Тэгш өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөг хэд вэ? Хоёр талт гурвалжин. Нарийвчилсан онолын жишээнүүд. Асуудлыг шийдэх жишээ

Энэ хичээлээр "Isosseles гурвалжин ба түүний шинж чанарууд" сэдвийг авч үзэх болно. Та тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт гурвалжнууд хэрхэн харагдах, тэдгээрийн шинж чанарыг мэдэх болно. Тэгш өнцөгт гурвалжны суурийн өнцгийн тэгш байдлын тухай теоремыг батал. Мөн адил тэгш өнцөгт гурвалжны суурь дээр зурсан биссектрисын теоремыг (медиан ба өндөр) авч үзье. Хичээлийн төгсгөлд та ижил тэгш өнцөгт гурвалжны тодорхойлолт, шинж чанарыг ашиглан хоёр бодлогыг авч үзэх болно.

Тодорхойлолт:Хоёр талтХоёр тал нь тэнцүү гурвалжинг гэнэ.

Цагаан будаа. 1. Хоёр талт гурвалжин

AB = AC - талууд. МЭӨ - суурь.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь суурийнх нь өндрийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

Тодорхойлолт:тэгш талтГурван тал нь тэнцүү байх гурвалжин гэж нэрлэдэг.

Цагаан будаа. 2. Тэгш талт гурвалжин

AB = BC = SA.

Теорем 1:Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Өгөгдсөн: AB = AC.

Нотлох:∠B = ∠C.

Цагаан будаа. 3. Теоремыг зурах

Нотолгоо:гурвалжин ABC \u003d гурвалжин DIA эхний тэмдгийн дагуу (хоёр тэнцүү тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг). Гурвалжны тэгшитгэлээс харгалзах бүх элементүүдийн тэгш байдал үүсдэг. Иймээс ∠B = ∠C байсан бөгөөд үүнийг батлах ёстой.

Теорем 2:Хоёр талт гурвалжинд биссектриссуурь руу татсан байна дундажболон өндөр.

Өгөгдсөн: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Нотлох: BD = DC, AD перпендикуляр BC.

Цагаан будаа. 4. Теорем 2-ын зураг

Нотолгоо:гурвалжин ADB = гурвалжин ADC эхний шинж чанараар (AD - нийтлэг, AB = AC нөхцөлөөр, ∠BAD = ∠DAC). Гурвалжны тэгшитгэлээс харгалзах бүх элементүүдийн тэгш байдал үүсдэг. Тэд ижил өнцгүүдийн эсрэг байрладаг тул BD = DC. Тэгэхээр AD нь медиан юм. Мөн ∠3 = ∠4 нь тэнцүү талуудын эсрэг байрладаг. Гэхдээ үүнээс гадна тэд нийтдээ тэнцүү байна. Тиймээс ∠3 = ∠4 = байна. Тиймээс AD нь нотлох ёстой гурвалжны өндөр юм.

Цорын ганц тохиолдолд a = b =. Энэ тохиолдолд АС ба BD шулуунуудыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг.

Биссектрис, өндөр, медиан нь ижил сегмент тул дараах мэдэгдлүүд бас үнэн болно.

Суурь руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь медиан ба биссектриса юм.

Суурь руу татсан тэгш өнцөгт гурвалжны медиан нь өндөр ба биссектриса юм.

Жишээ 1:Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь нь талынхаа хагастай тэнцүү, периметр нь 50 см. Гурвалжны талуудыг ол.

Өгөгдсөн: AB = AC, BC = AC. P = 50 см.

Олно: BC, AC, AB.

Шийдэл:

Цагаан будаа. 5. Зураг жишээ 1

Бид BC суурийг a, дараа нь AB \u003d AC \u003d 2a гэж тэмдэглэнэ.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Хариулт: BC = 10 см, АС = AB = 20 см.

Жишээ 2:Адил талт гурвалжны бүх өнцөг тэнцүү гэдгийг батал.

