Магадлалын онол, математик статистикийн бүх теорем, томьёо нь магадлалын онолын аксиомуудаас гаралтай. Энэ бүлэгт нөхцөлт магадлалыг тодорхойлж, нөхцөлт магадлалд суурилсан хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг теоремууд болон томьёог нотолсон болно. Үйл явдлын хараат бус байдлын тухай ойлголтыг танилцуулж, дараа нь бие даасан туршилтын схемд ашигладаг бөгөөд Марковын схемийн хамаарал бүхий туршилтын тайлбарыг өгсөн болно.
НӨХЦӨТ МАГААЛ
§ 1.1-д нөхцөлт магадлалын томъёог сонгодог схемд зориулж гаргасан. Ерөнхий тохиолдолд энэ томьёо нь үйл явдлын нөхцөлт магадлалын тодорхойлолт болдог ГЭХДЭЭүйл явдал болсон гэж үзвэл AT, P(B) > 0.
Тодорхойлолт 2.1.Үйл явдлын нөхцөлт магадлал ГЭХДЭЭүүнийг өгсөн AT
Тодорхойлолт 2.2.Үйл явдал ГЭХДЭЭүйл явдлаас хамаарахгүй AT,хэрэв
Үйл явдлын бие даасан байдал нь харилцан хамааралтай, i.e. үйл явдал бол ГЭХДЭЭ-аас хамаарахгүй AT,дараа нь үйл явдал AT-аас хамаарахгүй ГЭХДЭЭ.Үнэн хэрэгтээ 2.1 ба 2.2-ын тодорхойлолтыг ашиглан P(A) > 0 бидэнд байна:
Тодорхойлолт 2.1 нь магадлалыг үржүүлэх дараах томъёог илэрхийлнэ.
Бие даасан үйл явдлуудын хувьд үйл явдал үүсэх магадлал нь тэдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Тодорхойлолт 2.3.Үйл явдал А, А 2 ,..., ГЭХДЭЭ"Хэрэв тэдгээр нь хосоороо үл нийцэж, хамтдаа найдвартай үйл явдлыг бүрдүүлдэг бол үйл явдлын бүрэн бүлэг үүсгэх, i.e. 
Дараах нийт магадлалын теоремыг баримтална.
Теорем 2.1.Хэрэв үйл явдлууд А ба ..., A„, P(A)> 0 нь үйл явдлын бүрэн бүлэг, дараа нь үйл явдлын магадлалыг үүсгэдэг ATБүрэн бүлгийн үйл явдлын болзолгүй магадлал ба үйл явдлын нөхцөлт магадлалын үржвэрийн нийлбэрээр илэрхийлж болно. AT:
Бүтэн бүлгийн арга хэмжээ ГЭХДЭЭ" ..., ГЭХДЭЭ"хосоороо таарахгүй тул үйл явдалтай тэдгээрийн бүтээгдэхүүн (уулзвар) нь хосоороо таарахгүй байна. AT,тэдгээр. үйл явдал ATП А/, Б P L, цагт i Ф jнийцэхгүй. Үйл явдлаас хойш ATхэлбэрээр төлөөлж болно
дараа нь, үйл явдлын энэ задралд хэрэглэх ATМагадлалыг нэмэх аксиом бидэнд: 
Магадлалыг үржүүлэх томъёог (2.1.1) нэр томъёо тус бүрээр ашигласнаар бид эцэст нь дараахь зүйлийг олж авна.
А үйл явдлуудын бүрэн бүлэг үйл явдлуудыг бүрдүүлнэ гэсэн шаардлагыг сул үйл явдлуудаар сольж болно: хос хосолсон үйл явдлууд
гэхдээ огтолж болохгүй Bcz^A rҮүнээс гадна тоолох аксиом дээр үндэслэсэн
Аддитивт байдлын хувьд нийт магадлалын теоремыг мөн хосоор салангид үйл явдлын тоолж болох олонлогт өргөтгөж болно. ГЭХДЭЭ,-,
P(A,)> 0, tfcQ/l, :
Нийт магадлалын томъёоноос (2.1.3) Байесийн томъёог олж авахад хялбар байдаг: үйл явдлын хувьд ATхамт P(B)> 0 ба системийн хувьд хосоороо таарахгүй
үйл явдлын хийсвэр A „ P(A,) > 0, BcJ A,.,
Үнэн хэрэгтээ нөхцөлт магадлал ба магадлалыг үржүүлэх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
одоо үйл явдлын магадлалыг орлуулж байна ATнийт магадлалын томъёог ашиглан бид томъёог (2.1.5) авна.
Магадлал P(A,)үйл явдал Тэгээд, гэж нэрлэдэг өмнөх магадлал,тэдгээр. туршилтын өмнөх үйл явдлын магадлал, эдгээр үйл явдлын нөхцөлт магадлал P(A,!B) - a posterioriтэдгээр. туршлага, үр дүн нь үйл явдлын гадаад төрх байдлын үр дүнд тодруулсан AT.
Жишээ 2.1.Томъёогоор тооцоолохболонбүрэн магадлал ба Bayesian
Тус компани нь тодорхой төрлийн бүтээгдэхүүнийг гурван үйлдвэрлэлийн шугамаар үйлдвэрлэдэг. Эхний шугам нь нийт үйлдвэрлэлийнхээ 20%, хоёр дахь нь 30%, гурав дахь нь 50% -ийг үйлдвэрлэдэг. Мөр бүр нь бүтээгдэхүүний хадгалах хугацааны дараах хувиар тодорхойлогддог: 95, 98, 97%. Аж ахуйн нэгжийн үйлдвэрлэсэн санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн нь гэмтэлтэй байх магадлал, түүнчлэн энэ гэмтэлтэй бүтээгдэхүүнийг нэг, хоёр, гуравдугаар мөрөнд хийсэн байх магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай.
Шийдвэр.-ээр тэмдэглээрэй A „ L 2, A)санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүнийг эхний, хоёр, гурав дахь мөрөнд тус тус үйлдвэрлэсэн үйл явдлууд. Асуудлын нөхцлийн дагуу П(А,) = 0,2; P(A 2) = 0,3; P(A)) = 0.5 бөгөөд эдгээр үйл явдлууд нь хосоороо үл нийцэх тул үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг. П(А,) + R(L 2) + П(Л 3) = 1.
