Тойргийн сегментийн талбай. Тойргийн геометр Тойргийн сегментийн талбайн радиус ба өндрөөр

Талбайн математикийн үнэ цэнийг тэр цагаас хойш мэддэг болсон эртний Грек. Тэр ч байтугай тэр алс холын үед Грекчүүд талбай нь бүх талаараа хаалттай контураар хязгаарлагддаг гадаргуугийн тасралтгүй хэсэг гэдгийг олж мэдсэн. Энэ бол квадрат нэгжээр хэмжигдэх тоон утга юм. Талбай нь хавтгай геометрийн дүрс (планиметр) ба орон зай дахь биеийн гадаргуугийн (эзэлхүүний) тоон үзүүлэлт юм.

Одоогийн байдлаар энэ нь зөвхөн сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт геометр, математикийн хичээлээс гадна одон орон судлал, өдөр тутмын амьдрал, барилга байгууламж, зураг төсөл боловсруулах, үйлдвэрлэл болон бусад олон сэдвээр олддог. Бид сегментийн талбайг тооцоолохдоо ихэвчлэн ашигладаг хувийн талбайландшафтын талбайг төлөвлөх эсвэл хэт орчин үеийн өрөөний дизайны засварын ажлын явцад. Тиймээс янз бүрийн талбайг тооцоолох аргын талаархи мэдлэг нь үргэлж, хаа сайгүй хэрэг болно.

Дугуй ба бөмбөрцөг сегментийн талбайг тооцоолохын тулд тооцоолох явцад шаардлагатай геометрийн нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй.

Юуны өмнө, тойргийн сегмент нь тойргийн нум ба түүнийг таслах хөвчний хооронд байрладаг дугуй хэлбэрийн хавтгай дүрсний хэлтэрхий юм. Энэ ойлголтыг салбарын тоотой андуурч болохгүй. Эдгээр нь огт өөр зүйл юм.

Хөвч нь тойрог дээр байрлах хоёр цэгийг холбосон сегмент юм.

Төвийн өнцөг нь хоёр сегментийн хооронд үүсдэг - радиус. Энэ нь түүний тулгуурласан нумаар хэмжигддэг.

Хэсэг нь ямар нэг хавтгайгаар таслагдах үед бөмбөрцгийн сегмент үүснэ. Энэ тохиолдолд бөмбөрцөг сегментийн суурь нь тойрог, өндөр нь тойргийн төвөөс гадаргуутай огтлолцох цэг хүртэлх перпендикуляр юм. бөмбөрцгийн. Энэ огтлолцлын цэгийг бөмбөгний сегментийн орой гэж нэрлэдэг.

Бөмбөрцгийн сегментийн талбайг тодорхойлохын тулд та бөмбөрцөг сегментийн зүсэлтийн тойрог ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Эдгээр хоёр бүрэлдэхүүн хэсгийн үржвэр нь бөмбөрцгийн сегментийн талбай байх болно: S=2πRh, h нь сегментийн өндөр, 2πR нь тойрог, R нь том тойргийн радиус юм.

Тойргийн сегментийн талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглаж болно.

1. Сегментийн талбайг хамгийн их хэмжээгээр олох энгийн аргаар, сегментийг бичсэн секторын талбай ба сегментийн хөвч нь суурь болох ялгааг тооцоолох шаардлагатай: S1 = S2-S3, S1 нь сегментийн талбай, S2 нь салбарын талбай, S3 нь гурвалжны талбай юм.

Та дугуй сегментийн талбайг тооцоолох ойролцоо томъёог ашиглаж болно: S = 2/3 * (a * h), a нь гурвалжны суурь эсвэл h нь сегментийн өндөр бөгөөд үр дүн юм. тойргийн радиусын ялгаа ба

2. Хагас тойргоос ялгаатай сегментийн талбайг дараах байдлаар тооцоолно: S = (π R2:360)*α ± S3, энд π R2 нь тойргийн талбай, α нь тойргийн сегментийн нумыг агуулсан төв өнцгийн градусын хэмжүүр, S3 нь хоёр радиусын хооронд үүссэн гурвалжны талбай юм. тойргийн төв цэгт өнцөгтэй, тойрогтой радиусуудын хүрэлцэх цэгүүдэд хоёр оройтой тойрог ба хөвч.

Хэрэв өнцөг α бол< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 градус, нэмэх тэмдэг тавьсан.

3. Та тригонометрийг ашиглан өөр аргыг ашиглан сегментийн талбайг тооцоолж болно. Дүрмээр бол гурвалжинг үндэс болгон авдаг. Хэрэв төвийн өнцгийг градусаар хэмжвэл дараах томъёог зөвшөөрнө: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, R2 нь тойргийн радиусын квадрат, α нь төв өнцгийн хэмжүүр.

