Ciljevi:
- Opšte obrazovanje: sistematizovati, generalizovati, proširiti znanja i veštine učenika u vezi sa primenom metoda za rešavanje nejednakosti.
- Razvijanje: razviti kod učenika sposobnost da slušaju predavanje, sažeto ga zapisuju u svesku.
- Obrazovni: formirati kognitivnu motivaciju za učenje matematike.
Tokom nastave
I. Uvodni razgovor:
Završili smo temu “Rješavanje iracionalnih jednačina” i danas počinjemo da učimo kako rješavati iracionalne nejednačine.
Prvo, prisjetimo se koje vrste nejednakosti možete riješiti i kojim metodama?
Odgovori: Linearni, kvadratni, racionalni, trigonometrijski. Linearne se rješavaju na osnovu svojstava nejednačina, trigonometrijske se svode na najjednostavnije trigonometrijske koje se rješavaju pomoću trigonometrijskog kruga, a ostale, uglavnom, metodom intervala.
Pitanje: Na kom iskazu se zasniva metoda intervala?
Odgovori: O teoremi koja kaže da kontinuirana funkcija koja ne nestaje na nekom intervalu zadržava svoj predznak na tom intervalu.
II. Razmotrimo iracionalnu nejednakost kao što je >
Pitanje: Da li je moguće primijeniti intervalnu metodu da se to riješi?
Odgovori: Da, od funkcije y=- kontinuirano D(y).
Rješavamo ovu nejednakost intervalna metoda .
Zaključak: ovu iracionalnu nejednačinu smo prilično lako riješili metodom intervala, zapravo svevši je na rješavanje iracionalne jednadžbe.
Pokušajmo ovom metodom riješiti još jednu nejednakost.
3)f(x) kontinuirano uključeno D(f)
4) Nule funkcije:
- Duga pretraga D(f).
- Teško je izračunati prelomne tačke.
Postavlja se pitanje: “Postoje li drugi načini za rješavanje ove nejednakosti?”.
Očigledno ima, a sada ćemo ih upoznati.
III. dakle, tema današnji lekcija: "Metode rješavanja iracionalnih nejednakosti."
Nastava će se održati u formi predavanja, budući da udžbenik ne sadrži detaljnu analizu svih metoda. Stoga je naš važan zadatak da sačinimo detaljan sažetak ovog predavanja.
IV. Već smo govorili o prvoj metodi za rješavanje iracionalnih nejednakosti.
To - intervalna metoda , univerzalna metoda za rješavanje svih vrsta nejednačina. Ali ne vodi uvijek do cilja na kratak i jednostavan način.
v. Prilikom rješavanja iracionalnih nejednačina možete koristiti iste ideje kao i kod rješavanja iracionalnih jednadžbi, ali kako je jednostavna provjera rješenja nemoguća (na kraju krajeva, rješenja nejednačina su najčešće cjelobrojni numerički intervali), potrebno je koristiti ekvivalentnost.
Predstavljamo šeme za rješavanje glavnih tipova iracionalnih nejednakosti metoda ekvivalentnih prelaza od jedne nejednakosti do sistema nejednakosti.
2. Slično se dokazuje da
Napišimo ove dijagrame na referentnoj ploči. Razmislite o dokazima tipa 3 i 4 kod kuće, o njima ćemo razgovarati u sljedećoj lekciji.
VI. Hajde da riješimo nejednakost na novi način.
Originalna nejednakost je ekvivalentna skupu sistema.
VII. A postoji i treća metoda koja često pomaže u rješavanju složenih iracionalnih nejednakosti. Već smo govorili o tome u vezi sa nejednakostima sa modulom. to metoda zamjene funkcije (zamjena množitelja). Da vas podsjetim da je suština metode zamjene da se razlika u vrijednostima monotonih funkcija može zamijeniti razlikom u vrijednostima njihovih argumenata.
Razmotrite iracionalnu nejednakost oblika<,
to je -< 0.