-ээр тэмдэглээрэй ATсанамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн гэмтэлтэй болох үйл явдал. Асуудлын нөхцлийн дагуу P(B/A t) = = 0,05; P (B / A 2) \u003d 0,02; P (B / A 3) \u003d 0,03.
тэдгээр. Санамсаргүй байдлаар сонгосон бүтээгдэхүүн гэмтэлтэй байх магадлал 3.1% байна.
Эхний, хоёр, гурав дахь мөрөнд санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүнийг хийсэн байх априори магадлал нь 0.2; 0.3 ба 0.5.
Туршилтын үр дүнд санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүн гэмтэлтэй болсон гэж үзье; Энэ бүтээгдэхүүнийг эхний, хоёр, гурав дахь мөрөнд үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг одоо тогтооцгооё. Бэйсийн томъёоны дагуу бид:
Тиймээс, санамсаргүй байдлаар авсан бүтээгдэхүүнийг эхний, хоёр, гуравдугаар мөрөнд гэмтэлтэй байх магадлал 0.322-той тэнцүү байна; 0.194; 0.484.
Магадлалыг үржүүлэх томъёо (2.1.1) нь дурын төгсгөлтэй тооны үйл явдлын тохиолдлыг өргөтгөж болно.
Тодорхойлолт 2.4.Үйл явдал A b A 2, ..., ГЭХДЭЭ"аль нэг дэд бүлгийн хувьд харилцан бие даасан байна
Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол зөвхөн k = 2, дараа нь үйл явдлууд нь хоёр бие даасан байна.
Хамтын бие даасан байдал нь хос бие даасан байдлыг илэрхийлдэг боловч хос бие даасан байдал нь хамтын бие даасан байдлыг илэрхийлдэггүй.
Бид мөн бие даасан үйл явдлуудтай холбоотой ердийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан бөгөөд одоо илүү сонирхолтой үргэлжлэл гарах бөгөөд энэ нь зөвхөн эзэмших боломжийг олгоно. шинэ материал, гэхдээ бас, магадгүй, практик өдөр тутмын тусламж үзүүлэх болно.
Үйл явдлын хараат бус байдал гэж юу болохыг товчхон давтан хэлье: үйл явдлууд ба тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал бол бие даасан байна. хамаарахгүйөөр үйл явдал тохиолдсон эсвэл болоогүйгээс. Хамгийн энгийн жишээ- Хоёр зоос шидэж байна. Нэг зоос дээр толгой эсвэл сүүл авах магадлал нь өөр зоос шидсэн үр дүнгээс хамаардаггүй.
Үйл явдлын хараат байдлын тухай ойлголт танд бас танил болсон тул тэдгээрийг шийдвэрлэх ээлж ирлээ.
Эхлээд хоёр үйл явдлын уламжлалт багцыг авч үзье: үйл явдал юм хамааралтай хэрэв санамсаргүй хүчин зүйлээс гадна түүний магадлал нь тухайн үйл явдал тохиолдох, эс тохиолдохоос хамаарна. Үйл явдал болох гэж тооцсон үйл явдлын магадлал аль хэдийн болсон, гэж нэрлэдэг нөхцөлт магадлал үйл явдал тохиолдох ба -аар тэмдэглэгдсэн байна. Үүний зэрэгцээ үйл явдлуудыг дууддаг хамааралтай үйл явдлууд (хэдийгээр хатуухан хэлэхэд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь л хамааралтай).
Гарт байгаа картууд:
Даалгавар 1
36 картын тавцангаас 2 хөзрийг дараалан сугалж авна. Хэрэв өмнө нь дараах тохиолдолд хоёр дахь карт нь зүрх байх магадлалыг ол.
a) өтийг устгасан;
б) өөр костюмны картыг зурсан.
Шийдвэр: үйл явдлыг авч үзье: - хоёр дахь карт нь зүрх байх болно. Энэ үйл явдлын магадлал нь өтийг урьд нь зурсан эсэхээс хамаарах нь тодорхой юм.
a) Хэрэв зүрхийг анх зурсан бол (үйл явдал) тавцан дээр 35 карт үлдсэн бөгөөд одоо зүрхний костюмны 8 карт байна. By сонгодог тодорхойлолт:
үүнийг өгсөнтүүнээс өмнө өтийг бас устгасан гэж.
б) Хэрэв эхлээд өөр костюмтай карт (үйл явдал) зурсан бол бүх 9 зүрх нь тавцан дээр үлдсэн. By сонгодог тодорхойлолт:
хоёр дахь карт нь зүрх байх магадлал юм үүнийг өгсөнӨмнө нь өөр хувцасны картыг зурж байсан.
Бүх зүйл логик юм - хэрэв бүтэн тавцангаас зүрх сэтгэлийг зурах магадлал байвал 
, дараа нь дараагийн картыг зурах үед ижил магадлал өөрчлөгдөх болно: эхний тохиолдолд энэ нь буурах болно 
(учир нь зүрх цөөн байдаг), хоёрдугаарт энэ нь нэмэгдэх болно: 
(Учир нь бүх зүрхүүд тавцан дээр үлдсэн).
Хариулах:
Мэдээжийн хэрэг, хамааралтай үйл явдлууд илүү их байж болно. Даалгавар дуусаагүй байхад нэг зүйлийг нэмж хэлье: - гурав дахь карт нь өтийг гаргаж авах болно. Үйл явдал болсон гэж бодъё, дараа нь үйл явдал; Дараа нь тавцан дээр 34 карт, түүний дотор 7 зүрх үлдсэн байв. By сонгодог тодорхойлолт:
- үйл явдал болох магадлал үүнийг өгсөнӨмнө нь хоёр зүрхийг гаргаж авсан.
Өөрийгөө сургахад:
Даалгавар 2
Дугтуйнд 10 ширхэг сугалааны тасалбар багтсан бөгөөд 3 нь азтан. Тасалбарыг дугтуйнаас нь дараалан гаргаж авдаг. Магадлалыг ол:
а) 2 дахь сугалааны тасалбар нь 1 дэх нь хожсон тасалбар байх болно;
б) өмнөх хоёр тасалбар хожсон бол 3 дахь нь хожно;
в) Өмнөх тасалбарууд хожсон бол 4 дэх нь хожих болно.
Хичээлийн төгсгөлд тайлбар бүхий богино шийдэл.