4. Тригонометрийн функцийг ашиглан сегментийн талбайг тооцоолохын тулд төв өнцгийг радианаар хэмжсэн өөр томьёог ашиглаж болно: S= R2 * (α - sin α)/2, энд R2 нь квадратын квадрат юм. тойргийн радиус, α нь градусын хэмжүүрийн төв өнцөг юм.

• 01.10.2018

  ESP8266 (ESP-12e) чиптэй NodeMcu v3 wi-fi модуль дээр үндэслэн та (жишээлбэл) 18B20 тоон мэдрэгч дээр термометр хийж болно, GET хүсэлтийг ашиглан MySQL мэдээллийн сан руу илгээнэ. Дараах тойм зураг нь танд GET хүсэлтийг илгээх боломжийг олгоно заасан хуудас, миний хувьд энэ нь test.php юм. #оруулна #оруулна …

• 22.09.2014

  R7 фоторезистороор хянагддаг, хүйтэн, дунд зэргийн хүйтэн уур амьсгалтай хатуу ширүүн нөхцөлд ажиллах зориулалттай автомат суурин бүдэгрүүлэгч. орчин-25-аас +45 хэм хүртэл, харьцангуй чийгшил+20 0С температурт агаар 85% хүртэл, атмосферийн даралт 200...900 мм м.у.б. Бүдгэрүүлэгч нь тухайн хүний ​​гэрэлтүүлгийг зохицуулахад ашиглагддаг...

• 25.09.2014

  Засварын ажлын явцад утсыг гэмтээхгүйн тулд далд утсыг илрүүлэх төхөөрөмжийг ашиглах шаардлагатай. Уг төхөөрөмж нь зөвхөн далд утаснуудын байршлыг төдийгүй далд утсанд гэмтэл учруулах байршлыг илрүүлдэг. Төхөөрөмж нь аудио давтамжийн өсгөгч бөгөөд энэ нь оролтын эсэргүүцлийг нэмэгдүүлэхэд ашиглагддаг талбайн нөлөөллийн транзистор. Оп-amp-ийн хоёр дахь шатанд. Мэдрэгч - ...

• 03.10.2014

  Санал болгож буй төхөөрөмж нь богино залгааны хамгаалалттай 24В хүртэл хүчдэл ба 2А хүртэл гүйдлийг тогтворжуулдаг. Тогтворжуулагчийг тогтворгүй асаах тохиолдолд автономит импульсийн генераторын синхрончлолыг ашиглах шаардлагатай (Зураг 1). 2. Тогтворжуулагчийн хэлхээг 1-р зурагт үзүүлэв. VT1 VT2 дээр Schmitt гохыг угсарсан бөгөөд энэ нь хүчирхэг зохицуулагч VT3 транзисторыг хянадаг. Дэлгэрэнгүй: VT3 нь дулаан шингээгчээр тоноглогдсон...

Тойрог, түүний хэсгүүд, тэдгээрийн хэмжээ, харилцаа холбоо нь үнэт эдлэлийн хүн байнга тулгардаг зүйл юм. Бөгж, бугуйвч, каст, хоолой, бөмбөлөг, спираль - маш олон дугуй хэлбэртэй зүйлийг хийх хэрэгтэй. Та энэ бүхнийг яаж тооцоолох вэ, ялангуяа сургуульдаа геометрийн хичээл алгасах аз тохиосон бол?..

Эхлээд тойрог ямар хэсгүүдтэй, юу гэж нэрлэгддэгийг харцгаая.

• Тойрог нь тойрог доторх шугам юм.
• Нуман бол тойргийн нэг хэсэг юм.
• Радиус гэдэг нь тойргийн төвийг тойргийн дурын цэгтэй холбосон хэрчим юм.
• Хөвч нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент юм.
• Сегмент нь хөвч ба нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.
• Сектор гэдэг нь хоёр радиус ба нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.

Бидний сонирхож буй тоо хэмжээ, тэдгээрийн тэмдэглэгээ:

Одоо тойргийн хэсгүүдтэй холбоотой ямар асуудлыг шийдэх ёстойг харцгаая.

• Бөгжний (бугуйвч) аль ч хэсгийн хөгжлийн уртыг ол. Диаметр ба хөвчийг (сонголт: диаметр ба төв өнцөг) өгөгдсөн бол нумын уртыг ол.
• Онгоц дээр зураг байгаа тул та нуман хэлбэрээр нугасны дараа түүний хэмжээг проекцоор олж мэдэх хэрэгтэй. Нумын урт ба диаметрийг өгснөөр хөвчний уртыг ол.
• Хавтгай бэлдэцийг нуман хэлбэрээр нугалахад олж авсан хэсгийн өндрийг олоорой. Эх сурвалжийн өгөгдлийн сонголтууд: нумын урт ба диаметр, нумын урт ба хөвч; сегментийн өндрийг ол.

