Všetky vety a vzorce teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky sú odvodené z axióm teórie pravdepodobnosti. Táto kapitola definuje podmienenú pravdepodobnosť a dokazuje najčastejšie používané vety a vzorce založené na podmienených pravdepodobnostiach. Zavádza sa pojem nezávislosti udalostí, ktorý sa potom používa v schéme po sebe nasledujúcich nezávislých pokusov, a uvádza sa opis Markovovej schémy so závislými pokusmi.
PODMIENENÉ PRAVDEPODOBNOSTI
V § 1.1 bol odvodený vzorec podmienenej pravdepodobnosti pre klasickú schému. Vo všeobecnom prípade tento vzorec slúži ako definícia podmienenej pravdepodobnosti udalosti ALE za predpokladu, že došlo k udalosti AT, P(B) > 0.
Definícia 2.1. Podmienená pravdepodobnosť udalosti ALE vzhľadom na to AT
Definícia 2.2. Udalosť ALE nezávisí od udalosti AT, ak
Nezávislosť udalostí je vzájomná, t.j. ak udalosť ALE nezávisí od AT, potom udalosť AT nezávisí od ALE. V skutočnosti pri použití definícií 2.1 a 2.2 P(A) > 0 máme:
Definícia 2.1 zahŕňa nasledujúci vzorec pre násobenie pravdepodobností:
V prípade nezávislých udalostí sa pravdepodobnosť vzniku udalostí rovná súčinu ich pravdepodobností:
Definícia 2.3. Diania A, A 2 ,..., ALE" tvoria ucelenú skupinu dejov, ak sú párovo nezlučiteľné a spolu tvoria spoľahlivý dej, t.j. 
Platí nasledujúca veta o celkovej pravdepodobnosti.
Veta 2.1. Ak udalosti A a ..., A„, P(A)> 0 tvorí kompletnú skupinu udalostí, potom pravdepodobnosť udalosti AT možno reprezentovať ako súčet súčinov nepodmienených pravdepodobností udalostí celej skupiny a podmienených pravdepodobností udalosti AT:
Kompletné skupinové akcie ALE" ..., ALE" sú párovo nekompatibilné, preto sú párovo nekompatibilné aj ich produkty (priesečníky) s udalosťou AT, tie. diania AT P A/, B PL, at i Ф j nezlučiteľné. Od udalosti AT môže byť reprezentovaný ako
potom, aplikujúc na tento rozklad udalosti AT axióma sčítania pravdepodobností, máme: 
Použitím vzorca na násobenie pravdepodobností (2.1.1) pre každý člen nakoniec dostaneme:
Požiadavku, aby udalosti A tvorili ucelenú skupinu udalostí, možno nahradiť slabšou: udalosti vo dvojiciach
ale nepretínajú sa Bcz^A r Navyše na základe axiómy počítania
aditivity, veta o celkovej pravdepodobnosti môže byť rozšírená aj na spočítateľnú množinu párových disjunktných udalostí ALE,-,
P(A,)> 0, tfcQ/l, :
Zo vzorca celkovej pravdepodobnosti (2.1.3) je ľahké získať Bayesov vzorec: pre udalosť AT s P(B)> 0 a pre systém je párovo nekompatibilný
závan udalostí A „ P(A,) > 0, BcJ A,.,
Aplikovaním vzorcov podmienenej pravdepodobnosti a násobenia pravdepodobností máme:
teraz nahrádza pravdepodobnosť udalosti AT pomocou vzorca celkovej pravdepodobnosti získame vzorec (2.1.5).
Pravdepodobnosti P(A,) udalosti A, tzv predchádzajúce pravdepodobnosti, tie. pravdepodobnosti udalostí pred experimentom a podmienené pravdepodobnosti týchto udalostí P(A,!B) - a posteriori tie. objasnené v dôsledku skúsenosti, ktorej výsledkom bola podoba udalosti AT.
Príklad 2.1.Výpočet podľa vzorcaaplná pravdepodobnosť a bayesovská
Spoločnosť vyrába produkty určitého druhu na troch výrobných linkách. Prvá linka vyrába 20% výrobkov z celkového objemu ich výroby, druhá - 30%, tretia - 50%. Každý z radov je charakterizovaný nasledujúcimi percentami trvanlivosti produktu: 95, 98 a 97 %. Je potrebné určiť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný výrobok vyrobený podnikom bude chybný, ako aj pravdepodobnosť, že tento chybný výrobok bude vyrobený na prvom, druhom a treťom riadku.
rozhodnutie. Označiť podľa A „ L 2, A) udalosti spočívajúce v tom, že náhodne vybraný výrobok sa vyrába v prvom, druhom a treťom rade. Podľa podmienok problému P(A,) = 0,2; P(A2) = 0,3; P(A)) = 0,5 a tieto udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí, keďže sú párovo nekompatibilné, t.j. P(A,) + R(L 2) + P(L 3) = 1.
Označiť podľa AT udalosť, pri ktorej sa náhodne vybratý výrobok ukáže ako chybný. Podľa podmienok problému P(B/At) = = 0,05; P (B / A 2) \u003d 0,02; P (B / A 3) \u003d 0,03.
tie. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný výrobok bude chybný, je 3,1 %.
