก Petya ไปต่อ ไม่ได้หมายความว่าเขาจะมีตั๋ว "ดี" และ "แย่" 5 ใบให้เลือก 10 ใบตามโอกาสเริ่มต้นของเขา อัตราส่วนนี้อาจแตกต่างกันไปในทางที่ดีขึ้นหรือแย่ลง แต่ก็ยังไม่น่าเป็นไปได้ที่จะมี "ของกำนัลฟรีหนึ่งรายการ" ในบรรดาตั๋วหรือในทางกลับกัน - "สยองขวัญทึบ" แม้ว่ากรณี "ที่ไม่ซ้ำ" จะไม่ถูกยกเว้น - อย่างไรก็ตาม ไม่มีตั๋วลอตเตอรี 3 ล้านใบที่มีโอกาสเกือบเป็นศูนย์ในการถูกรางวัลใหญ่ ดังนั้น "โชคอันเหลือเชื่อ" หรือ "ชะตากรรมที่ชั่วร้าย" จะเป็นคำพูดที่เกินจริงเกินไป แม้ว่า Petya จะรู้เพียง 3 ใบจาก 30 ใบ แต่โอกาสของเขาคือ 10% ซึ่งสูงกว่าศูนย์อย่างเห็นได้ชัด และจากประสบการณ์ส่วนตัวฉันจะบอกคุณเป็นกรณีตรงข้าม: ในการสอบใน เรขาคณิตวิเคราะห์ฉันรู้ 24 คำถามจากทั้งหมด 28 ข้อ และในตั๋วฉันก็เจอคำถาม "แย่" สองข้อ คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ด้วยตัวเอง :)

คณิตศาสตร์กับ “การทดลองล้วนๆ” นั้นดี แต่กลยุทธ์และกลวิธีใดยังทำกำไรได้มากกว่าให้ติดตาม ในสภาพจริง? แน่นอนควรพิจารณาปัจจัยส่วนตัวเช่น "ส่วนลด" ของครูสำหรับ "ผู้กล้าหาญ" หรือความเหนื่อยล้าของเขาเมื่อสิ้นสุดการสอบ บ่อยครั้งที่ปัจจัยเหล่านี้สามารถชี้ขาดได้ แต่ในการอภิปรายขั้นสุดท้าย ฉันจะพยายามไม่ลดปัจจัยด้านความน่าจะเป็นเพิ่มเติม:

หากคุณพร้อมสำหรับการสอบเป็นอย่างดี คุณควรไป "อยู่แถวหน้า" ขณะที่ตั๋วจะครบตามสมมุติฐาน " เหตุการณ์ไม่คาดฝันจะไม่เกิดขึ้นทำงานให้คุณมากขึ้น เห็นด้วยว่าการมีอัตราส่วนของ "ตั๋ว 30 ใบ" เป็นเรื่องที่น่ายินดีกว่ามาก โดย 2 ในจำนวนนั้นแย่ 2 รายการ มากกว่า "ตั๋ว 15 รายการ ซึ่ง 2 รายการไม่ดี" และความจริงที่ว่าตั๋วสองใบไม่สำเร็จ ในการสอบครั้งเดียว (และไม่เป็นไปตามการประมาณการทางทฤษฎีโดยเฉลี่ย!) ดังนั้นพวกเขาจะยังคงอยู่บนโต๊ะ - ค่อนข้างเป็นไปได้