Өгөгдсөн: AB = BC = SA.

Нотлох:∠A = ∠B = ∠C.

Нотолгоо:

Цагаан будаа. 6. Жишээ нь зурах

AB=AC тул ∠B = ∠C, AC = BC тул ∠A = ∠B.

Тиймээс нотлох ёстой ∠A = ∠B = ∠C.

Хариулт:Батлагдсан.

Өнөөдрийн хичээлээр бид ижил өнцөгт гурвалжинг судалж, түүний үндсэн шинж чанарыг судалсан. Дараагийн хичээлээр бид тэгш өнцөгт гурвалжны сэдэв, тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх болно.

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. гэх мэт Геометр 7. - М.: Гэгээрэл.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. болон бусад Геометр 7. 5-р хэвлэл. - М .: Гэгээрэл.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометр 7 / V.F. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, ред. Садовничий В.А. - М.: Боловсрол, 2010 он.

1. "Академик" дээрх толь бичиг, нэвтэрхий толь бичиг ().
2. Сурган хүмүүжүүлэх санааны наадам " Олон нийтийн хичээл» ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. No 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометр 7 / V.F. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, ред. Садовничий В.А. - М.: Боловсрол, 2010 он.

2. Адил өнцөгт гурвалжны периметр нь 35 см, суурь нь хажуу талаасаа гурав дахин бага. Гурвалжны талуудыг ол.

3. Өгөгдсөн: AB = BC. ∠1 = ∠2 гэдгийг батал.

4. Адил өнцөгт гурвалжны периметр нь 20 см, нэг тал нь нөгөөгөөсөө хоёр дахин их. Гурвалжны талуудыг ол. Асуудлыг шийдэх хэдэн гарц байна вэ?

Манай соёл иргэншлийн анхны түүхчид - эртний Грекчүүд Египетийг геометрийн өлгий нутаг гэж дурдсан байдаг. Фараонуудын аварга булшнуудыг ямар гайхалтай нарийвчлалтайгаар босгосныг мэдсэнээр тэдэнтэй санал нийлэхгүй байх нь хэцүү байдаг. Пирамидын хавтгайн харилцан зохицуулалт, тэдгээрийн пропорциональ байдал, үндсэн цэгүүд рүү чиглүүлэх - геометрийн үндсийг мэдэхгүй бол ийм төгс төгөлдөрт хүрэх нь төсөөлшгүй байх болно.

"Геометр" гэдэг үгийг "дэлхийн хэмжилт" гэж орчуулж болно. Түүнээс гадна, "дэлхий" гэдэг үг нь гаригийн үүрэг гүйцэтгэдэггүй - хэсэг нарны систем, гэхдээ онгоц шиг. Засвар үйлчилгээ хийх талбайн тэмдэглэгээ Хөдөө аж ахуй, магадгүй геометрийн хэлбэр, тэдгээрийн төрөл, шинж чанарын шинжлэх ухааны анхны үндэс суурь юм.

Гурвалжин бол планиметрийн хамгийн энгийн орон зайн дүрс бөгөөд зөвхөн гурван цэг буюу оройг агуулдаг (багагүй). Суурийн үндэс суурь нь нууцлаг, эртний зүйл дотор нь байгаа юм шиг санагддаг. Гурвалжин доторх бүх зүйлийг хардаг нүд нь хамгийн эртний далд шинж тэмдгүүдийн нэг бөгөөд тархалтын газарзүй, цаг хугацааны хувьд үнэхээр гайхалтай юм. Эртний Египет, Шумер, Ацтек болон бусад соёл иргэншлээс эхлээд дэлхий даяар тархсан ид шидийн дурлагчдын орчин үеийн нийгэмлэгүүд хүртэл.

Гурвалжин гэж юу вэ

Энгийн масштабтай гурвалжин нь өөр өөр урттай гурван сегмент, гурван өнцөгөөс бүрдэх хаалттай геометрийн дүрс бөгөөд аль нь ч шулуун биш юм. Үүнээс гадна хэд хэдэн тусгай төрөл байдаг.