Одоо нэг үндсэн чухал зүйлд анхаарлаа хандуулъя: авч үзсэн жишээнүүдэд зөвхөн нөхцөлт магадлалыг олох шаардлагатай байсан. өмнөх үйл явдлууд найдвартай болсон гэж үзсэн. Гэвч үнэн хэрэгтээ тэд бас санамсаргүй юм! Тиймээс, "дулаацуулсан" даалгаварт зүрхийг бүтэн тавцангаас гаргаж авах нь санамсаргүй үйл явдал бөгөөд магадлал нь -тэй тэнцүү байна.
Практикт магадлалыг олоход илүү их шаардлагатай байдаг хамтарсан дүр төрххамааралтай үйл явдлууд. Жишээлбэл, бүрэн тавцангаас бүрдэх үйл явдлын магадлалыг хэрхэн олох вэ болноөт гаргаж авсан болонтэгээд өөр өт үү? Энэ асуултын хариулт нь
хамааралтай үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем: хоёр хамааралтай үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эхний үйл явдал аль хэдийн болсон гэж тооцож, тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлалын нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
Манай тохиолдолд:
- бүтэн тавцангаас дараалан 2 зүрх зурах магадлал.
Үүнтэй адилаар:
Энэ нь өөр костюмны картыг түрүүлж авах магадлал юм болондараа нь өт.
Үйл явдлын магадлал нь үйл явдлын магадлалаас мэдэгдэхүйц их байсан бөгөөд энэ нь ерөнхийдөө ямар ч тооцоогүйгээр илт харагдаж байв.
Мэдээжийн хэрэг, арван сугалааны тасалбар бүхий дугтуйнаас онцгой найдвар хүлээх шаардлагагүй (Даалгавар 2)Та 3 хожсон тасалбарыг дараалан сугалаа:
Гэсэн хэдий ч энэ нь өгөөмөр боломж хэвээр байна.
Тийм ээ, туйлын зөв - хамааралтай үйл явдлуудын магадлалыг үржүүлэх теорем нь тэдний илүү олон тоогоор дамждаг.
Бид материалыг хэд хэдэн ердийн жишээгээр засдаг:
Даалгавар 3
Нэг саванд 4 цагаан, 7 хар бөмбөлөг байдаг. Хоёр бөмбөгийг буцаахгүйгээр ар араас нь санамсаргүй байдлаар зурдаг. Магадлалыг ол:
a) бөмбөг хоёулаа цагаан өнгөтэй болно;
б) бөмбөг хоёулаа хар өнгөтэй болно;
в) эхлээд цагаан бөмбөг, дараа нь хар бөмбөг зурна.
"Тэднийг буцааж өгөхгүй" гэсэн тодотголыг анхаарч үзээрэй. Энэхүү тайлбар нь үйл явдлуудаас хамааралтай болохыг улам тодотгож байна. Үнэхээр олборлосон бөмбөгийг буцааж өгвөл яах вэ? Буцаж түүвэрлэлтийн хувьд хар, цагаан бөмбөг зурах магадлал өөрчлөгдөхгүй бөгөөд ийм асуудалд аль хэдийн удирдан чиглүүлэх хэрэгтэй. бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теорем.
Шийдвэр: саванд байгаа нийт: 4 + 7 = 11 бөмбөг. Явах:
a) Үйл явдлыг авч үзье - эхний бөмбөг цагаан байх болно, - хоёр дахь бөмбөг цагаан байх ба 1-р бөмбөг цагаан өнгөтэй байх үйл явдлын магадлалыг ол. болон 2 дахь цагаан.
Магадлалын сонгодог тодорхойлолтоор: . Цагаан бөмбөлгийг зурсан гэж бодъё, дараа нь саванд 10 бөмбөг байх бөгөөд 3 нь цагаан өнгөтэй байна.
Өмнө нь цагаан бөмбөг зурсан тохиолдолд 2 дахь туршилтанд цагаан бөмбөг зурах магадлал юм.
Энэ нь хоёр бөмбөг цагаан байх магадлал юм.
б) 1-р бөмбөг хар өнгөтэй болох үйл явдлын магадлалыг ол болон 2 дахь хар
Сонгодог тодорхойлолтоор: - 1-р туршилтанд хар бөмбөг сугалах магадлал. Хар бөмбөгийг гаргаж авбал саванд 10 бөмбөг үлдэх бөгөөд тэдгээрийн 6 нь хар өнгөтэй байна. 
Өмнө нь хар бөмбөг зурсан тохиолдолд 2 дахь туршилтанд хар бөмбөг сугалах магадлал юм.
Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу: 
Энэ нь хоёр бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлал юм.
в) Үйл явдлын магадлалыг ол (эхлээд цагаан бөмбөг гаргана болондараа нь хар)
Цагаан бөмбөлөг зурсны дараа (магадлалтай) саванд 10 бөмбөг үлдэх бөгөөд тэдгээрийн 3 нь цагаан, 7 нь хар, иймээс: - цагаан бөмбөг байх тохиолдолд 2-р сорилд хар бөмбөг зурах магадлал. өмнө зурсан.
Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу: 
нь хүссэн магадлал юм.
Хариулах: 
Энэ асуудлыг ашиглан хялбархан шалгаж болно бүрэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем. Үүнийг хийхийн тулд бид 4 дэх алга болсон үйл явдлын магадлалыг олно. 
– хар бөмбөг эхлээд сугалж авна болондараа нь цагаан.
Үйл явдал 
бүрэн бүлэг үүсгэх тул тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой.
, үүнийг шалгах ёстой байсан.
Би тэр даруй танилцуулсан материалыг хэр сайн сурсанаа шалгахыг санал болгож байна.
Даалгавар 4
36 хөзрийн тавцангаас дараалан хоёр хөзөр сугалах магадлал хэд вэ?
Даалгавар 5
Нэг саванд 6 хар, 5 улаан, 4 цагаан бөмбөлөг байдаг. Гурван бөмбөгийг дараалан зурдаг. Ийм магадлалыг ол
a) хэрэв өмнө нь хар, улаан бөмбөг зурсан бол гурав дахь бөмбөг цагаан өнгөтэй болно;
б) эхний бөмбөг хар, хоёр дахь нь улаан, гурав дахь нь цагаан өнгөтэй байна.
Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.
Хэлэлцэж буй олон асуудлыг өөр аргаар шийдвэрлэх боломжтой гэж хэлэх ёстой, гэхдээ төөрөгдөл гаргахгүйн тулд би энэ талаар огт дуугүй байх болно.