ตอนนี้ให้พิจารณา "สถานการณ์ของ Petya" - เมื่อนักเรียนพร้อมสำหรับการสอบค่อนข้างดี แต่ในทางกลับกัน "ลอย" ก็ไม่เลวเช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง "รู้มากกว่าไม่รู้" ในกรณีนี้ แนะนำให้ปล่อยคน 5-6 คนไปข้างหน้า และรอจังหวะที่เหมาะสมนอกผู้ชม ดำเนินการตามสถานการณ์ อีกไม่นาน ข้อมูลจะเริ่มมา ตั๋วที่เพื่อนร่วมชั้นจับฉลาก (เหตุการณ์ขึ้นกับอีกครั้ง!) และคุณจะไม่เปลืองพลังงานกับคำถามที่ "เล่นมากเกินไป" อีกต่อไป - เรียนรู้และทำซ้ำตั๋วคำอื่นๆ ซึ่งจะเพิ่มความน่าจะเป็นเริ่มต้นของความสำเร็จของคุณ หาก "กลุ่มแรก" ของผู้สอบ "ช่วยคุณ" จากตั๋วที่ยาก 3-4 ใบ (สำหรับคุณเป็นการส่วนตัว) ในคราวเดียว การไปสอบโดยเร็วที่สุดจะทำกำไรได้มากกว่า - ตอนนี้โอกาสเพิ่มขึ้นอย่างมาก พยายามอย่าพลาดช่วงเวลานี้ - มีคนเพียงไม่กี่คนที่ผ่านไปและความได้เปรียบนั้นน่าจะหายไป ในทางตรงกันข้าม หากมีตั๋วที่ "แย่" อยู่ไม่กี่ใบ ให้รอ หลังจากไม่กี่คน "ความผิดปกติ" นี้มีโอกาสเกิดขึ้นได้อีกมาก หากไม่หายไป มันก็จะราบรื่นในทางที่ดีขึ้น ในกรณี "ปกติ" และกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ มีประโยชน์เช่นกัน: เลย์เอาต์ "24 ใบ / 8 ใบไม่ดี" จะดีกว่าอัตราส่วน "30 ใบ / 10 ใบ" ทำไม ตั๋วยากไม่ใช่สิบ แต่เป็นแปด! เราศึกษาวัสดุด้วยพลังงานที่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า!

ถ้าพร้อมไม่ว่าร้ายก็เข้า "แถวสุดท้าย" ดีกว่า (ทั้งๆ ที่วิธีแก้ปัญหาแบบเดิมๆ ก็เป็นไปได้ โดยเฉพาะถ้าไม่มีอะไรจะเสีย). มีโอกาสเล็กน้อยแต่ยังไม่เป็นศูนย์ที่คุณจะเหลือค่อนข้าง คำถามง่ายๆ+ ยัดเยียดเพิ่ม + เดือยให้เพื่อนนักเรียนที่ยิงกลับ =) และใช่ - ในสถานการณ์วิกฤติมากยังมีวันถัดไปเมื่อส่วนที่สองของกลุ่มสอบผ่าน ;-)

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A เมื่อเหตุการณ์ B เกิดขึ้นเรียกว่าอัตราส่วน สันนิษฐานในที่นี้ว่า

ด้วยเหตุผลอันสมเหตุสมผลสำหรับคำจำกัดความนี้ เราสังเกตว่าเมื่อมีเหตุการณ์เกิดขึ้น บีมันเริ่มมีบทบาทเป็นเหตุการณ์บางอย่าง ดังนั้นเราต้องกำหนดให้ บทบาทของเหตุการณ์ อาการเล่น เอบีจึงต้องเป็นสัดส่วน . (จากนิยามว่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนเท่ากัน)

มาแนะนำแนวคิด ความเป็นอิสระของเหตุการณ์

ซึ่งหมายความว่า: เนื่องจากเหตุการณ์เกิดขึ้น บี, ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ อาไม่ได้เปลี่ยน

โดยคำนึงถึงคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข คำจำกัดความนี้จะลดลงเป็นความสัมพันธ์ . ที่นี่ไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขอีกต่อไป . ดังนั้นเราจึงมาถึงคำจำกัดความสุดท้าย

เหตุการณ์ A และ B จะเรียกว่าเป็นอิสระถ้า P(AB)= ป(อา)พี(บี).

ความสัมพันธ์สุดท้ายมักใช้เป็นคำจำกัดความของความเป็นอิสระของสองเหตุการณ์

มีการกล่าวถึงเหตุการณ์หลายอย่างว่าเป็นอิสระร่วมกันหากความสัมพันธ์ดังกล่าวถือไว้สำหรับชุดย่อยของเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ตัวอย่างเช่น สามเหตุการณ์ A, Bและ คกล่าวได้ว่าเป็นอิสระร่วมกันหากมีความสัมพันธ์สี่ประการต่อไปนี้:

เรานำเสนองานมากมายสำหรับ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและความเป็นอิสระของเหตุการณ์และโซลูชั่นของพวกเขา

ภารกิจที่ 21จั่วไพ่หนึ่งใบจากสำรับไพ่ 36 ใบ เหตุการณ์ อา- ใบแดง บี- การ์ดเอซ พวกเขาจะเป็นอิสระหรือไม่?