Хурц гурвалжны бүх өнцөг нь 90 градусаас бага байна. Өөрөөр хэлбэл, ийм гурвалжны бүх өнцөг хурц байна.

Сургуулийн сурагчид олон тооны теоремоос болж үргэлж уйлж байсан тэгш өнцөгт гурвалжин нь 90 градусын утгатай нэг өнцөгтэй, эсвэл үүнийг зөв гэж нэрлэдэг.

Мохоо гурвалжин нь түүний нэг өнцөг нь мохоо, өөрөөр хэлбэл 90 градусаас дээш байхаар ялгагдана.

Тэгш талт гурвалжин нь ижил урттай гурван талтай. Ийм зурагт бүх өнцөг нь тэнцүү байна.

Эцэст нь гурван талт тэгш өнцөгт гурвалжинд хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү байна.

Онцлог шинж чанарууд

Ижил тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанар нь түүний гол, гол ялгаа болох хоёр талын тэгш байдлыг тодорхойлдог. Эдгээр тэгш талуудыг ихэвчлэн хонго (эсвэл ихэвчлэн хажуу тал) гэж нэрлэдэг боловч гурав дахь талыг "суурь" гэж нэрлэдэг.

Харж байгаа зурагт a = b.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр дахь тэмдэг нь синусын теоремоос гардаг. a ба b талууд тэнцүү тул тэдгээрийн эсрэг талын өнцгийн синусууд мөн тэнцүү байна.

a/sin γ = b/sin α, эндээс бид: sin γ = sin α.

Синусын тэгшитгэлээс өнцгийн тэгш байдал гарна: γ = α.

Тиймээс, тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр дахь тэмдэг нь суурьтай зэргэлдээх хоёр өнцгийн тэгш байдал юм.

Гурав дахь тэмдэг. Гурвалжинд өндөр, биссектрис, медиан зэрэг элементүүдийг ялгадаг.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад авч үзэж буй гурвалжинд эдгээр элементүүдийн аль нэг нь давхцаж байгаа нь тогтоогдвол: биссектрисийн өндөр; медиантай биссектриса; өндөртэй медиан - гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна гэж бид гарцаагүй дүгнэж болно.

Зургийн геометрийн шинж чанарууд

1. Хоёр талт гурвалжны шинж чанарууд. Зургийн нэг онцлог шинж чанар нь суурьтай зэргэлдээх өнцгүүдийн тэгш байдал юм.

<ВАС = <ВСА.

2. Дээр дурдсан өөр нэг шинж чанар: тэгш өнцөгт гурвалжны медиан, биссектриса, өндөр нь дээд талаас нь суурь хүртэл баригдсан тохиолдолд ижил байна.

3. Суурийн оройнуудаас татсан биссектриссүүдийн тэгш байдал:

Хэрэв AE нь BAC өнцгийн биссектриса, CD нь BCA өнцгийн биссектриса бол: AE = DC.

4. Мөн адил тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд нь суурин дээрх оройгоос татсан өндрийн тэгш байдлыг хангадаг.

Хэрэв бид A, C оройноос ABC гурвалжны өндрийг (АВ = BC) байгуулбал үүссэн CD ба AE хэрчмүүд тэнцүү болно.

5. Суурийн булангаас зурсан медианууд нь мөн адил тэнцүү болно.

Тэгэхээр, хэрэв AE ба DC нь медиан, өөрөөр хэлбэл AD = DB, BE = EC бол AE = DC байна.

Хоёр талт гурвалжны өндөр

Талууд ба тэдгээрийн өнцгийн тэгш байдал нь тухайн зургийн элементүүдийн уртыг тооцоолоход зарим онцлог шинж чанаруудыг өгдөг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь дүрсийг тэгш хэмтэй 2 тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн гипотенузууд нь талууд юм. Энэ тохиолдолд өндрийг Пифагорын теоремын дагуу хөл хэлбэрээр тодорхойлно.