Тодорхой гинжин хэлхээг хийх үед хамааралтай үйл явдлууд тохиолддогийг хүн бүр анзаарсан байх. Гэсэн хэдий ч үйлдлүүдийн дараалал нь үйл явдлын хамаарлыг баталгаажуулдаггүй. Жишээлбэл, оюутан зарим тестийн асуултуудад санамсаргүй байдлаар хариулдаг - эдгээр үйл явдлууд ар араасаа тохиолддог боловч нэг асуултын хариултыг мэдэхгүй байх нь бусад хариултыг мэдэхгүйгээс ямар ч байдлаар хамаардаггүй =) Хэдийгээр мэдээжийн хэрэг, тэнд Энд хээнүүд байна =) Тэгвэл энэ бол зоосыг дахин шидэх энгийн жишээ юм сэтгэл татам үйл явцҮүнийг бүр ингэж нэрлэдэг: давтан БИЕ ДААГҮЙ тестүүд.
Би энэ мөчийг хойшлуулж, олон янзын жишээ авахын тулд чадах бүхнээ хийсэн, гэхдээ даалгавар бол бие даасан үйл явдлын үржүүлэх теоремБуудагчид хариуцаж байгаа бол энд бөмбөгтэй ургамлууд жинхэнэ дайралт болж байна =) Тиймээс явах газар байхгүй - дахин урна:
Даалгавар 6
6 цагаан, 4 хар бөмбөлөг агуулсан савнаас санамсаргүй байдлаар нэг нэгээр нь гурван бөмбөг сугалав. Магадлалыг ол:
a) бүх гурван бөмбөг хар өнгөтэй болно;
б) дор хаяж хоёр хар бөмбөг байх болно.
Шийдвэр:нийт: 6 + 4 = саванд байгаа 10 бөмбөг.
Энэ асуудалд хэтэрхий олон үйл явдал тохиолдох бөгөөд үүнтэй холбогдуулан зөвхөн гол үйл явдлуудыг том латин үсгээр тэмдэглэсэн холимог дизайны хэв маягийг ашиглах нь илүү тохиромжтой юм. Та нөхцөлт магадлалыг хэрхэн тооцдогийг аль хэдийн ойлгосон байх гэж найдаж байна.
a) Үйл явдлыг авч үзье: - гурван бөмбөг бүгд хар өнгөтэй болно.
Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу: 
б) Хоёр дахь цэг нь илүү сонирхолтой, үйл явдлыг авч үзье: - дор хаяж хоёр хар бөмбөг байх болно. Энэ үйл явдал нь нийцэхгүй 2 үр дүнгээс бүрдэнэ: нэг бол бүх бөмбөг хар (үйл явдал) эсвэл 2 бөмбөг хар, 1 цагаан өнгөтэй байна - сүүлчийн үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе.
Үйл явдал нь 3 үл нийцэх үр дүнг агуулдаг:
1-р туршилтаар цагааныг гаргаж авсан болон 2-т болон 3-р туршилтанд - хар бөмбөг
эсвэл
болон 2-т - BS болон 3-т - CHS
эсвэл
1-р шүүх хуралд С.Н-г гаргаж авсан болон 2-т - CHS болон 3-т - БШ.
Хүссэн хүмүүс илүү хэцүү жишээнүүдтэй танилцаж болно Чудесенкогийн цуглуулга, хэд хэдэн бөмбөгийг шилжүүлдэг. Тусгай сонирхогчдын хувьд би хосолсон нарийн төвөгтэй асуудлуудыг санал болгож байна - 1-ээс 2-р сав, 2-оос 3-р бөмбөгийг дараалан хоёр хөдөлгөөн хийх, сүүлчийн савнаас бөмбөгийг эцсийн байдлаар гаргаж авах - сүүлийн даалгавруудыг үзнэ үү. файл Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх теоремуудын нэмэлт даалгавар. Дашрамд хэлэхэд, өөр олон сонирхолтой даалгавар байдаг.
Энэ нийтлэлийн төгсгөлд бид таныг хамгийн анхны хичээл дээр татан оруулсан хамгийн сонирхолтой даалгаврыг шинжлэх болно =) Бид үүнд дүн шинжилгээ хийхгүй, гэхдээ бид бага зэрэг практик судалгаа хийх болно. Тооцооллын ерөнхий хэлбэрээр хийх нь хэтэрхий төвөгтэй байх тул тодорхой жишээг авч үзье.
Петя магадлалын онолоор шалгалт өгдөг бол 20 тасалбарыг сайн, 10-ыг муу мэддэг. Эхний өдөр бүлгийн нэг хэсэг, жишээлбэл, 16 хүн, түүний дотор манай баатар шалгалтанд тэнцсэн гэж бодъё. Ерөнхийдөө нөхцөл байдал үнэхээр танил юм: оюутнууд нэг нэгээр нь танхимд орж, тасалбараа татдаг.
Мэдээжийн хэрэг, тасалбарыг дараалан авах нь хамааралтай үйл явдлуудын гинжин хэлхээ бөгөөд яаралтай шаардлагатай байна. асуулт: Петя ямар тохиолдолд "сайн" тасалбар авах магадлалтай вэ - хэрэв тэр "урд эгнээнд" орвол, эсвэл "дунд" орвол, эсвэл тасалбараа сүүлчийнх нь дунд татвал? Хэзээ зочлоход хамгийн тохиромжтой вэ?
Нэгдүгээрт, Петя өөрийн боломжоо тогтмол байлгадаг "туршилтын хувьд цэвэр" нөхцөл байдлыг авч үзье - тэр ангийнхандаа ямар асуулт тавьсан талаар мэдээлэл авдаггүй, коридорт юу ч судалдаггүй, ээлжээ хүлээж байдаг гэх мэт.
Дараах үйл явдлыг авч үзье: - Петя хамгийн түрүүнд танхимд орж, "сайн" тасалбар зурах болно. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу: 
.
Онц сурдаг Настя алгасвал амжилттай тасалбар авах магадлал хэрхэн өөрчлөгдөх вэ? Энэ тохиолдолд хоёр үл нийцэх таамаглал байж болно:
- Настя "сайн" (Петягийн хувьд) тасалбар авах болно;
- Настя "муу" тасалбарыг сугалж авна, өөрөөр хэлбэл. Петягийн боломжийг нэмэгдүүлэх болно.
Үйл явдал (Петр хоёрдугаарт орж, "сайн" тасалбар зурсан) болдог хамааралтай.