Apriórne pravdepodobnosti, že náhodne vybraný produkt bol vyrobený na prvom, druhom alebo treťom riadku, sú 0,2, v tomto poradí; 0,3 a 0,5.
Predpokladajme, že v dôsledku experimentu sa náhodne vybratý výrobok ukázal ako chybný; Poďme teraz určiť neskoršie pravdepodobnosti, že tento výrobok je vyrobený na prvom, druhom alebo treťom riadku. Podľa Bayesovho vzorca máme:
Pravdepodobnosť, že náhodne vybratý výrobok, ktorý sa ukázal ako chybný, bol teda vyrobený na prvom, druhom alebo treťom riadku, sa teda rovná 0,322; 0,194; 0,484.
Vzorec na násobenie pravdepodobností (2.1.1) možno rozšíriť na prípad ľubovoľného konečného počtu udalostí:
Definícia 2.4. Diania A b A 2, ..., ALE" sú vzájomne nezávislé, ak pre niektorú zo svojich podmnožín
Ak je táto podmienka splnená len pre k = 2, potom sú udalosti párovo nezávislé.
Kolektívna nezávislosť znamená párovú nezávislosť, ale párová nezávislosť neznamená kolektívnu nezávislosť.
Naučili sme sa tiež riešiť typické problémy s nezávislými udalosťami a teraz bude nasledovať oveľa zaujímavejšie pokračovanie, ktoré umožní nielen zvládnuť nový materiál, ale možno aj poskytne praktickú každodennú pomoc.
Stručne zopakujme, čo je to nezávislosť udalostí: udalosti a sú nezávislé, ak je pravdepodobnosť niektorej z nich nezávisí od vzniku alebo nenastávania inej udalosti. Najjednoduchší príklad- Hádzanie dvoch mincí. Pravdepodobnosť získania hláv alebo chvostov na jednej minci nezávisí od výsledku hodu inej mince.
Pojem závislosti udalostí je vám tiež známy a prišiel rad na to, aby ste sa s nimi podrobne vysporiadali.
Uvažujme najskôr o tradičnom súbore dvoch udalostí: udalosť je závislý ak jej pravdepodobnosť závisí okrem náhodných faktorov aj od výskytu alebo nenastávania udalosti . Pravdepodobnosť udalosti vypočítaná za predpokladu, že udalosť už sa stalo, sa volá podmienená pravdepodobnosť výskyt udalosti a je označený . Zároveň sú akcie tzv závislé udalosti (hoci, prísne vzaté, iba jeden z nich je závislý).
Karty v ruke:
Úloha 1
Z balíčka 36 kariet sa postupne ťahajú 2 karty. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá karta je srdce, ak predtým:
a) červ bol odstránený;
b) bola vytiahnutá karta inej farby.
rozhodnutie: zvážte udalosť: - druhá karta bude srdce. Je celkom jasné, že pravdepodobnosť tejto udalosti závisí od toho, či bol červ vytiahnutý skôr alebo nie.
a) Ak bolo srdce prvýkrát vytiahnuté (udalosť), v balíčku zostalo 35 kariet, medzi ktorými je teraz 8 kariet farby srdca. Autor: klasická definícia:
vzhľadom na tože pred tým bol odstránený aj červ.
b) Ak bola najskôr vytiahnutá karta inej farby (udalosť), potom všetkých 9 sŕdc zostalo v balíčku. Autor: klasická definícia:
je pravdepodobnosť, že druhá karta je srdce vzhľadom na tože predtým bola vytiahnutá karta inej farby.
Všetko je logické - ak je pravdepodobnosť kreslenia sŕdc z plného balíčka 
, potom pri vytiahnutí ďalšej karty sa rovnaká pravdepodobnosť zmení: v prvom prípade sa zníži 
(pretože je menej sŕdc) a v druhom sa zvýši: 
(pretože všetky srdcia zostali v balíčku).
Odpoveď:
Závislých udalostí môže byť samozrejme viac. Kým úloha nevychladla, dodajme ešte jednu vec: - tretia karta vytiahne červa. Predpokladajme, že udalosť sa stala a potom udalosť ; potom v balíčku zostalo 34 kariet vrátane 7 sŕdc. Autor: klasická definícia:
- pravdepodobnosť výskytu udalosti vzhľadom na tože predtým boli extrahované dve srdcia.
Pre samotréning:
Úloha 2
Obálka obsahuje 10 žrebov, z toho 3 výherné. Lístky sa postupne vyberajú z obálky. Nájdite pravdepodobnosť, že:
a) 2. vyžrebovaný tiket bude výherný, ak bol 1. výherný;
b) 3. vyhrá, ak vyhrávajú predchádzajúce dva tikety;
c) 4. vyhrá, ak vyhrávajú predchádzajúce tikety.
Krátke riešenie s komentárom na konci hodiny.
A teraz venujme pozornosť jednému zásadne dôležitému bodu: v uvažovaných príkladoch bolo potrebné nájsť iba podmienené pravdepodobnosti, pričom predchádzajúce udalosti sa považovali za spoľahlivé. Ale v skutočnosti sú tiež náhodné! Takže pri „zahrievacej“ úlohe je extrahovanie sŕdc z celého balíčka náhodná udalosť, ktorej pravdepodobnosť sa rovná .