Гурвалжин нь гурван тал нь тэнцүү байж болно, тэгвэл түүнийг тэгш талт гэж нэрлэнэ. Адил талт гурвалжин дахь өндрийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог бөгөөд зөвхөн тооцооллын хувьд зөвхөн нэг утгыг мэдэхэд хангалттай - энэ гурвалжны хажуугийн урт.

Та өндрийг өөр аргаар тодорхойлж болно, жишээлбэл, суурь ба түүний хажуугийн өнцгийг мэдэх.

Хоёр талт гурвалжны медиан

Геометрийн шинж чанараас шалтгаалан авч үзэж буй гурвалжны төрлийг анхны өгөгдлийн хамгийн бага багцаар маш энгийнээр шийддэг. Тэгш өнцөгт гурвалжны медиан нь түүний өндөр ба биссектрисын аль алинд нь тэнцүү байдаг тул түүнийг тодорхойлох алгоритм нь эдгээр элементүүдийг тооцоолох дарааллаас ялгаатай биш юм.

Жишээлбэл, та медианы уртыг мэдэгдэж буй хажуу тал болон орой дээрх өнцгийн утгыг тодорхойлж болно.

Периметрийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Харгалзан үзэж буй планиметрийн дүрс нь хоёр тал үргэлж тэнцүү байдаг тул периметрийг тодорхойлохын тулд суурийн урт ба талуудын аль нэгний уртыг мэдэхэд хангалттай.

Мэдэгдэж буй суурь ба өндрийг харгалзан гурвалжны периметрийг тодорхойлох жишээг авч үзье.

Периметр нь суурийн нийлбэртэй тэнцүү ба хажуугийн уртаас хоёр дахин их байна. Хажуу талыг нь эргээд тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз болгон Пифагорын теоремыг ашиглан тодорхойлно. Түүний урт нь өндрийн квадрат ба суурийн хагасын квадратын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Хоёр талт гурвалжны талбай

Энэ нь дүрмээр бол тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолоход хүндрэл учруулдаггүй. Гурвалжны талбайг суурийн бүтээгдэхүүн ба түүний өндрийн хагасаар тодорхойлох бүх нийтийн дүрэм нь мэдээжийн хэрэг манай тохиолдолд хамаарна. Гэсэн хэдий ч тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд нь даалгаврыг дахин хөнгөвчилдөг.

Суурийн зэргэлдээх өндөр ба өнцгийг бид мэднэ гэж бодъё. Та зургийн талбайг тодорхойлох хэрэгтэй. Та үүнийг ингэж хийж болно.

Аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180° тул өнцгийн хэмжээг тодорхойлоход хэцүү биш юм. Цаашилбал, синусын теоремын дагуу зурсан пропорцийг ашиглан гурвалжны суурийн уртыг тодорхойлно. Бүх зүйл, суурь, өндөр - талбайг тодорхойлох хангалттай өгөгдөл байдаг.

Хоёр талт гурвалжны бусад шинж чанарууд

Хоёр талт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвийн байрлал нь оройн өнцгөөс хамаарна. Тэгэхээр, ижил өнцөгт гурвалжин хурц өнцөгтэй бол тойргийн төв нь зургийн дотор байрлана.

Мохоо тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь түүний гадна байрладаг. Эцэст нь хэлэхэд, орой дээрх өнцөг нь 90 ° байвал төв нь суурийн яг голд байрладаг бөгөөд тойргийн диаметр нь суурийн өөрөө дамждаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг тодорхойлохын тулд хажуугийн уртыг орой дээрх өнцгийн хагасын косинусаас хоёр дахин хуваахад хангалттай.