1) Настя магадлалтай гэж бодъё 
Петягаас нэг азын тасалбар "хулгайлсан". Дараа нь 29 тасалбар ширээн дээр үлдэх бөгөөд 19 нь "сайн" байна. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу:
2) Одоо Настя магадлалтай гэж бодъё 
Петяг 1-р "муу" тасалбараас "аварсан". Дараа нь 29 тасалбар ширээн дээр үлдэх бөгөөд тэдгээрийн дотор 20 "сайн" тасалбар хэвээр байна. Сонгодог тодорхойлолтын дагуу:
Үл нийцэх магадлалыг нэмэх, хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремуудыг ашиглан Петя хоёрдугаарт "сайн" тасалбар зурах магадлалыг тооцоолно.
Магадлал ... хэвээр байна! За, үйл явдлыг авч үзье: - Петя гуравт орж, Настя, Лена хоёрыг урагшлуулж, "сайн" тасалбар гаргана.
Энд илүү олон таамаглал гарах болно: бүсгүйчүүд нэг эрхэмийг 2 сайн тасалбараар "дээрэмдэж" чадна, эсвэл эсрэгээр - түүнийг 2 муу тасалбараас аврах эсвэл 1 "сайн", 1 "муу" тасалбар гаргаж авах боломжтой. Хэрэв бид ижил төстэй үндэслэлийг хийвэл ижил теоремуудыг ашиглавал ... бид ижил магадлалын утгыг авна!
Тиймээс, зөвхөн математикийн үүднээс авч үзвэл, хэзээ явах нь хамаагүй - анхны магадлал өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. ГЭХДЭЭ. Энэ бол зөвхөн онолын дундаж тооцоо тул, жишээлбэл, Петя хамгийн сүүлд явбал энэ нь түүний анхны боломжийн дагуу 10 "сайн", 5 "муу" тасалбар сонгох болно гэсэн үг биш юм. Энэ харьцаа нь сайн эсвэл муугаар ялгаатай байж болох ч тасалбаруудын дунд "нэг үнэгүй" байх магадлал бага хэвээр байна, эсвэл эсрэгээрээ "хатуу аймшгийн". Хэдийгээр "өвөрмөц" тохиолдлуудыг үгүйсгэхгүй - эцэст нь том хожих магадлал бараг тэг болох 3 сая сугалааны тасалбар байдаггүй. Тиймээс "гайхалтай аз" эсвэл "муу хувь тавилан" нь хэтэрхий хэтрүүлсэн мэдэгдэл байх болно. Петя 30 тасалбараас ердөө 3-ыг нь л мэддэг байсан ч түүний магадлал 10% байгаа нь тэгээс мэдэгдэхүйц өндөр байна. Хувийн туршлагаасаа би танд эсрэг тохиолдолд хэлэх болно: шалгалтын үеэр аналитик геометрБи 28 асуултаас 24 асуултыг сайн мэддэг байсан, гэх мэт - тасалбар дээр би хоёр "муу" асуулттай тулгарсан; Энэ үйл явдлын магадлалыг өөрөө тооцоолоорой :)
Математик, "цэвэр туршилт" сайн боловч ямар стратеги, тактикийг баримтлах нь илүү ашигтай хэвээр байна бодит нөхцөлд? Мэдээжийн хэрэг, субъектив хүчин зүйлсийг харгалзан үзэх хэрэгтэй, жишээлбэл, "зоригтой" багшийн "хөнгөлөлт" эсвэл шалгалтын төгсгөлд түүний ядрах байдал. Ихэнхдээ эдгээр хүчин зүйлүүд нь шийдэмгий байж болох ч эцсийн хэлэлцүүлэгт би нэмэлт магадлалыг бууруулахгүй байхыг хичээх болно.
Хэрэв та шалгалтандаа сайн бэлтгэгдсэн бол "тэргүүн эгнээнд" явсан нь дээр байх. Тасалбарууд дуусч байхад "постулат" магадлал багатай үйл явдал тохиолддоггүйтаны төлөө илүү их ажилладаг. "15 тасалбар, 2 нь муу" гэхээсээ "30 тасалбар, 2 нь муу" гэсэн харьцаа хамаагүй таатай гэдэгтэй санал нэг байна. Мөн хоёр амжилтгүй тасалбар нэг шалгалт дээр (мөн дундаж онолын тооцоогоор биш!) Тиймээс тэд ширээн дээр үлдэх болно - энэ нь нэлээд боломжтой юм.
Одоо "Петягийн нөхцөл байдал" -ыг авч үзье - оюутан шалгалтанд маш сайн бэлэн болсон үед, гэхдээ нөгөө талаас тэр "хөвөгч" тийм ч муу биш юм. Өөрөөр хэлбэл, "мэдэхгүйгээс илүү мэддэг" гэсэн үг. Энэ тохиолдолд 5-6 хүнийг урагшлуулж, үзэгчдийн гадна зөв мөчийг хүлээхийг зөвлөж байна. Нөхцөл байдлын дагуу ажилла. Тун удахгүй ангийнхан ямар тасалбар авсан тухай мэдээлэл ирж эхэлнэ (дахин хамааралтай үйл явдлууд!) , мөн та "хэт тоглосон" асуултуудад эрч хүчээ дэмий үрэх боломжгүй - бусад тасалбаруудыг сурч, давтаж, ингэснээр амжилтанд хүрэх анхны магадлалыг нэмэгдүүлнэ. Хэрэв шалгуулагчдын "эхний багц" таныг 3-4 хэцүү (таны хувьд) тасалбараас "аварсан" бол шалгалтанд аль болох хурдан орох нь илүү ашигтай байдаг - яг одоо боломж мэдэгдэхүйц нэмэгдсэн байна. Энэ мөчийг алдахгүй байхыг хичээгээрэй - хэдхэн хүн урагшилж, давуу тал нь хайлж магадгүй юм. Хэрэв эсрэгээрээ "муу" тасалбар цөөн байвал түр хүлээнэ үү. Хэдэн хүний дараа энэ "гажиг" дахин гарах магадлал өндөр байгаа бөгөөд хэрэв энэ нь арилахгүй бол илүү сайнаар арилах болно. "Ердийн" бөгөөд хамгийн түгээмэл тохиолдолд давуу тал бий: "24 тасалбар / 8 муу" байрлал нь "30 тасалбар / 10 муу" харьцаатай харьцуулахад илүү дээр байх болно. Яагаад? Хэцүү тасалбарууд одоо арав биш, найм байна! Хоёр дахин их эрчим хүчээр бид материалыг судалж байна!