V praxi je oveľa častejšie potrebné nájsť pravdepodobnosť spoločný vzhľad závislé udalosti. Ako napríklad nájsť pravdepodobnosť udalosti spočívajúcej v tom, že z plnej paluby budečerv extrahovaný a potom ďalší červ? Odpoveď na túto otázku je
veta o násobení pravdepodobnosti pre závislé udalosti: pravdepodobnosť spoločného výskytu dvoch závislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za predpokladu, že prvá udalosť už nastala:
V našom prípade:
- pravdepodobnosť, že sa z plného balíčka vytiahnu 2 srdcia v rade.
Podobne:
je pravdepodobnosť, že sa najskôr vytiahne karta inej farby a potom červ.
Pravdepodobnosť udalosti sa ukázala byť výrazne väčšia ako pravdepodobnosť udalosti , čo bolo vo všeobecnosti zrejmé bez akýchkoľvek výpočtov.
A, samozrejme, netreba si robiť špeciálne nádeje, že z obálky s desiatimi žrebmi (Úloha 2)žrebujete 3 výherné tikety za sebou:
Stále je to však veľkorysá príležitosť.
Áno, úplne správne - teorém o násobení pravdepodobnosti závislých udalostí sa prirodzene rozširuje na väčší počet z nich.
Materiál fixujeme niekoľkými typickými príkladmi:
Úloha 3
Urna obsahuje 4 biele a 7 čiernych loptičiek. Z urny sa náhodne vylosujú dve loptičky, jedna po druhej, bez toho, aby sa vrátili späť. Nájdite pravdepodobnosť, že:
a) obe loptičky budú biele;
b) obe loptičky budú čierne;
c) najprv sa vytiahne biela guľa a potom čierna.
Všimnite si vysvetlenie „nevracať ich späť“. Tento komentár ďalej zdôrazňuje skutočnosť, že udalosti sú závislé. Čo ak sa extrahované gule vrátia späť? V prípade spätného vzorkovania sa pravdepodobnosti vytiahnutia čiernobielej gule nezmenia a pri takomto probléme sa už treba riadiť multiplikačná veta pre pravdepodobnosti nezávislých udalostí.
rozhodnutie: spolu v urne: 4 + 7 = 11 loptičiek. Choď:
a) Zvážte udalosti - prvá guľa bude biela, - druhá guľa bude biela a nájdite pravdepodobnosť udalosti spočívajúcej v tom, že 1. gulička bude biela. a 2. biela.
Podľa klasickej definície pravdepodobnosti: . Predpokladajme, že je vytiahnutá biela guľa, potom bude urna obsahovať 10 loptičiek, z ktorých 3 sú biele, takže:
je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule v 2. pokuse za predpokladu, že predtým bola vytiahnutá biela guľa.
je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú biele.
b) Nájdite pravdepodobnosť udalosti, ktorá spočíva v tom, že 1. gulička bude čierna a 2. čierna
Podľa klasickej definície: - pravdepodobnosť, že v 1. pokuse padne čierna guľa. Nechajte vytiahnuť čiernu guľu, v urne zostane 10 loptičiek, z ktorých 6 je čiernych, preto: 
je pravdepodobnosť, že v 2. pokuse bude vytiahnutá čierna guľa za predpokladu, že predtým bola vytiahnutá čierna guľa.
Podľa vety o násobení pravdepodobností závislých udalostí: 
je pravdepodobnosť, že obe loptičky sú čierne.
c) Nájdite pravdepodobnosť udalosti (najprv sa vyberie biela guľa a potom čierna)
Po vytiahnutí bielej gule (s pravdepodobnosťou ) zostane v urne 10 guľôčok, z toho 3 biele a 7 čiernych, teda: - pravdepodobnosť, že v 2. teste bude vytiahnutá čierna guľa, za predpokladu, že biela guľa bol nakreslený predtým.
Podľa vety o násobení pravdepodobností závislých udalostí: 
je požadovaná pravdepodobnosť.
Odpoveď: 
Tento problém možno ľahko overiť pomocou sčítacia veta pre pravdepodobnosti udalostí tvoriacich ucelenú skupinu. Na tento účel nájdeme pravdepodobnosť 4. chýbajúcej udalosti: 
– že najprv sa vytiahne čierna guľa a potom biela.
Diania 
tvoria úplnú skupinu, takže súčet ich pravdepodobností sa musí rovnať jednej:
, ktorá mala byť overená.
A hneď navrhujem skontrolovať, ako dobre ste sa naučili prezentovaný materiál:
Úloha 4
Aká je pravdepodobnosť, že sa z balíčka 36 kariet vytiahnu dve esá za sebou?
Úloha 5
Urna obsahuje 6 čiernych, 5 červených a 4 biele loptičky. Tri loptičky sa ťahajú za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že
a) tretia guľa sa ukáže ako biela, ak bola predtým vytiahnutá čierna a červená guľa;
b) prvá guľa bude čierna, druhá - červená a tretia - biela.
Riešenia a odpovede na konci hodiny.
Treba povedať, že mnohé z uvažovaných problémov sú riešiteľné aj inak, ale aby nedošlo k zmätku, snáď o tom pomlčím úplne.