การตัดสินใจ.เมื่อคำนวณตามนิยามความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกแล้ว เราจะได้สิ่งนั้น . ซึ่งหมายความว่าเหตุการณ์ อาและ บีเป็นอิสระ.

ปัญหา 22. แก้ปัญหาเดียวกันสำหรับสำรับที่นำ Queen of Spades ออก

การตัดสินใจ. . ไม่มีความเป็นอิสระ

งาน 23.คนสองคนผลัดกันโยนเหรียญ ผู้ที่มีเสื้อคลุมแขนก่อนจะเป็นผู้ชนะ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชนะสำหรับผู้เล่นทั้งสอง

การตัดสินใจ.เราสามารถสรุปได้ว่าเหตุการณ์เบื้องต้นเป็นลำดับจำกัดของรูปแบบ (0, 0, 1,…, 0, 1) . สำหรับลำดับของความยาว เหตุการณ์ระดับประถมศึกษาที่เกี่ยวข้องมีความน่าจะเป็น ผู้เล่นที่เริ่มโยนเหรียญก่อนจะเป็นผู้ชนะ ถ้าเหตุการณ์เบื้องต้นที่ประกอบด้วยศูนย์จำนวนคี่และเกิดขึ้นได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะของเขาคือ

ผลตอบแทนของผู้เล่นคนที่สองสอดคล้องกับเลขศูนย์และเลขคู่ เขาเท่าเทียมกัน

ต่อจากการแก้ปัญหาที่เกมจบลงในเวลาจำกัดด้วยความน่าจะเป็น 1 (เพราะ )

งาน 24.เพื่อทำลายสะพาน คุณต้องยิงระเบิดอย่างน้อย 2 ลูก ทิ้งระเบิด 3 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะโดนระเบิดคือ 0, 1 ตามลำดับ; 0.3; 0, 4. ค้นหาความน่าจะเป็นของการทำลายสะพาน

การตัดสินใจ.ให้เหตุการณ์ A, B, C ประกอบด้วยการตีลูกที่ 1, 2, 3 ตามลำดับ จากนั้นการทำลายสะพานจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นจริงเท่านั้นเนื่องจากเงื่อนไขในสูตรนี้ไม่เข้ากันเป็นคู่และปัจจัยในเงื่อนไขเป็นอิสระจากกันความน่าจะเป็นที่ต้องการจึงเท่ากับ

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

งาน 25.เรือบรรทุกสินค้าสองลำต้องจอดเทียบท่าที่ท่าเดียวกัน เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเรือแต่ละลำสามารถเข้าใกล้ได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันในทุกช่วงเวลาของวันที่กำหนดและต้องขนถ่ายเป็นเวลา 8 ชั่วโมง ค้นหาความน่าจะเป็นที่เรือที่มาถึงที่สองจะไม่ต้องรอจนกว่าเรือลำแรกจะทำการขนถ่ายเสร็จสิ้น

การตัดสินใจ.เราจะวัดเวลาเป็นวันและเศษส่วนของวัน จากนั้นเหตุการณ์เบื้องต้นคือจำนวนคู่ที่เติมกำลังสองหน่วย โดยที่ x-เวลามาถึงของเรือลำแรก y– เวลาที่มาถึงของเรือลำที่สอง ทุกจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีโอกาสเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ (เช่น เซตของหน่วยกำลังสอง) เท่ากับพื้นที่ของภูมิภาคที่สอดคล้องกับเหตุการณ์นี้ เหตุการณ์ อาประกอบด้วยจุดของหน่วยกำลังสองที่อสมการถืออยู่ ความไม่เท่าเทียมกันนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าเรือที่มาถึงก่อนจะมีเวลาขนถ่ายเมื่อเรือลำที่สองมาถึง เซตของจุดเหล่านี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่วกับด้าน 2/3 พื้นที่ทั้งหมดของสามเหลี่ยมเหล่านี้คือ 4/9 ดังนั้น, .