Хэрэв та муу эсвэл хамаагүй бэлэн байгаа бол мэдээжийн хэрэг "сүүлийн эгнээнд" орсон нь дээр. (хэдийгээр анхны шийдлүүд бас боломжтой, ялангуяа алдах зүйл байхгүй бол). Харьцангуй танд үлдэх магадлал бага боловч тэг биш хэвээр байна энгийн асуултууд+ нэмэлт шахалт + буцаж харвасан оюутнуудын өгсөн шпор =) Тиймээ - маш эгзэгтэй нөхцөлд бүлгийн 2-р хэсэг шалгалтаа өгөх дараагийн өдөр хэвээр байна ;-)
В үйл явдал тохиолдох үед А үйл явдлын нөхцөлт магадлалхарьцаа гэж нэрлэдэг Энд байгаа гэж таамаглаж байна.
Энэхүү тодорхойлолтын үндэслэлтэй үндэслэлийн хувьд бид ямар нэгэн үйл явдал тохиолдохыг тэмдэглэж байна Бэнэ нь тодорхой үйл явдлын үүрэг гүйцэтгэж эхэлдэг тул бид үүнийг шаардах ёстой. Үйл явдлын үүрэг Атоглодог AB,тиймээс энэ нь пропорциональ байх ёстой . (Тодорхойлолтоос харахад пропорциональ байдлын коэффициент тэнцүү байна.)
Одоо ойлголтыг танилцуулъя үйл явдлын бие даасан байдал.
Энэ нь: үйл явдал болсон учраас гэсэн үг Б, үйл явдлын магадлал Аөөрчлөгдөөгүй.
Нөхцөлт магадлалын тодорхойлолтыг харгалзан үзвэл энэ тодорхойлолтыг хамаарал болгон бууруулна . Энд нөхцөлийг биелүүлэхийг шаардах шаардлагагүй болсон . Тиймээс бид эцсийн тодорхойлолтод хүрч байна.
Хэрэв P бол А ба В үйл явдлуудыг бие даасан гэж нэрлэдэг(AB)=П(А)П(Б).
Сүүлийн хамаарлыг ихэвчлэн хоёр үйл явдлын бие даасан байдлын тодорхойлолт болгон авдаг.
Хэд хэдэн үйл явдлуудыг авч үзэж буй үйл явдлын аль нэг дэд бүлэгт ийм хамаарал бий бол тэдгээр нь хамтын бие даасан үйл явдлууд гэж тооцогддог. Жишээлбэл, гурван үйл явдал А, Бболон CДараах дөрвөн харилцааг хангасан тохиолдолд хамтын бие даасан гэж үзнэ.
Бид хэд хэдэн даалгаврыг танилцуулж байна үйл явдлын нөхцөлт магадлал ба бие даасан байдалболон тэдгээрийн шийдэл.
Даалгавар 21. 36 карт бүхий бүтэн тавцангаас нэг картыг татаж авдаг. Үйл явдал А- улаан хуудас Б- Эйс карт. Тэд бие даасан байх уу?
Шийдвэр.Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу тооцоолол хийсний дараа бид үүнийг олж авна . Энэ нь үйл явдал гэсэн үг юм Аболон Ббие даасан.
Асуудал 22. Хатан хаан хасагдсан тавцангийн хувьд ижил асуудлыг шийдээрэй.
Шийдвэр. . Тусгаар тогтнол гэж байхгүй.
Даалгавар 23.Хоёр хүн ээлжлэн зоос шидэж байна. Сүлдтэй нь түрүүлж түрүүлнэ. Хоёр тоглогчийн хожих магадлалыг ол.
Шийдвэр.Бид анхан шатны үйл явдлуудыг (0, 0, 1,…, 0, 1) хэлбэрийн төгсгөлтэй дараалал гэж үзэж болно. . Урт хугацааны дарааллаар харгалзах анхан шатны үйл явдал нь магадлалтай байна. Тэг болон нэгийн сондгой тооноос бүрдэх энгийн үйл явдал биелсэн тохиолдолд эхлээд зоос шидэж эхэлсэн тоглогч ялах болно. Тиймээс түүний ялах магадлал өндөр байна
Хоёрдахь тоглогчийн ашиг нь тэг ба нэгийн тэгш тоотой тохирч байна. Тэр тэнцүү
Уг шийдлээс харахад тоглоом 1 магадлалтай (учир нь ) хязгаарлагдмал хугацаанд дуусна.
Даалгавар 24.Гүүрийг устгахын тулд та дор хаяж 2 бөмбөг цохих хэрэгтэй. 3 бөмбөг хаясан. Бөмбөгийг цохих магадлал 0, 1 байна; 0.3; 0, 4. Гүүр эвдрэх магадлалыг ол.
Шийдвэр. A, B, C үйл явдлууд нь 1, 2, 3 дахь бөмбөгний цохилтоос бүрдэх болтугай. Тэгвэл тухайн үйл явдал болсон үед л гүүрний эвдрэл үүсдэг.Энэ томьёоны нэр томьёо нь хосоороо нийцэхгүй, нэр томьёоны хүчин зүйлүүд нь бие даасан байдгаас шалтгаалан хүссэн магадлал нь тэнцүү байна.
0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.
Даалгавар 25.Хоёр ачааны хөлөг онгоц нэг зогсоол дээр бэхлэгдсэн байх ёстой. Тэд тус бүр тогтсон өдрийн аль ч мөчид ижил магадлалтай ойртож болох ба 8 цагийн турш ачаагаа буулгах ёстой нь мэдэгдэж байна.Хоёр дахь удаагаа ирсэн хөлөг эхний хөлөг ачаагаа буулгаж дуустал хүлээх шаардлагагүй байх магадлалыг ол.