Амьдрал танд өөр жишээ өгөх болно, гэхдээ би зөвхөн бусад бүх зүйлийг олохын тулд зарим хоёр параметрийг тохируулах шаардлагатайг харуулахын тулд эдгээрийг өгсөн. Энэ бол бидний хийх зүйл юм. Тухайлбал, бид сегментийн таван параметрийг авна: D, L, X, φ ба H. Дараа нь тэдгээрээс боломжит бүх хосыг сонгоод бид тэдгээрийг анхны өгөгдөл гэж үзэж, бусад бүх зүйлийг оюуны довтолгоогоор олох болно.

Уншигчдад шаардлагагүй дарамт учруулахгүйн тулд би нарийн шийдлийг өгөхгүй, зөвхөн үр дүнг томъёо хэлбэрээр танилцуулах болно (албан ёсны шийдэл байхгүй тохиолдолд би энэ талаар ярилцах болно).

Бас нэг тэмдэглэл: хэмжлийн нэгжийн тухай. Төв өнцгөөс бусад бүх хэмжигдэхүүнийг ижил хийсвэр нэгжээр хэмждэг. Энэ нь жишээлбэл, хэрэв та нэг утгыг миллиметрээр зааж өгсөн бол нөгөөг нь сантиметрээр зааж өгөх шаардлагагүй бөгөөд үр дүнгийн утгыг ижил миллиметрээр (мөн квадрат миллиметрээр) хэмжинэ гэсэн үг юм. Инч, фут, далайн милийн талаар мөн адил хэлж болно.

Бүх тохиолдолд зөвхөн төв өнцгийг градусаар хэмждэг бөгөөд өөр юу ч биш. Учир нь дугуй хэлбэртэй ямар нэг зүйлийг зохион бүтээдэг хүмүүс өнцгийг радианаар хэмжих хандлагатай байдаггүй. "Өнцөг пи дөрөв" гэсэн хэллэг нь олныг төөрөлдүүлдэг бол "дөчин таван градусын өнцөг" нь ердийнхөөс ердөө тавхан градусаар өндөр байдаг тул хүн бүрт ойлгомжтой байдаг. Гэсэн хэдий ч бүх томъёонд завсрын утга болох өөр нэг өнцөг - α байх болно. Энэ нь радианаар хэмжигддэг төв өнцгийн хагас нь гэсэн утгыг илэрхийлдэг боловч та энэ утгыг сайтар судалж чадахгүй.

1. D диаметр ба нумын урт L өгөгдсөн

; хөвчний урт ;
сегментийн өндөр ; төв өнцөг .

2. Өгөгдсөн D диаметр ба хөвчний урт X

; нумын урт;
сегментийн өндөр ; төв өнцөг .

Хөвч нь тойргийг хоёр сегмент болгон хуваадаг тул энэ асуудал нэг биш, хоёр шийдэлтэй байна. Хоёрдахь өнцгийг авахын тулд дээрх томьёо дахь α өнцгийг өнцгөөр солих хэрэгтэй.

3. D диаметр ба төвийн өнцөг φ өгөгдсөн

; нумын урт;
хөвчний урт ; сегментийн өндөр .

4. H сегментийн D диаметр ба өндрийг өгөгдсөн

; нумын урт;
хөвчний урт ; төв өнцөг .

6. Өгөгдсөн нумын урт L ба төвийн өнцөг φ

; диаметр;
хөвчний урт ; сегментийн өндөр .

8. Хөвчний урт X ба төвийн өнцөг φ өгөгдсөн

; нумын урт ;
диаметр; сегментийн өндөр .

9. Х хөвчний урт ба H сегментийн өндрийг өгөгдсөн

; нумын урт ;
диаметр; төв өнцөг .

10. Төвийн өнцөг φ ба H сегментийн өндрийг өгөв

; диаметр ;
нумын урт; хөвчний урт .

Анхааралтай уншигч намайг хоёр сонголтыг алдсаныг анзаарахгүй байж чадсангүй.

5. Өгөгдсөн нумын урт L ба хөвчний урт X

7. L нумын урт ба H сегментийн өндрийг өгөгдсөн

Эдгээр нь асуудалд томъёо хэлбэрээр бичиж болох шийдэлгүй хоёр таагүй тохиолдол юм. Мөн даалгавар нь тийм ч ховор биш юм. Жишээлбэл, та L урттай хавтгай хэсэгтэй бөгөөд урт нь X (эсвэл өндөр нь H) болохын тулд нугалахыг хүсч байна. Би ямар диаметртэй мандал (хөндлөвч) авах ёстой вэ?