Бүх гурвалжны дотроос тэгш өнцөгт гурвалжин ба тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн хоёр тусгай төрөл байдаг. Эдгээр гурвалжингууд яагаад ийм онцгой байдаг вэ? Нэгдүгээрт, ийм гурвалжин нь эхний хэсгийн Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаврын гол үүрэг гүйцэтгэгчид болж хувирдаг. Хоёрдугаарт, тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт гурвалжны талаархи бодлыг геометрийн бусад бодлоготой харьцуулахад шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Та хэдхэн дүрэм, шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. Хамгийн сонирхолтой бүх зүйлийг харгалзах сэдвээр ярилцсан бөгөөд одоо бид ижил өнцөгт гурвалжныг авч үзэх болно. Юуны өмнө ижил өнцөгт гурвалжин гэж юу вэ. Эсвэл математикчдийн хэлдгээр тэгш өнцөгт гурвалжин гэж юу вэ?

Энэ нь юу болохыг хараарай:

Тэгш өнцөгт гурвалжинтай адил тэгш өнцөгт гурвалжин нь талууддаа тусгай нэртэй байдаг. Хоёр тэнцүү талыг дууддаг талууд, болон гуравдагч этгээд суурь.

Дахин дахин зургийг харна уу:

Энэ нь мэдээжийн хэрэг иймэрхүү байж болно:

Тиймээс болгоомжтой байгаарай: хажуу тал - хоёр тэнцүү талуудын нэгтэгш өнцөгт гурвалжинд, ба үндэс нь гуравдагч этгээд юм.

Яагаад тэгш өнцөгт гурвалжин ийм сайн байдаг вэ? Үүнийг ойлгохын тулд өндрийг суурь руу зуръя. Өндөр гэж юу байдгийг санаж байна уу?

Юу болсон бэ? Нэг тэгш өнцөгт гурвалжнаас хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин гарч ирэв.

Энэ нь аль хэдийн сайн байна, гэхдээ энэ нь ямар ч, хамгийн "ташуу" гурвалжинд тохиолдох болно.

Хоёр талт гурвалжны зураг ямар ялгаатай вэ? Дахин хар:

Мэдээжийн хэрэг, нэгдүгээрт, эдгээр хачирхалтай математикчдад зүгээр л харах нь хангалтгүй - тэд мэдээж нотлох ёстой. Тэгээд гэнэт эдгээр гурвалжин нь арай өөр бөгөөд бид тэдгээрийг адилхан гэж үзэх болно.

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй: энэ тохиолдолд нотлох нь харахтай адил хялбар юм.

Бид эхлэх үү? Анхааралтай хараарай, бидэнд байна:

Тиймээс,! Яагаад? Тийм ээ, бид зүгээр л Пифагорын теоремоос ба, ба гэдгийг олдог (үүнийг нэгэн зэрэг санаж байна)

Чи итгэлтэй байна уу? За, одоо бидэнд байна

Гурван тал дээр - гурвалжингийн тэгш байдлын хамгийн хялбар (гурав дахь) тэмдэг.

За, манай ижил өнцөгт гурвалжин хоёр ижил тэгш өнцөгт хуваагдсан.

Ямар сонирхолтой байгааг харж байна уу? Энэ нь:

Математикчид энэ талаар хэрхэн ярьдаг заншилтай байдаг вэ? Дарааллаар нь явцгаая:

(Бид энд санаж байна медиан нь хажуу талыг хоёр хуваасан оройноос татсан шугам, харин биссектриса нь өнцөг юм.)

За, энд бид ижил өнцөгт гурвалжинг өгвөл ямар сайн сайхныг харж болох талаар ярилцлаа. Бид ижил өнцөгт гурвалжинд суурийн өнцөг нь тэнцүү, суурь руу татсан өндөр, биссектриса, медиан нь ижил байна гэж бид дүгнэсэн.

Одоо өөр нэг асуулт гарч ирнэ: ижил өнцөгт гурвалжинг хэрхэн таних вэ? Энэ нь математикчдын хэлснээр юу вэ тэгш өнцөгт гурвалжны шинж тэмдэг?