Шийдвэр.Бид цагийг хоногоор, өдрийн фракцаар хэмжих болно. Дараа нь энгийн үйл явдлууд нь нэгж квадратыг дүүргэх хос тоонууд юм х-анхны хөлөг онгоц ирэх цаг, y– хоёр дахь хөлөг онгоцны ирэх цаг. Талбайн бүх цэгүүд ижил магадлалтай. Энэ нь аливаа үйл явдлын магадлал (жишээ нь нэгж квадратын багц) нь энэ үйл явдалд харгалзах бүсийн талбайтай тэнцүү байна гэсэн үг юм. Үйл явдал Атэгш бус байдлыг хангах нэгж квадратын цэгүүдээс бүрдэнэ. Энэ тэгш бус байдал нь хамгийн түрүүнд ирсэн хөлөг онгоц хоёр дахь хөлөг ирэх хүртэл ачаагаа буулгах боломжтой болно гэсэн үг юм. Эдгээр цэгүүдийн багц нь хоёр тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна тэгш өнцөгт гурвалжин 2/3 талтай. Эдгээр гурвалжны нийт талбай нь 4/9 байна. Ийнхүү, .
Даалгавар 26.Магадлалын онолын шалгалтын 34 тасалбар байсан. Оюутан санал болгож буй тасалбараас тус бүр нэг тасалбарыг хоёр удаа (буцаахгүйгээр) гаргаж авдаг. Оюутан 30-хан билетээр бэлдсэн үү? Тэр анх удаагаа шалгалт өгөх магадлал хэд вэ "амжилтгүй» тасалбар?
Шийдвэр.Санамсаргүй сонголт нь нэг тасалбарыг хоёр удаа дараалан сугалсан бөгөөд анх удаа сугалсан тасалбарыг буцааж өгөхгүй байх явдал юм. Үйл явдал болъё ATэхний гаргаж авсан баримтаас бүрддэг " амжилтгүй"тасалбар ба үйл явдал ГЭХДЭЭхоёр дахь нь гарч байгаа явдал юм " амжилттай» тасалбар. Үйл явдал нь ойлгомжтой ГЭХДЭЭболон ATЭхний удаа авсан тасалбар бүх тасалбарын жагсаалтад буцаж ирээгүй тул хамааралтай. Үйл явдлын магадлалыг олох шаардлагатай AB.
Нөхцөлт магадлалын томъёоны дагуу; ; , Тийм учраас .
Үйл явдлыг авч үзье Аболон Бижил туршлагатай холбоотой. Уг үйл явдал болсон талаар зарим эх сурвалжаас мэдээллээ Бтохиолдсон боловч уг үйл явдлыг бүрдүүлдэг энгийн үр дүнгүүдийн аль нь тодорхойгүй байна Б, болсон. Энэ тохиолдолд үйл явдлын магадлалын талаар юу хэлж болох вэ А?
Үйл явдлын магадлал А, үйл явдал гэсэн таамаглалаар тооцсон Бтохиолдсон бол нөхцөлт магадлалыг дуудаж, тэмдэглэдэг заншилтай P(A|B).
нөхцөлт магадлал P(A|B)үйл явдал Аүйл явдалд хамаарна Бсонгодог схемийн хүрээнд магадлалыг харьцаа гэж тодорхойлох нь зүйн хэрэг NABарга хэмжээг хамтран хэрэгжүүлэхэд таатай үр дүн Аболон Б, дугаар руу NBүйл явдалд таатай үр дүн Б, өөрөөр хэлбэл
Хэрэв бид энэ илэрхийллийн хүртэгч ба хуваагчийг нийт тоонд хуваавал Нанхан шатны үр дүнг бид олж авдаг
Тодорхойлолт. Үйл явдлын нөхцөлт магадлал Аүйл явдалд хамаарна Бүйл явдлын огтлолцлын магадлалын харьцаа гэж нэрлэдэг Аболон Бүйл явдлын магадлалд Б:
Үүний зэрэгцээ үүнийг таамаглаж байна P(B) ≠ 0.
Теорем. Нөхцөлт магадлал P(A|B)болзолгүй магадлалын бүх шинж чанаруудтай P(A).
Энэ теоремын утга нь болзолт магадлал нь шинэ орон зайд өгөгдсөн болзолгүй магадлал юм. Ω 1үйл явдалтай давхцаж буй энгийн үр дүн Б.
Жишээ. Дотор нь байгаа савнаас a=7цагаан элс b=3хар бөмбөг, хоёр бөмбөгийг солихгүйгээр санамсаргүй байдлаар зурдаг. Үйл явдал болъё А 1Эхний зурсан бөмбөг нь цагаан өнгөтэй, мөн А2- хоёр дахь бөмбөг цагаан. олохыг хүссэн P(A 2 |A 1).
Арга 1.. Нөхцөлт магадлалын тодорхойлолтоор
Арга 2.. Анхан шатны үр дүнгийн шинэ орон зай руу шилжье Ω 1. Үйл явдлаас хойш А 1тохиолдсон, энэ нь анхан шатны үр дүнгийн шинэ орон зайд ижил боломжтой үр дүнгийн нийт тоо гэсэн үг юм NΩ 1 =a+b-1=9, мөн үйл явдал А2үүнийг дэмждэг N A 2 \u003d a-1 \u003d 6үр дүн. Тиймээс,
теорем [магадлалыг үржүүлэх]. Үйл явдал болъё A=A 1 A 2 …A nболон P(A)>0. Дараа нь тэгш байдал үнэн болно:
P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).
Сэтгэгдэл. Уулзварын шилжих шинж чанараас хүн бичиж болно
P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)
P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).
Жишээ. "NIGHTINGALE" гэсэн үгийг бүрдүүлсэн үсгүүдийг 7 карт дээр бичсэн. Картуудыг хольж, гурван картыг санамсаргүй байдлаар гаргаж, зүүнээс баруун тийш байрлуулна. "VOL" гэсэн үг гарч ирэх магадлалыг ол (үйл явдал А).
Үйл явдал болъё А 1- эхний карт дээр "B" үсэг бичигдсэн; А2- хоёр дахь карт дээр "O" үсэг бичигдсэн, А2- гурав дахь карт дээр - "L" үсэг. Дараа нь үйл явдал А- үйл явдлын огтлолцол А 1, А2, А 3. Тиймээс,
P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).
P(A1)=1/7; үйл явдал бол А 1болсон, дараа нь үлдсэн 6 карт дээр "O" хоёр удаа гарч ирдэг, энэ нь гэсэн үг юм P(A 2 |A 1)=2/6=1/3. Үүний нэгэн адил, P(A 3 |A 1)=2/6=1/3. Тиймээс,
Тодорхойлолт. Үйл явдал Аболон Б, тэгээс өөр магадлалтай, нөхцөлт магадлал бол бие даасан гэж нэрлэдэг Аүүнийг өгсөн Бболзолгүй магадлалтай давхцаж байна Аэсвэл нөхцөлт магадлал бол Бүүнийг өгсөн Аболзолгүй магадлалтай давхцаж байна Б, өөрөөр хэлбэл
P(A|B) = P(A)эсвэл P(B|A) = P(B),
өөрөөр хэлбэл үйл явдлууд Аболон Бхамааралтай гэж нэрлэдэг.