Po teoriji, ako p(x) povećava na nekom intervalu kojem pripadaju a i b, i a>b, zatim nejednakosti p(a) – p(b) > 0 i a-b> 0 je ekvivalentno D(p), to je
VIII. Nejednakost rješavamo metodom promjenjivih faktora.
Dakle, ova nejednakost je ekvivalentna sistemu
Dakle, vidjeli smo da korištenje metode zamjene faktora za svođenje rješenja nejednačine na metodu intervala značajno smanjuje količinu rada.
IX. Sada kada smo pokrili tri osnovne metode za rješavanje jednačina, hajde da uradimo samostalan rad sa samopregledom.
Potrebno je izvršiti sljedeće brojeve (prema udžbeniku A. M. Mordkovich): 1790 (a) - riješiti_ metodom_ ekvivalentnih prijelaza,_ 1791 (a) - riješiti metodom zamjene faktora. Za rješavanje iracionalnih nejednakosti, predlaže se korištenje metoda koje su prethodno analizirane prilikom rješavanja iracionalnih jednačina:
- promjena varijabli;
- korištenje ODZ-a;
- korištenje svojstava monotonosti funkcija.
Završetak proučavanja teme je test.
Analiza kontrolnog rada pokazuje:
- tipične greške slabih učenika, pored aritmetičkih i algebarskih, su netačni ekvivalentni prelazi u sistem nejednačina;
- metodu zamjene faktora uspješno koriste samo jaki učenici.
Poziva se svaka nejednakost, koja uključuje funkciju ispod korijena iracionalno. Postoje dvije vrste takvih nejednakosti:
U prvom slučaju, korijen je manji od funkcije g (x), u drugom - više. Ako je g(x) - konstantan, nejednakost se dramatično pojednostavljuje. Imajte na umu da su ove nejednakosti spolja vrlo slične, ali su njihove sheme rješenja bitno različite.
Danas ćemo naučiti kako riješiti iracionalne nejednakosti prvog tipa - one su najjednostavnije i najrazumljivije. Znak nejednakosti može biti strog ili nestrog. Za njih je tačna sljedeća izjava:
Teorema. Svaka iracionalna nejednakost oblika
Ekvivalentno sistemu nejednakosti:
Nije slab? Pogledajmo odakle dolazi takav sistem:
- f (x) ≤ g 2 (x) - ovdje je sve jasno. Ovo je izvorna nejednakost na kvadrat;
- f(x) ≥ 0 je ODZ korijena. Da vas podsjetim: aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativan brojevi;
- g(x) ≥ 0 je raspon korijena. Kvadriranjem nejednakosti spaljujemo minuse. Kao rezultat, mogu se pojaviti dodatni korijeni. Nejednakost g (x) ≥ 0 ih odsijeca.
Mnogi studenti "kreću u ciklusima" na prvoj nejednakosti sistema: f (x) ≤ g 2 (x) - i potpuno zaboravljaju druge dvije. Rezultat je predvidljiv: pogrešna odluka, izgubljeni bodovi.
Kako su iracionalne nejednakosti prilično komplikovana tema, analizirajmo 4 primjera odjednom. Od elementarnog do zaista složenog. Svi zadaci se polažu sa prijemnih ispita Moskovskog državnog univerziteta. M. V. Lomonosov.
Primjeri rješavanja problema
Zadatak. Riješite nejednačinu:
Imamo klasiku iracionalna nejednakost: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 je konstanta. Imamo:
Do kraja rješenja ostale su samo dvije od tri nejednačine. Jer nejednakost 2 ≥ 0 uvijek vrijedi. Presijecimo preostale nejednačine:
Dakle, x ∈ [−1,5; 0,5]. Sve tačke su zasjenjene jer nejednakosti nisu stroge.
Zadatak. Riješite nejednačinu:
Primjenjujemo teoremu:
Rješavamo prvu nejednačinu. Da bismo to učinili, otvorit ćemo kvadrat razlike. Imamo:
2x 2 − 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Sada riješimo drugu nejednačinu. I tamo kvadratni trinom:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