Та бүх мэдэгдлийг эсрэгээр нь "эргүүлэх" хэрэгтэй болж байна. Энэ нь мэдээжийн хэрэг үргэлж тохиолддоггүй, гэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжин бол гайхалтай зүйл хэвээр байна! "Урвалт" хийсний дараа юу болох вэ?

За эндээс харна уу:
Хэрэв өндөр ба медиан ижил байвал:

Хэрэв өндөр ба биссектриса ижил байвал:


Хэрэв биссектриса ба медиан ижил байвал:

За, бүү мартаарай, ашигла:

• Хэрэв тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн бол өндрийг чөлөөтэй зурж, хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авч, тэгш өнцөгт гурвалжны асуудлыг аль хэдийн шийдээрэй.
• Үүнийг өгсөн бол хоёр өнцөг тэнцүү байна, дараа нь гурвалжин ягтэгш өнцөгт ба та өндрийг зурж, .... (Жекийн барьсан байшин ...).
• Хэрэв өндрийг хажуу талаас нь хагасаар нь хуваасан бол гурвалжин нь дараалсан бүх урамшуулалтай тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
• Хэрэв өндөр нь өнцгийг давхарт хуваасан нь тогтоогдвол - мөн адил тэгш өнцөгтүүд!
• Хэрэв биссектриса талыг хагас буюу медианыг - өнцөгт хуваасан бол энэ нь бас тохиолддог зөвхөнтэгш өнцөгт гурвалжинд

Даалгаврууд дээр хэрхэн харагдахыг харцгаая.

Даалгавар 1(хамгийн энгийн)

Гурвалжинд ба талууд тэнцүү, a. Хай.

Бид шийднэ:

Эхлээд зураг.

Энд ямар үндэслэл байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, .

Хэрэв, тэгвэл ба гэдгийг бид санаж байна.

Шинэчлэгдсэн зураг:

-д зориулъя. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр хэд вэ? ?

Бидний хэрэглэдэг:

Тийм шүү хариулт: .

Амархан, тийм үү? Би өндөрт гарах шаардлагагүй байсан.

Даалгавар 2(Мөн тийм ч төвөгтэй биш, гэхдээ та сэдвийг давтах хэрэгтэй)

Гурвалжинд, Хай.

Бид шийднэ:

Гурвалжин бол тэгш өнцөгт юм! Бид өндрийг зурдаг (энэ нь анхаарлын төвд байгаа бөгөөд үүний тусламжтайгаар бүх зүйлийг одоо шийдэх болно).

Одоо "бид амьдралаас устгана", бид зөвхөн авч үзэх болно.

Тиймээс, бидэнд байна:

Бид косинусын хүснэгтийн утгыг санаж байна (эсвэл хууран мэхлэх хуудсыг харна уу ...)

Энэ нь олох хэвээр байна: .

Хариулт: .

Бид энд байгааг анхаарна уу маштэгш өнцөгт гурвалжин ба "хүснэгт" синус, косинусын талаар шаардлагатай мэдлэг. Маш олон удаа ийм зүйл тохиолддог: "Исоскелийн гурвалжин" гэсэн сэдвүүд болон оньсого тоглоомууд нь багцалсан байдаг, гэхдээ тэдгээр нь бусад сэдвүүдэд тийм ч таатай байдаггүй.

Хоёр талт гурвалжин. Дундаж түвшин.

Эдгээр хоёр тэнцүү талдуудсан талууд, a Гурав дахь тал нь тэгш өнцөгт гурвалжны суурь юм.

Зургийг харна уу: ба - талууд, - ижил өнцөгт гурвалжны суурь.

Яагаад ийм болсныг нэг зургаас харцгаая. Нэг цэгээс өндрийг зур.

Энэ нь бүх холбогдох элементүүд тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Бүх зүйл! Нэг цохилтоор (өндөр) бүх мэдэгдлүүд нэг дор нотлогдов.