Pravdepodobne si každý všimol, že závislé udalosti sa vyskytujú, keď sa vykonáva určitý reťazec akcií. Postupnosť akcií však sama o sebe nezaručuje závislosť udalostí. Nech študent napríklad náhodne odpovie na otázky nejakého testu - hoci sa tieto udalosti vyskytujú jedna po druhej, neznalosť odpovede na jednu otázku nijako nezávisí od neznalosti iných odpovedí =) Aj keď, samozrejme, existujú vzory tu =) Potom je to úplne jednoduchý príklad s opakovaným hádzaním mince je toto fascinujúci proces dokonca sa to vola: opakované NEZÁVISLÉ testy.
Urobil som, čo bolo v mojich silách, aby som oddialil túto chvíľu a vybral som si rôzne príklady, ale ak sú v úlohách zapnuté multiplikačná veta nezávislých dejov velia strelci, potom je tu poriadna invazia uren s loptičkami =) Preto nie je kam ísť - opäť urna:
Úloha 6
Z urny obsahujúcej 6 bielych a 4 čierne loptičky sa náhodne losujú tri loptičky za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že:
a) všetky tri loptičky budú čierne;
b) budú aspoň dve čierne gule.
rozhodnutie:celkom: 6 + 4 = 10 loptičiek v urne.
V tomto probléme bude príliš veľa udalostí a v tomto ohľade je vhodnejšie použiť zmiešaný štýl dizajnu, ktorý označuje iba hlavné udalosti veľkými latinskými písmenami. Dúfam, že ste už pochopili, ako sa vypočítavajú podmienené pravdepodobnosti.
a) Zvážte udalosť: - všetky tri loptičky budú čierne.
Podľa vety o násobení pravdepodobností závislých udalostí: 
b) Druhý bod je zaujímavejší, zvážte udalosť: - budú aspoň dve čierne gule. Táto udalosť pozostáva z 2 nezlučiteľných výsledkov: buď budú všetky loptičky čierne (udalosť ) alebo 2 loptičky budú čierne a 1 biela - označme poslednú udalosť písmenom .
Udalosť obsahuje 3 nezlučiteľné výsledky:
biela bola extrahovaná v 1. teste a v 2 a v 3. teste - čierne gule
alebo
a v 2. - BS a v 3. - CHS
alebo
v 1. pokuse bola extrahovaná SN a v 2. - CHS a v 3. - BSh.
Tí, ktorí chcú, sa môžu oboznámiť s ťažšími príkladmi z zbierka Chudesenka, v ktorom sa prenáša niekoľko loptičiek. Pre špeciálnych amatérov ponúkam problémy so zvýšenou kombinačnou zložitosťou - s dvoma po sebe nasledujúcimi pohybmi loptičiek z 1. do 2. urny, z 2. na 3. a záverečným vytiahnutím loptičky z poslednej urny - viď posledné úlohy súbor Doplnkové úlohy z teorémov sčítania a násobenia pravdepodobností. Mimochodom, existuje mnoho ďalších zaujímavých úloh.
A na konci tohto článku analyzujeme najkurióznejšiu úlohu, na ktorú som vás navnadil hneď na prvej lekcii =) Nebudeme to ani analyzovať, ale urobíme malý praktický prieskum. Výpočty vo všeobecnej forme budú príliš ťažkopádne, takže uvažujme o konkrétnom príklade:
Peťo robí skúšku z teórie pravdepodobnosti, pričom 20 tiketov pozná dobre a 10 zle. Predpokladajme, že v prvý deň časť skupiny zloží skúšku, napríklad 16 ľudí vrátane nášho hrdinu. Vo všeobecnosti je situácia bolestivo známa: študenti jeden po druhom vstupujú do posluchárne a ťahajú lístky.
Je zrejmé, že postupná extrakcia lístkov je reťazec závislých udalostí a je tu naliehavá situácia otázka: v akom prípade má Peťo väčšiu šancu získať „dobrý“ lístok – ak pôjde „v prvých radoch“, alebo „v strede“, alebo ak bude ťahať lístok medzi poslednými? Kedy je najlepší čas na návštevu?
Najprv si predstavme „experimentálne čistú“ situáciu, v ktorej si Peťo udržiava svoje šance neustále – nedostáva informácie o tom, aké otázky už jeho spolužiaci dostali, nič neštuduje na chodbe, nečaká, kým na neho príde rad atď.
Zvážte nasledujúcu udalosť: – Peťa ako prvý vstúpi do sály a vyžrebuje „dobrý“ lístok. Podľa klasickej definície pravdepodobnosti: 
.
Ako sa zmení pravdepodobnosť vyťaženia úspešného tiketu, ak bude vpredu preskočená vynikajúca študentka Nasťa? V tomto prípade sú možné dve nezlučiteľné hypotézy:
- Nastya vytiahne „dobrý“ (pre Petyu) lístok;
- Nasťa vytiahne "zlý" lístok, t.j. zvýši šance Peťa.
Udalosť (Peter vstúpi ako druhý a vytiahne si „dobrý“ lístok) sa stane závislý.