Энэ асуудал нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ирдэг.
; - 5-р хувилбарт
; - 7-р хувилбарт
мөн тэдгээрийг аналитик аргаар шийдвэрлэх боломжгүй ч программын аргаар хялбархан шийдэж болно. Мөн би ийм програмыг хаанаас авахаа мэддэг: яг энэ сайт дээр, нэрийн дор. Миний энд урт удаан хэлж байгаа бүх зүйлийг тэр микросекундэд хийдэг.

Зургийг дуусгахын тулд бидний тооцооллын үр дүнд тойрог, талбайн гурван утгыг нэмнэ үү - тойрог, салбар, сегмент. (Бүх дугуй ба хагас дугуй хэсгүүдийн массыг тооцоолоход талбайнууд бидэнд маш их туслах болно, гэхдээ энэ талаар тусдаа өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.) Эдгээр бүх хэмжигдэхүүнийг ижил томъёогоор тооцоолно.

тойрог;
тойргийн талбай ;
салбарын бүс ;
сегментийн талбай ;

Эцэст нь хэлэхэд туйлын оршин тогтнох тухай дахин сануулъя үнэгүй програм, дээрх бүх тооцооллыг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь арктангенс гэж юу болох, түүнийг хаанаас хайхаа санахаас чөлөөлнө.

Тойргийн сегментийг тодорхойлох

Сегментнь дугуйны нэг хэсгийг хөвчөөр таслах замаар олж авсан геометрийн дүрс юм.

Онлайн тооцоолуур

Энэ зураг нь хөвч ба тойргийн нумын хооронд байрладаг.

Энэ бол тойрог дотор байрлах сегмент бөгөөд түүн дээр дур мэдэн сонгосон хоёр цэгийг холбосон сегмент юм.

Тойргийн хэсгийг хөвчөөр таслахдаа та хоёр дүрсийг авч үзэж болно: энэ бол бидний сегмент ба тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд талууд нь тойргийн радиус юм.

Сегментийн талбайг тойргийн секторын талбайн хоорондын зөрүү ба энэ байдлаар олж болно тэгш өнцөгт гурвалжин.

Сегментийн талбайг хэд хэдэн аргаар олж болно. Тэднийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Тойргийн радиус ба нумын урт, гурвалжны өндөр ба суурийг ашиглан тойргийн сегментийн талбайн томъёо

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ​ ⋅ R⋅s -2 1 ​ ⋅ h⋅а

Р Р Р- тойргийн радиус;
s s с- нумын урт;
h h h- тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр;
a a а- энэ гурвалжны суурийн урт.

Тойрог өгвөл түүний радиус нь тоон хувьд 5 (см), гурвалжны суурь руу татсан өндөр нь 2 (см), нумын урт нь 10 (см) -тэй тэнцүү байна. Тойргийн сегментийн талбайг ол.

Шийдэл

R=5 R=5 R =5
h = 2 h=2 h =2
s = 10 s = 10 s =1 0

Талбайг тооцоолохын тулд бид зөвхөн гурвалжны суурь хэрэгтэй. Үүнийг томъёогоор олъё:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h )​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Одоо та сегментийн талбайг тооцоолж болно:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\f (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ​ ⋅ R⋅s -2 1 ​ ⋅ h⋅a =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (кв талбайг үзнэ үү)

Хариулт: 17 см кв.

Тойргийн радиус ба төвийн өнцгийг харгалзан тойргийн сегментийн талбайн томъёо

S = R 2 2 ⋅ (α − нүгэл ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\альфа-\sin(\альфа))S=2 Р 2 ​ ⋅ (α − нүгэл(α))

Р Р Р- тойргийн радиус;
α\альфа α - хөвчийг суллаж буй хоёр радиусын хоорондох төв өнцөг; радианаар хэмждэг.

Тойргийн радиус 7 (см), төв өнцөг нь 30 градус байвал тойргийн сегментийн талбайг ол.

Шийдэл

R=7 R=7 R =7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Эхлээд өнцгийг градусаар радиан болгон хөрвүүлье. Учир нь π\pi π Радиан нь 180 градустай тэнцүү, тэгвэл:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi) )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ радиан. Дараа нь сегментийн талбай нь:

S = R 2 2 ⋅ (α − нүгэл ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − нүгэл ⁡ (π 6)) ≈ 0.57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\ойролцоогоор 0.57S=2 Р 2 ​ ⋅ (α − sin(α)) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − нүгэл ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (кв талбайг үзнэ үү)

Хариулт: 0.57 см кв.