งาน 26.มีตั๋ว 34 ใบสำหรับการสอบในทฤษฎีความน่าจะเป็น นักเรียนดึงตั๋วหนึ่งใบออกจากตั๋วที่เสนอสองครั้ง (โดยไม่ส่งคืน) นักเรียนเตรียมตั๋วไว้แค่ 30 ใบเหรอ? ความน่าจะเป็นที่จะสอบผ่านครั้งแรกเป็นเท่าไหร่ "ไม่สำเร็จ" ตั๋ว?

การตัดสินใจ.การสุ่มเลือกประกอบด้วยการที่ตั๋วหนึ่งใบถูกสุ่มสองครั้งติดต่อกัน และตั๋วที่ออกในครั้งแรกจะไม่ถูกส่งคืน ให้เหตุการณ์ ที่ประกอบด้วยความจริงที่ว่าครั้งแรกที่นำออก " ไม่ประสบความสำเร็จ"ตั๋วและกิจกรรม แต่ประกอบด้วยความจริงที่ว่าที่สองถูกนำออก " ประสบความสำเร็จ" ตั๋ว. เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์ แต่และ ที่ขึ้นอยู่กับตั๋วที่เรียกในครั้งแรกจะไม่ถูกส่งคืนไปยังรายการตั๋วทั้งหมด จำเป็นต้องหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ AB.

ตามสูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ; นั่นเป็นเหตุผล

พิจารณาเหตุการณ์ อาและ บีที่เกี่ยวข้องกับประสบการณ์เดียวกัน ให้มันรู้จากบางแหล่งว่าเหตุการณ์ บีเกิดขึ้นแต่ไม่รู้ว่าผลเบื้องต้นอันใดประกอบขึ้นเป็นเหตุการณ์ บี, เกิดขึ้น. สิ่งที่สามารถพูดได้ในกรณีนี้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ อา?

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ อา, คำนวณภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์ บีเกิดขึ้น เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและแสดงว่า พี(A|B).

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข พี(A|B)เหตุการณ์ อาขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ บีภายในกรอบของโครงร่างแบบคลาสสิก เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดความน่าจะเป็นเป็นอัตราส่วน NABผลลัพธ์ที่เอื้อต่อการดำเนินกิจกรรมร่วมกัน อาและ บี, ไปยังหมายเลข NBผลลัพธ์ที่เอื้อต่อเหตุการณ์ บี, เช่น

ถ้าเราหารตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์นี้ด้วยจำนวนทั้งหมด นู๋ผลลัพธ์เบื้องต้นเราได้รับ

คำนิยาม. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ อาขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ บีเรียกว่า อัตราส่วนความน่าจะเป็นของจุดตัดของเหตุการณ์ อาและ บีต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ บี:

ในขณะเดียวกันก็ถือว่า พี(บี) ≠ 0.

ทฤษฎีบท. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข พี(A|B)มีคุณสมบัติทั้งหมดของความน่าจะเป็นไม่มีเงื่อนไข พี(เอ).

ความหมายของทฤษฎีบทนี้คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขที่ให้บนช่องว่างใหม่ Ω 1ผลลัพธ์เบื้องต้นที่สอดคล้องกับเหตุการณ์ บี.

ตัวอย่าง. จากโกศที่ a=7ทรายขาว b=3ลูกบอลสีดำ สุ่มจับสองลูกโดยไม่มีการทดแทน ให้เหตุการณ์ A 1คือลูกแรกที่จั่วออกมาจะเป็นสีขาว และ A2- ลูกที่สองเป็นสีขาว อยากเจอ พี(A 2 |A 1).