1) Predpokladajme, že Nastya s pravdepodobnosťou 
„ukradol“ jeden šťastný lístok od Peťy. Potom zostane na stole 29 lístkov, z ktorých 19 je „dobrých“. Podľa klasickej definície pravdepodobnosti:
2) Teraz predpokladajme, že Nasťa s pravdepodobnosťou 
„zachránil“ Peťa z 1. „zlého“ lístka. Potom zostane na stole 29 lístkov, medzi ktorými je ešte 20 „dobrých“. Podľa klasickej definície:
Pomocou teorémov o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľnosti a násobení pravdepodobností závislých udalostí vypočítame pravdepodobnosť, že Petya vytiahne „dobrý“ lístok, ktorý bude druhý v poradí:
Pravdepodobnosť... zostáva rovnaká! Uvažujme o udalosti: - Peťa pôjde ako tretia, nechá Nasťu a Lenu ísť dopredu a vytiahne "dobrý" lístok.
Bude tu viac hypotéz: dámy môžu pána „okradnúť“ o 2 dobré lístky, alebo naopak – zachrániť ho pred 2 zlými, alebo vyťažiť 1 „dobrý“ a 1 „zlý“ lístok. Ak vykonáme podobné úvahy, použijeme rovnaké vety, potom ... dostaneme rovnakú hodnotu pravdepodobnosti!
Čiste z matematického hľadiska, bez ohľadu na to, kedy ísť - počiatočné pravdepodobnosti zostanú nezmenené. ALE. Ide len o priemerný teoretický odhad, takže ak napríklad Peťa pôjde posledný, vôbec to neznamená, že bude mať na výber 10 „dobrých“ a 5 „zlých“ lístkov v súlade so svojimi počiatočnými šancami. Tento pomer sa môže meniť k lepšiemu alebo horšiemu, ale stále je nepravdepodobné, že medzi lístkami bude „jedna pozornosť“ alebo naopak – „pevná hrôza“. Vylúčené síce nie sú ani „unikátne“ prípady – veď nejde o 3 milióny žrebov s takmer nulovou pravdepodobnosťou veľkej výhry. Preto „neuveriteľné šťastie“ alebo „zlý osud“ budú príliš prehnané vyhlásenia. Aj keď Peťa pozná len 3 tikety z 30, tak jeho šance sú 10%, čo je citeľne viac ako nula. A z osobnej skúsenosti vám poviem opačný prípad: na skúške v analytická geometria Vedel som dobre 24 otázok z 28, a tak - na lístku som narazil na dve „zlé“ otázky; Pravdepodobnosť tejto udalosti si vypočítajte sami :)
Matematika a „čistý experiment“ sú dobré, ale akú stratégiu a taktiku je ešte výhodnejšie sledovať v reálnych podmienkach? Samozrejme, treba brať do úvahy subjektívne faktory, napríklad „zľavu“ učiteľa pre „odvážnych“ či jeho únavu do konca skúšky. Často môžu byť tieto faktory dokonca rozhodujúce, ale v záverečnej diskusii sa pokúsim nezohľadňovať ďalšie pravdepodobnostné aspekty:
Ak ste na skúšku dobre pripravení, potom je asi lepšie ísť „v popredí“. Kým sú lístky hotové, postulát „ nepravdepodobné udalosti nenastanú funguje pre vás oveľa viac. Súhlaste s tým, že je oveľa príjemnejšie mať pomer "30 tiketov, z ktorých 2 sú zlé" ako "15 tiketov, z ktorých 2 sú zlé." A to, že dva nevydarené lístky na jedinej skúške (a nie podľa priemerného teoretického odhadu!) tak zostanú na stole – je to celkom a celkom možné.
Zvážte teraz „Petiovu situáciu“ – keď je študent celkom dobre pripravený na skúšku, no na druhej strane ani „pláva“ nie je zlá. Inými slovami, „vie viac ako nevie“. V tomto prípade je vhodné nechať ísť dopredu 5-6 ľudí a počkať na správnu chvíľu mimo publika. Konajte podľa situácie. Čoskoro začnú prichádzať informácie, ktoré lístky si spolužiaci vyžrebovali (opäť závislé udalosti!) , a už nemôžete plytvať energiou na „prehraté“ otázky – naučte sa a opakujte ďalšie tikety, čím zvýšite počiatočnú pravdepodobnosť svojho úspechu. Ak vás „prvá várka“ skúšaných „zachránila“ pred 3-4 ťažkými (pre vás osobne) lístkami naraz, potom je výhodnejšie dostať sa na skúšku čo najskôr - práve teraz sa šance výrazne zvýšili. Snažte sa nepremeškať moment – vpred prešlo len pár ľudí a výhoda sa pravdepodobne rozplynie. Ak je naopak „zlých“ lístkov málo, počkajte. Po niekoľkých ľuďoch je táto „anomália“ opäť veľmi pravdepodobná, ak nezmizne, potom sa vyrovná k lepšiemu. V „bežnom“ a najbežnejšom prípade existuje aj výhoda: rozloženie „24 lístkov / 8 zlých“ bude lepšie ako pomer „30 lístkov / 10 zlých“. prečo? Ťažkých lístkov teraz nie je desať, ale osem! S dvojnásobnou energiou študujeme materiál!