Мөн та санаж байна: ижил өнцөгт гурвалжны асуудлыг шийдэхийн тулд өндрийг тэгш өнцөгт гурвалжны суурь хүртэл буулгаж, хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваах нь ихэвчлэн ашигтай байдаг.

Хоёр талт гурвалжны шинж тэмдэг

Эсрэг заалтууд нь бас үнэн юм:

Эдгээр бараг бүх мэдэгдлийг "нэг цохилтоор" дахин нотлох боломжтой.

1. Тэгэхээр v нь тэнцүү ба болж хувирав.

Өндөрийг нь авцгаая. Дараа нь

2. a) Одоо гурвалжинг оруул ижил өндөр ба биссектрис.

2. b) Хэрэв өндөр ба медиан ижил байвал? Бүх зүйл бараг адилхан, илүү төвөгтэй зүйл байхгүй!

- хоёр хөл дээр

2. в) Гэхдээ өндөр байхгүй бол, энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны суурь хүртэл доошилсон бол эхлээд тэгш өнцөгт гурвалжин байхгүй болно. Муу!

Гэхдээ үүнээс гарах арга зам бий - үүнийг дараагийн онолын түвшинд уншаарай, учир нь энд нотолгоо нь илүү төвөгтэй байдаг, гэхдээ одоохондоо хэрэв медиан ба биссектрис давхцвал гурвалжин нь мөн адил тэгш өнцөгт байх болно гэдгийг санаарай. эдгээр биссектриса болон медиантай давхцаж байна.

Нэгтгэн дүгнэхэд:

1. Хэрэв гурвалжин нь тэгш өнцөгт байвал суурийн өнцөг нь тэнцүү бөгөөд суурь руу татсан өндөр, биссектриса, медиан нь ижил байна.
2. Хэрэв зарим гурвалжинд хоёр тэнцүү өнцөг байгаа эсвэл гурван шулууны хоёр нь (биссектрис, медиан, өндөр) давхцаж байвал ийм гурвалжин нь тэгш өнцөгт болно.

Хоёр талт гурвалжин. Товч тайлбар ба үндсэн томъёо

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь хоёр тал нь тэнцүү гурвалжин юм.

Хоёр талт гурвалжны шинж тэмдэг:

1. Хэрэв гурвалжин хоёр тэнцүү өнцөгтэй бол энэ нь тэгш өнцөгт болно.
2. Хэрэв ямар нэгэн гурвалжин давхцаж байвал:
   а) өндөр ба биссектрисэсвэл
   б) өндөр ба дундажэсвэл
   онд) медиан ба биссектриса,
   нэг талдаа зурсан бол ийм гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш сайхан байна.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь ямар нэг зүйлийг бие даан эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг олж мэдсэн. Би давтан хэлье, энэ бол ... энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Шалгалтаа амжилттай өгч, дээд сургуульд төсвөөр элсэх, хамгийн гол нь насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье ...

Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь ... илүү аз жаргалтай байхын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДЭВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА ДҮҮРГЭЭРЭЙ.

Шалгалтанд танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно асуудлыг цаг тухайд нь шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (ОЛОН!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл үүнийг цаг тухайд нь хийхгүй байх болно.

Энэ нь спорттой адил юм - итгэлтэй ялахын тулд олон удаа давтах хэрэгтэй.

Та хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!

Та манай даалгавруудыг (шаардлагагүй) ашиглаж болно, бид мэдээж зөвлөж байна.

Бидний даалгаврын тусламжтайгаар гар хүрэхийн тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг тайлах -
2. Хичээлийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 899 рубль

Тийм ээ, бид сурах бичигт 99 ийм нийтлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын туршид олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онолоор бүү зогс.

"Ойлголоо", "Би яаж шийдэхээ мэднэ" гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг олж, шийдээрэй!

Хоёр талт гурвалжинхоёр талын урт нь хоорондоо тэнцүү гурвалжин юм.