วิธีที่ 1. ตามคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

วิธีที่ 2. ไปที่พื้นที่ใหม่ของผลลัพธ์เบื้องต้น Ω 1. ตั้งแต่เหตุการณ์ A 1เกิดขึ้น นี่หมายความว่าในพื้นที่ใหม่ของผลลัพธ์เบื้องต้น จำนวนรวมของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน NΩ 1 =a+b-1=9และเหตุการณ์ A2ชอบมัน ไม่มี 2 \u003d a-1 \u003d 6ผลลัพธ์ เพราะฉะนั้น,

ทฤษฎีบท [การคูณความน่าจะเป็น]. ให้เหตุการณ์ A=A 1 A 2 …A nและ P(A)>0. ความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง:

P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).

ความคิดเห็น. จากสมบัติการสับเปลี่ยนของทางแยก เราสามารถเขียน

P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)

P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).

ตัวอย่าง. ตัวอักษรที่สร้างคำว่า "NIGHTINGALE" เขียนบนการ์ด 7 ใบ ไพ่จะถูกสับและไพ่สามใบจะถูกสุ่มออกจากไพ่และวางจากซ้ายไปขวา หาความน่าจะเป็นที่จะได้คำว่า VOL (เหตุการณ์ อา).

ให้เหตุการณ์ A 1- ตัวอักษร "B" เขียนอยู่บนการ์ดใบแรก A2- ตัวอักษร "O" เขียนบนการ์ดใบที่สอง A2- บนไพ่ใบที่สาม - ตัวอักษร "L" แล้วเหตุการณ์ อา- จุดตัดของเหตุการณ์ A 1, A2, A 3. เพราะฉะนั้น,

P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).

P(A1)=1/7; ถ้าเหตุการณ์ A 1เกิดขึ้นจากนั้นในไพ่ 6 ใบที่เหลือ “O” เกิดขึ้นสองครั้งซึ่งหมายความว่า P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. เช่นเดียวกัน, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. เพราะฉะนั้น,

คำนิยาม. เหตุการณ์ อาและ บีโดยมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข อาเนื่องจาก บีตรงกับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข อาหรือถ้าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข บีเนื่องจาก อาตรงกับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไข บี, เช่น

P(A|B) = P(A)หรือ P(B|A) = P(B),

มิฉะนั้นเหตุการณ์ อาและ บีเรียกว่าพึ่ง

ทฤษฎีบท. เหตุการณ์ อาและ บีซึ่งมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ จะเป็นอิสระก็ต่อเมื่อ

P(AB) = P(A) P(B).

ดังนั้น เราสามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันได้:

คำนิยาม. เหตุการณ์ อาและ บีเรียกว่าอิสระถ้า P(AB) = P(A) P(B).

ตัวอย่าง. จากสำรับไพ่ที่มี n=36การ์ด ไพ่หนึ่งใบจะถูกสุ่มจับ แสดงโดย อาเหตุการณ์ที่สอดคล้องกับความจริงที่ว่าแผนที่ที่แยกออกมาจะเป็นจุดสูงสุดและ บี- เหตุการณ์ที่สอดคล้องกับการปรากฏตัวของ "ผู้หญิง" ตรวจสอบว่าเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับหรือไม่ อาและ บี.

P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, . ดังนั้นเหตุการณ์ อาและ บีเป็นอิสระ. เช่นเดียวกัน, .

คำจำกัดความ 1 เหตุการณ์ A ถูกเรียกขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ B ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นหรือไม่ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น โดยที่เหตุการณ์ B เกิดขึ้น จะแสดงและเรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ เหตุการณ์ A จัดให้ B.

ตัวอย่างที่ 1 โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 3 ลูกและลูกสีดำ 2 ลูก ลูกบอลหนึ่งลูกถูกนำออกจากโกศ (ลูกแรกดึงออกมา) และลูกที่สอง (ลูกที่สองดึงออกมา) เหตุการณ์ B - การปรากฏตัวของลูกบอลสีขาวในการจับฉลากครั้งแรก เหตุการณ์ A - การปรากฏตัวของลูกบอลสีขาวในระหว่างการจับฉลากครั้งที่สอง

แน่นอน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากเกิดเหตุการณ์ B จะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A โดยที่เหตุการณ์ B ไม่เกิดขึ้น (ลูกบอลสีดำปรากฏขึ้นที่การจับฉลากครั้งแรก) จะเป็น