Ak ste pripravení bez ohľadu na to alebo zle, potom je samozrejme lepšie ísť do „posledných radov“ (aj keď sú možné aj originálne riešenia, najmä ak nie je čo stratiť). Je malá, no stále nenulová šanca, že vám zostane relatívne jednoduché otázky+ ďalšie natlačenie + ostruhy od spolužiakov, ktorí odstrelili =) A áno - vo veľmi kritickej situácii je ešte ďalší deň, keď druhá časť skupiny zloží skúšku ;-)
Podmienená pravdepodobnosť udalosti A, keď nastane udalosť B sa nazýva pomer Tu sa predpokladá, že .
Ako rozumné odôvodnenie tejto definície uvádzame, že keď dôjde k udalosti B začína hrať úlohu určitej udalosti, preto musíme vyžadovať, aby . Úloha podujatia A hrá AB, tak to musí byť proporcionálne . (Z definície vyplýva, že koeficient proporcionality je rovnaký.)
Teraz predstavme koncept samostatnosť podujatia.
To znamená: pretože sa udalosť stala B, pravdepodobnosť udalosti A sa nezmenil.
S prihliadnutím na definíciu podmienenej pravdepodobnosti bude táto definícia zredukovaná na vzťah . Tu už nie je potrebné splnenie podmienky vyžadovať . Dostávame sa teda ku konečnej definícii.
Udalosti A a B sa nazývajú nezávislé, ak P(AB)= P(A)P(B).
Posledný vzťah sa zvyčajne berie ako definícia nezávislosti dvoch udalostí.
O niekoľkých udalostiach sa hovorí, že sú kolektívne nezávislé, ak takéto vzťahy platia pre akúkoľvek podmnožinu zvažovaných udalostí. Napríklad tri udalosti A, B a C sa hovorí, že sú kolektívne nezávislé, ak platia tieto štyri vzťahy:
Uvádzame množstvo úloh pre podmienená pravdepodobnosť a nezávislosť udalostí a ich riešenia.
Úloha 21. Jedna karta sa ťahá z celého balíčka 36 kariet. Udalosť A- červená karta B- Eso karta. Budú nezávislí?
rozhodnutie. Po vykonaní výpočtov podľa klasickej definície pravdepodobnosti sme to dostali . To znamená, že udalosti A a B nezávislý.
Problém 22. Vyriešte rovnaký problém pre balíček s odstránenou Pikovou dámou.
rozhodnutie. . Neexistuje žiadna nezávislosť.
Úloha 23. Dvaja ľudia sa striedajú v hádzaní mincou. Ten s erbom ako prvý vyhráva. Nájdite pravdepodobnosti výhry pre oboch hráčov.
rozhodnutie. Môžeme predpokladať, že elementárne udalosti sú konečné postupnosti tvaru (0, 0, 1,…, 0, 1) . Pre postupnosť dĺžky má zodpovedajúca elementárna udalosť pravdepodobnosť Hráč, ktorý začne hádzať mincou ako prvý, vyhrá, ak sa zrealizuje elementárna udalosť pozostávajúca z nepárneho počtu núl a jednotiek. Preto je pravdepodobnosť jeho výhry
Výplata druhého hráča zodpovedá párnemu počtu núl a jednotiek. Je rovnocenný
Z riešenia vyplýva, že hra končí v konečnom čase s pravdepodobnosťou 1 (pretože ).
Úloha 24. Aby ste zničili most, musíte zasiahnuť aspoň 2 bomby. Zhodili 3 bomby. Pravdepodobnosť zasiahnutia bômb je 0, 1, resp. 0,3; 0, 4. Nájdite pravdepodobnosť zničenia mosta.
rozhodnutie. Nech udalosti A, B, C spočívajú v zásahu 1., 2., 3. bomby, resp. Potom k deštrukcii mosta dôjde až vtedy, keď sa udalosť uskutoční. Vzhľadom na to, že členy v tomto vzorci sú párovo nekompatibilné a faktory v členoch sú nezávislé, požadovaná pravdepodobnosť sa rovná
0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.
Úloha 25. Dve nákladné lode musia kotviť v tom istom kotvisku. Je známe, že každý z nich sa môže priblížiť s rovnakou pravdepodobnosťou v ktorýkoľvek moment určitého dňa a musí sa vyložiť 8 hodín. Nájdite pravdepodobnosť, že loď, ktorá dorazila ako druhá, nebude musieť čakať, kým prvá loď dokončí vykládku.
rozhodnutie.Čas budeme merať v dňoch a zlomkoch dňa. Potom elementárne udalosti sú dvojice čísel vypĺňajúce jednotkový štvorec, kde X-čas príchodu prvej lode, r– čas príchodu druhého plavidla. Všetky body štvorca sú rovnako pravdepodobné. To znamená, že pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti (t. j. množiny jednotkového štvorca) sa rovná ploche oblasti zodpovedajúcej tejto udalosti. Udalosť A pozostáva z bodov jednotkového štvorca, pre ktoré platí nerovnosť. Táto nerovnosť zodpovedá skutočnosti, že loď, ktorá dorazila ako prvá, sa stihne vyložiť do príchodu druhej lode. Súbor týchto bodov tvorí dva pravouhlé rovnoramenný trojuholník so stranou 2/3. Celková plocha týchto trojuholníkov je 4/9. Teda, .