Анхаарна уу. Тэгш өнцөгт гурвалжны тодорхойлолтоос харахад жирийн гурвалжин нь мөн адил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь эсрэгээрээ үнэн биш гэдгийг санах нь зүйтэй.

Хоёр талт гурвалжны шинж чанарууд

Дараах шинж чанаруудыг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Тэд олонд танигдсан тул тайлбар хийх шаардлагагүй гэж ойлгодог. Тиймээс, даалгаврын бичвэрт тэдгээрийн талаархи ишлэлийг орхигдуулсан болно.

• булангууд тэнцүүөөр хоорондоо.
• Биссектрис, медиан ба өндөргурвалжны тэгш талуудын эсрэг талын өнцгөөс зурсан, тэнцүүөөр хоорондоо.
• Бисектрис, медиан ба өндөр, суурь руу татсан, таарахөөр хоорондоо.
• Бичсэн ба хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүдөндөрт хэвтэх, биссектрис ба медиан (тэдгээр нь давхцаж байна) суурь руу зурна.
• булангуудтэгш өнцөгт гурвалжны тэгш талуудын эсрэг талд, үргэлж хурц.

Адил өнцөгт гурвалжны талуудыг тэдгээрийн уртыг бусад талууд болон өнцгөөр илэрхийлсэн томьёо ашиглан тооцоолж болно, тэдгээрийн хэмжээ нь мэдэгдэж байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хажуу тал нь суурийн өнцгийн давхар косинусаар суурийг хуваах коэффициенттэй тэнцүү байна (Формула 1). Косинусын теоремоос энгийн хувиргах замаар энэ ижил төстэй байдлыг олж авч болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь нь хажуу тал ба квадрат язгуурын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд орой дээрх өнцгийн косинусын зөрүү ба нэгдлийн зөрүү хоёр дахин их байна (Формула 2)

Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь нь орой дээрх өнцгийн хагас ба хажуугийн синусыг хоёр дахин үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. (Формула 3)

Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь нь хажуу тал ба түүний суурийн өнцгийн косинусын үржвэрийн хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна (Формула 4).

Адил өнцөгт гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиус

Томъёо дахь тэмдэглэгээг дээрх зургаас харж болно. Адил өнцөгт гурвалжны бичээстэй тойргийн радиусыг суурь ба тал бүрийн утгуудад үндэслэн олж болно. (Формула 1) Адил өнцөгт гурвалжны бичээстэй тойргийн радиусыг суурийн утга ба энэ суурийн өндрийг үндэслэн тодорхойлж болно (Формула 2) Мөн адил тэгш өнцөгт гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг хажуу талын урт ба гурвалжны суурь руу татсан өндрөөр тооцоолж болно (Формула 3) Хажуу талуудын хоорондох өнцөг ба суурийн уртыг мэдэх нь бичээстэй тойргийн радиусыг тодорхойлох боломжийг олгодог (Формула 4) Үүнтэй төстэй томьёо (5) нь хажуугийн дундуур бичээстэй тойргийн радиус ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Хоёр талт гурвалжны шинж тэмдэг

Дараах шинж чанаруудыг агуулсан гурвалжин юм тэгш өнцөгт.

• Гурвалжны хоёр өнцөг тэнцүү байна
• Өндөр нь дундажтай ижил байна
• Өндөр нь биссектристэй давхцдаг
• Биссектриса нь медиантай ижил байна
• Хоёр өндөр тэнцүү байна
• Хоёр медиан тэнцүү байна
• Хоёр биссектриса тэнцүү байна

Хоёр талт гурвалжны талбай

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг дараах томъёогоор олно.

,
хаана
а- гурвалжны хоёр тэнцүү талуудын аль нэгнийх нь урт
б- үндсэн урт
α - суурийн хоёр тэнцүү өнцгийн аль нэгийн утга

β - гурвалжны тэгш талууд ба суурийн эсрэг талын хоорондох өнцөг.