เราเห็นว่า

ทฤษฎีบทที่ 1 ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสองเหตุการณ์นั้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของหนึ่งในนั้นโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของวินาทีซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เหตุการณ์แรกเกิดขึ้นเช่น

การพิสูจน์. เราจะให้ข้อพิสูจน์สำหรับเหตุการณ์ที่ลดขนาดลงเป็นโครงร่างของโกศ (นั่นคือในกรณีที่ใช้คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก)

ให้มีลูกในโกศในขณะที่สีขาวดำ สมมติว่าในบรรดาลูกบอลสีขาวเป็นลูกบอลที่มีเครื่องหมายดอกจัน ส่วนที่เหลือเป็นสีขาวบริสุทธิ์ (รูปที่ 408)

หนึ่งลูกถูกพรากไปจากโกศ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่วาดลูกบอลสีขาวที่มีเครื่องหมายดอกจันเป็นเท่าใด

ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่มีลักษณะเป็นลูก A (ลูกบอลสีขาว) A เป็นเหตุการณ์ที่มีลักษณะเป็นลูกกลมที่มีเครื่องหมายดอกจัน แน่นอน

ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้นพร้อมกับ "เครื่องหมายดอกจัน" โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้น

ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้นพร้อมเครื่องหมายดอกจันคือ P(A และ B) อย่างชัดเจน,

แทนที่ด้วย (5) ส่วนด้านซ้ายของนิพจน์ (2), (3) และ (4) เราได้รับ

ความเท่าเทียมกัน (1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

หากเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาไม่เข้ากับโครงร่างแบบคลาสสิก สูตร (1) จะทำหน้าที่กำหนดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข กล่าวคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A ภายใต้เงื่อนไขที่เหตุการณ์ B เกิดขึ้น ถูกกำหนดโดยใช้

หมายเหตุ 1. ลองใช้สูตรสุดท้ายกับนิพจน์:

ในความเท่าเทียมกัน (1) และ (6) ส่วนด้านซ้ายเท่ากัน เนื่องจากนี่คือความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้น ส่วนที่ถูกต้องจึงเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้

ตัวอย่างที่ 2 สำหรับกรณีของตัวอย่างที่ 1 ในตอนต้นของย่อหน้านี้ เรามี โดยสูตร (1) เราจะได้ความน่าจะเป็น P(A และ B) สามารถคำนวณได้ง่ายโดยตรง

ตัวอย่างที่ 3 ความน่าจะเป็นในการผลิตผลิตภัณฑ์ที่เหมาะสมโดยเครื่องนี้คือ 0.9 ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของผลิตภัณฑ์เกรด 1 ในกลุ่มผลิตภัณฑ์ที่ดีคือ 0.8 กำหนดความน่าจะเป็นในการผลิตผลิตภัณฑ์เกรด 1 ด้วยเครื่องนี้

การตัดสินใจ. เหตุการณ์ B - การผลิตผลิตภัณฑ์ที่เหมาะสมโดยเครื่องนี้ เหตุการณ์ A - การปรากฏตัวของผลิตภัณฑ์เกรด 1 ที่นี่แทนสูตร (1) เราได้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ทฤษฎีบทที่ 2 หากเหตุการณ์ A สามารถรับรู้ได้ก็ต่อเมื่อเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จะถูกคำนวณโดยสูตร

สูตร (8) เรียกว่าสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด การพิสูจน์. เหตุการณ์ A สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อมีการดำเนินการเหตุการณ์ที่รวมกันใด ๆ

ดังนั้น โดยทฤษฎีบทการบวก จะได้

แทนที่เงื่อนไขทางด้านขวาตามสูตร (1) เราได้รับความเท่าเทียมกัน (8)

ตัวอย่างที่ 4 ยิงสามนัดติดต่อกันไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นของการยิงครั้งแรกในนัดที่สองในนัดที่สาม โดยการยิงหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงสองครั้ง โดยการยิงสามครั้ง กำหนดความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงสามนัด (เหตุการณ์ A)