Úloha 26. Na skúšku z teórie pravdepodobnosti bolo 34 lístkov. Študent si z ponúkaných lístkov dvakrát vytiahne po jednom lístku (bez vrátenia). Pripravil sa študent len s 30 lístkami? Aká je pravdepodobnosť, že spraví skúšku na prvýkrát "neúspešný» lístok?
rozhodnutie. Náhodný výber spočíva v tom, že jeden tiket sa vyžrebuje dvakrát za sebou a prvý vyžrebovaný tiket sa nevracia. Nechajte udalosť AT spočíva v tom, že prvý vyňatý " neúspešný" vstupenka a podujatie ALE spočíva v tom, že druhý je vyňatý“ úspešný» lístok. Očividne udalosti ALE a AT sú závislé, pretože lístok získaný prvýkrát sa nevráti do zoznamu všetkých lístkov. Je potrebné zistiť pravdepodobnosť udalosti AB.
Podľa vzorca podmienenej pravdepodobnosti; ; , Preto .
Zvážte udalosti A a B spojené s rovnakou skúsenosťou. Nech je z niektorých zdrojov známe, že udalosť B došlo, ale nie je známe, ktorý z elementárnych výsledkov tvoriacich udalosť B, Stalo. Čo možno v tomto prípade povedať o pravdepodobnosti udalosti A?
Pravdepodobnosť udalosti A, vypočítané za predpokladu, že udalosť B sa stalo, je zvykom nazývať podmienenú pravdepodobnosť a označovať P(A|B).
podmienená pravdepodobnosť P(A|B) diania A predmetom udalosti B v rámci klasickej schémy je prirodzené definovať pravdepodobnosť ako pomer NAB výsledky, ktoré podporujú spoločnú realizáciu udalostí A a B, na číslo Pozn výsledky podporujúce podujatie B, t.j
Ak vydelíme čitateľa a menovateľa tohto výrazu celkovým číslom N dostaneme základné výsledky
Definícia. Podmienená pravdepodobnosť udalosti A predmetom udalosti B sa nazýva pomer pravdepodobnosti priesečníka udalostí A a B na pravdepodobnosť udalosti B:
Zároveň sa predpokladá, že P(B) ≠ 0.
Veta. Podmienená pravdepodobnosť P(A|B) má všetky vlastnosti bezpodmienečnej pravdepodobnosti P(A).
Význam tejto vety je, že podmienená pravdepodobnosť je nepodmienená pravdepodobnosť daná na novom priestore Ω 1 elementárne výsledky, ktoré sa zhodujú s udalosťou B.
Príklad. Z urny, v ktorej a=7 biely piesok b=3čierne loptičky, náhodne sa vyžrebujú dve loptičky bez výmeny. Nechajte udalosť A 1 je, že prvá vytiahnutá guľa je biela a A2- druhá guľa je biela. Chcel nájsť P(A 2 |A 1).
Metóda 1.. Podľa definície podmienenej pravdepodobnosti
Metóda 2.. Prejdime do nového priestoru elementárnych výsledkov Ω 1. Od udalosti A 1 sa stalo, to znamená, že v novom priestore elementárnych výsledkov je celkový počet rovnako možných výsledkov NQi=a+b-1=9 a udalosť A2 uprednostňuje to N A 2 \u003d a-1 \u003d 6 výsledky. teda
Veta [násobenie pravdepodobností]. Nechajte udalosť A=A 1 A 2 …A n a P(A)>0. Potom platí rovnosť:
P(A) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2) … P(A n |A 1 A 2 …A n-1).
Komentujte. Z vlastnosti komutativity priesečníka sa dá písať
P(A 1 A 2) = P(A 1) P(A 2 |A 1)
P(A 1 A 2) = P(A 2) P(A 1 |A 2).
Príklad. Na 7 kartičkách sú napísané písmená tvoriace slovo „SLÁVIK“. Karty sa zamiešajú a náhodne sa z nich vyberú tri karty a rozložia sa zľava doprava. Nájdite pravdepodobnosť, že sa získa slovo „VOL“ (udalosť A).
Nechajte udalosť A 1- písmeno "B" je napísané na prvej karte, A2- písmeno "O" je napísané na druhej karte, A2- na tretej karte - písmeno "L". Potom udalosť A- priesečník udalostí A 1, A2, A 3. teda
P(A) = P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2 |A 1) P(A 3 |A 1 A 2).
P(A1) = 1/7; ak udalosť A 1 sa stalo, potom na zostávajúcich 6 kartách sa „O“ vyskytuje dvakrát, čo znamená P(A2 |A1)=2/6=1/3. podobne, P(A3 |A1)=2/6=1/3. teda
Definícia. Diania A a B, ktoré majú nenulovú pravdepodobnosť, sa nazývajú nezávislé, ak je podmienená pravdepodobnosť A vzhľadom na to B sa zhoduje s bezpodmienečnou pravdepodobnosťou A alebo ak je podmienená pravdepodobnosť B vzhľadom na to A sa zhoduje s bezpodmienečnou pravdepodobnosťou B, t.j
P(A|B) = P(A) alebo P(B|A) = P(B),
inak udalosti A a B nazývaný závislý.