Теорем. Үйл явдал Аболон Б, тэгээс өөр магадлалтай нь зөвхөн, хэрэв тийм бол бие даасан байна
P(AB) = P(A) P(B).
Тиймээс бид ижил төстэй тодорхойлолтыг өгч болно:
Тодорхойлолт. Үйл явдал Аболон Бхэрэв бие даасан гэж нэрлэдэг P(AB) = P(A) P(B).
Жишээ. агуулсан картуудын тавцангаас n=36картууд, нэг картыг санамсаргүй байдлаар зурдаг. -ээр тэмдэглээрэй Аолборлосон газрын зураг нь оргил болно гэдгийг харгалзах үйл явдал, болон Б- "хатагтай" -ын дүр төрхтэй тохирох үйл явдал. Үйл явдал хамааралтай эсэхийг тодорхойлох Аболон Б.
P(A)=9/36=1/4, P(B)=4/36=19, P(AB)=1/36, 
. Тиймээс үйл явдлууд Аболон Ббие даасан. Үүний нэгэн адил, 
.
Тодорхойлолт 1. А үйл явдал тохиолдох магадлал нь В үйл явдал болсон эсэхээс хамаарах бол А үйл явдлыг В үйл явдлаас хамааралтай гэнэ.Б үйл явдал болсон тохиолдолд А үйл явдал тохиолдох магадлалыг тэмдэглэж, нөхцөлт магадлал гэж нэрлэнэ. А үйл явдал Б өгсөн.
Жишээ 1. Нэг саванд 3 цагаан, 2 хар бөмбөг байна. Нэг бөмбөгийг савнаас гаргаж авдаг (эхний зураг), дараа нь хоёр дахь нь (хоёр дахь зураг). Б үйл явдал - эхний сугалааны үеэр цагаан бөмбөг гарч ирэх. А үйл явдал - хоёр дахь зургийн үеэр цагаан бөмбөг гарч ирэх.
Хэрэв В үйл явдал болсон бол А үйл явдлын магадлал нь тодорхой байх болно
В үйл явдал болоогүй тохиолдолд (анхны сугалааны үед хар бөмбөг гарч ирсэн) А үйл явдлын магадлал дараах байдалтай байна.
Бид үүнийг харж байна
Теорем 1. Хоёр үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эхний үйл явдал болсон нөхцөлд тооцсон хоёр дахь үйл явдлын нөхцөлт магадлалаар тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
Баталгаа. Бид урнуудын схемд буулгасан үйл явдлын нотолгоог өгөх болно (өөрөөр хэлбэл магадлалын сонгодог тодорхойлолт хэрэгжиж байгаа тохиолдолд).
Цүнхэнд бөмбөлгүүд байх ёстой, харин цагаан, хар өнгөтэй байна. Цагаан бөмбөлгүүдийн дунд од тэмдэгтэй бөмбөг байгаа бол бусад нь цэвэр цагаан байна гэж бодъё (Зураг 408).
Нэг бөмбөгийг савнаас авдаг. Одоор тэмдэглэгдсэн цагаан бөмбөг зурах үйл явдлын магадлал хэд вэ?
B нь (цагаан бөмбөг) харагдахаас бүрдэх үйл явдал, А нь одоор тэмдэглэгдсэн бөмбөг харагдахаас бүрдэх үйл явдал байг.
Цагаан бөмбөг гарч ирсэн тохиолдолд "од"-той цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал дараах байдалтай байна.
Одоор тэмдэглэгдсэн цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал нь P(A ба B). Мэдээжийн хэрэг,
(2), (3) ба (4) илэрхийллийн зүүн хэсгийг (5) орлуулснаар бид олж авна
Тэгш байдал (1) нь батлагдсан.
Хэрэв авч үзэж буй үйл явдлууд нь сонгодог схемд тохирохгүй бол (1) томъёо нь нөхцөлт магадлалыг тодорхойлоход үйлчилнэ. Тухайлбал, В үйл явдал тохиолдох нөхцөлд А үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг ашиглан тодорхойлно
Тайлбар 1. Сүүлийн томъёог илэрхийлэлд хэрэглэцгээе.
(1) ба (6) тэнцүү байдлын хувьд зүүн хэсгүүд нь тэнцүү, учир нь энэ нь ижил магадлал тул баруун хэсгүүд нь тэнцүү байна. Тиймээс бид тэгш байдлыг бичиж болно
Жишээ 2. Энэ хэсгийн эхэнд өгөгдсөн 1-р жишээний хувьд бид (1) томъёогоор бид P(A ба B) магадлалыг шууд хялбархан тооцоолох боломжтой.
Жишээ 3. Энэ машинд тохирох бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх магадлал 0.9 байна. Сайн бүтээгдэхүүнүүдийн дунд 1-р зэргийн бүтээгдэхүүн гарч ирэх магадлал 0.8 байна. Энэ машинаар 1-р зэргийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх магадлалыг тодорхойл.
Шийдвэр. Б үйл явдал - энэ машинаар тохирох бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх, А үйл явдал - 1-р зэргийн бүтээгдэхүүний харагдах байдал. Энд (1) томъёог орлуулснаар бид хүссэн магадлалыг олж авна
Теорем 2. Хэрэв үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлэг болох үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдоход л А үйл явдал хэрэгжих боломжтой бол А үйл явдлын магадлалыг томъёогоор тооцоолно.
Формула (8)-ийг нийт магадлалын томъёо гэж нэрлэдэг. Баталгаа. Хосолсон үйл явдлуудын аль нэгийг гүйцэтгэх үед А үйл явдал тохиолдож болно
Тиймээс нэмэх теоремоор бид олж авна
Баруун талд байгаа нэр томъёог (1) томъёоны дагуу орлуулснаар бид (8) тэгш байдлыг олж авна.
Жишээ 4. Байгаа 3 дараалан буудсан. Гурав дахь удаагаа эхний суманд онох магадлал Нэг цохилтоор байг хоёр цохилтоор онох магадлал Гурван цохилтоор байг гурван цохилтоор онох магадлалыг тодорхойл (А үйл явдал).