Veta. Diania A a B, ktoré majú nenulovú pravdepodobnosť, sú nezávislé vtedy a len vtedy
P(AB) = P(A) P(B).
Môžeme teda poskytnúť ekvivalentnú definíciu:
Definícia. Diania A a B sa nazývajú nezávislé ak P(AB) = P(A) P(B).
Príklad. Z balíčka kariet obsahujúcich n = 36 karty, náhodne sa vytiahne jedna karta. Označiť podľa A udalosť zodpovedajúca skutočnosti, že vyťažená mapa bude vrcholom, a B- udalosť zodpovedajúca vzhľadu "dámy". Zistite, či sú udalosti závislé A a B.
P(A) = 9/36 = 1/4, P(B) = 4/36 = 19, P(AB)=1/36, 
. Preto tie udalosti A a B nezávislý. podobne, 
.
Definícia 1. Udalosť A sa nazýva závislá od udalosti B, ak pravdepodobnosť výskytu udalosti A závisí od toho, či nastala alebo nenastala udalosť B. Pravdepodobnosť, že nastala udalosť A, za predpokladu, že nastala udalosť B, sa bude označovať a nazývať podmienená pravdepodobnosť udalosti. udalosť A za predpokladu, že V.
Príklad 1. Urna obsahuje 3 biele gule a 2 čierne. Z urny sa vyberie jedna loptička (prvé vytiahnutie) a potom druhá (druhé vytiahnutie). Udalosť B – objavenie sa bielej gule pri prvom ťahu. Udalosť A – objavenie sa bielej gule počas druhého ťahania.
Je zrejmé, že pravdepodobnosť udalosti A, ak nastala udalosť B, bude
Pravdepodobnosť udalosti A za predpokladu, že udalosť B nenastala (pri prvom vytiahnutí sa objavila čierna guľa), bude
To vidíme
Veta 1. Pravdepodobnosť kombinácie dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za podmienky, že nastala prvá udalosť, t.j.
Dôkaz. Dôkaz uvedieme pre udalosti, ktoré sú redukované na schému urien (teda v prípade, keď platí klasická definícia pravdepodobnosti).
Nech sú v urne gule, kým biele, čierne. Medzi bielymi guľôčkami nech sú gule označené hviezdičkou, ostatné sú čisto biele (obr. 408).
Z urny sa vyberie jedna lopta. Aká je pravdepodobnosť, že udalosť nakreslí bielu guľu označenú hviezdičkou?
Nech B je udalosť pozostávajúca z objavenia sa (bielej lopty), A je udalosť pozostávajúca z objavenia sa lopty označenej hviezdičkou.
Pravdepodobnosť, že sa biela guľa objaví s hviezdičkou, za predpokladu, že sa objavila biela guľa, bude
Pravdepodobnosť, že sa biela guľa objaví s hviezdičkou, je P(A a B). samozrejme,
Dosadením do (5) ľavých častí výrazov (2), (3) a (4) dostaneme
Rovnosť (1) je dokázaná.
Ak uvažované udalosti nezapadajú do klasickej schémy, potom vzorec (1) slúži na určenie podmienenej pravdepodobnosti. Konkrétne, podmienená pravdepodobnosť udalosti A za podmienky, že nastane udalosť B, sa určí pomocou
Poznámka 1. Aplikujme posledný vzorec na výraz:
V rovnosti (1) a (6) sú ľavé časti rovnaké, pretože ide o rovnakú pravdepodobnosť, a preto sú rovnaké aj pravé časti. Preto môžeme napísať rovnosť
Príklad 2. Pre prípad príkladu 1, ktorý je uvedený na začiatku tejto časti, máme Podľa vzorca (1) získame Pravdepodobnosť P(A a B) možno jednoducho priamo vypočítať.
Príklad 3. Pravdepodobnosť výroby vhodného produktu týmto strojom je 0,9. Pravdepodobnosť výskytu výrobku 1. triedy medzi dobrými výrobkami je 0,8. Určte pravdepodobnosť výroby výrobku 1. triedy týmto strojom.
rozhodnutie. Udalosť B - výroba vhodného výrobku týmto strojom, udalosť A - vzhľad výrobku 1. stupňa. Tu Dosadením do vzorca (1) získame požadovanú pravdepodobnosť
Veta 2. Ak sa udalosť A môže uskutočniť len vtedy, keď nastane jedna z udalostí, ktoré tvoria úplnú skupinu nezlučiteľných udalostí, potom sa pravdepodobnosť udalosti A vypočíta podľa vzorca
Vzorec (8) sa nazýva vzorec celkovej pravdepodobnosti. Dôkaz. Udalosť A môže nastať, keď sa vykoná niektorá z kombinovaných udalostí
Preto vetou o sčítaní dostaneme
Nahradením členov na pravej strane podľa vzorca (1) dostaneme rovnosť (8).
Príklad 4. Na cieľ boli vystrelené tri po sebe idúce výstrely. Pravdepodobnosť zásahu pri prvom výstrele pri druhom pri treťom Pri jednom zásahu pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri dvoch zásahoch , pri troch zásahoch Určite pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa tromi výstrelmi (udalosť A).
