4. STRUKTURA ZEMLJE PREMA SEIZMOLOŠKIM PODACIMA

Osnove teorije elastičnosti: tenzor deformacija, tenzor napona, Hookeov zakon, moduli elastičnosti, homogene deformacije, elastični valovi u izotropnom mediju, Fermatovi, Huygensovi, Snellovi zakoni. Seizmički talasi. Razvoj seizmometrijskih osmatranja: seizmičke stanice i njihove mreže, hodografi, putanje valova unutar Zemlje. Određivanje brzine širenja seizmičkih valova pomoću Hertlots-Wiechertove jednadžbe. Brzine longitudinalnih i poprečnih talasa u funkciji poluprečnika Zemlje. Stanje Zemljine materije prema seizmološkim podacima. Zemljina kora. Litosfera i astenosfera. Seizmologija i globalna tektonika.

Osnove teorije elastičnosti[Landau, Lifshits, 2003, str. 9-25, 130-144]

Tenzor deformacije

Mehanika čvrstih tijela, koja se smatra kontinuiranim medijem, je sadržaj teorija elastičnosti. Osnovne jednačine teorije elastičnosti uspostavio je O.L. Koshy i S.D. Poisson 20-ih godina 19. vijeka (detaljnije vidjeti u 15. poglavlju).

Pod uticajem primenjenih sila, čvrsta tela se u jednom ili drugom stepenu deformišu, tj. mijenjaju njihov oblik i volumen. Da biste matematički opisali deformaciju tijela, postupite na sljedeći način. Položaj svake tačke tijela određen je njegovim radijus vektorom r (sa komponentama x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) u određenom koordinatnom sistemu. Kada je tijelo deformisano, sve njegove točke, općenito govoreći, se pomiču. Hajde da razmotrimo neku specifičnu tačku tela; ako je njegov radijus vektor prije deformacije bio r, onda će u deformiranom tijelu imati neki drugi

vrijednost r / (sa komponentama x i / ). Pomicanje tačke tijela tokom deformacije tada će biti predstavljeno vektorom r / - r, koji označavamo slovom u:

Vektor u se zove vektor deformacije(ili vektor pomaka). Poznavanje vektora u

kao funkcija x i u potpunosti određuje deformaciju tijela.

Kada se tijelo deformiše, udaljenosti između njegovih tačaka se mijenjaju. Ako je radijus vektor između njih prije deformacije bio dx i , tada je u deformiranom tijelu polumjer

vektor između iste dvije tačke bit će dx i / = dx i + du i. Udaljenost između tačaka prije deformacije bila je jednaka:

dl = dx1 2 + dx2 2 + dx3 2,

i nakon deformacije:

dl / = dx 1 / 2 + dx 2 / 2 + dx 3 / 2 .

Konačno dobijamo:

Ovi izrazi određuju promjenu elementa dužine kada se tijelo deformira. Tenzor u ik se zove tenzor deformacije; po svojoj definiciji je simetričan:

Kao i svaki simetrični tenzor, tenzor u ik u svakoj tački se može svesti na

glavne ose i pobrinite se da se u svakom elementu zapremine tela deformacija može posmatrati kao skup od tri nezavisne deformacije u tri okomita pravca - glavne ose tenzora deformacije. U gotovo svim slučajevima deformacije tijela, deformacije su male. To znači da se promjena bilo koje udaljenosti u tijelu pokazuje malom u odnosu na samu udaljenost. Drugim riječima, relativna izduženja su mala u odnosu na jedinicu.

Sa izuzetkom nekih posebnih slučajeva, koje se nećemo doticati, ako je tijelo podvrgnuto malim deformacijama, tada su i sve komponente tenzora deformacije male. Stoga u izrazu (4.3) možemo zanemariti posljednji član kao malu količinu drugog reda. Dakle, u slučaju malih deformacija, tenzor deformacije je određen izrazom:

Dakle, sile su uzrok pokreta (pokreta) koji nastaju u tijelu, a deformacije su rezultat pokreta [Khaikin, 1963, str. 176].

Glavna pretpostavka klasične teorije elastičnosti

U nedeformisanom telu, raspored molekula odgovara stanju njegove termičke ravnoteže. Istovremeno, svi njegovi dijelovi su u mehaničkoj ravnoteži jedan s drugim. To znači da ako odaberete neki volumen unutar tijela, tada je rezultanta svih sila koje djeluju na ovaj volumen iz drugih dijelova jednaka nuli.

Kada se deformiše, raspored molekula se mijenja, a tijelo se uklanja iz stanja ravnoteže u kojem je prvobitno bilo. Kao rezultat toga, u njemu će se pojaviti sile koje teže da vrate tijelo u stanje ravnoteže. Ove unutrašnje sile koje nastaju tokom deformacije nazivaju se unutrašnja naprezanja. Ako tijelo nije deformisano, onda u njemu nema unutrašnjih naprezanja.

Unutrašnja naprezanja su uzrokovana molekularnim vezama, tj. sile interakcije tjelesnih molekula međusobno. Za teoriju elastičnosti vrlo je važna činjenica da molekularne sile imaju vrlo mali radijus djelovanja. Njihov utjecaj se proteže oko čestice koja ih stvara samo na udaljenosti reda međumolekularnih. Ali u teoriji elastičnosti, kao iu makroskopskoj teoriji, razmatraju se samo udaljenosti koje su velike u odnosu na međumolekularne. Stoga, „radijus djelovanja“ molekularnih sila u teoriji elastičnosti treba smatrati jednakim nuli. Možemo reći da su sile koje uzrokuju unutrašnja naprezanja sile „kratkog dometa“ u teoriji elastičnosti, koje se prenose iz svake tačke samo na tačke koje su joj najbliže.

Dakle, u klasičnoj teoriji elastičnosti, sile koje djeluju na bilo koji dio tijela iz dijelova koji ga okružuju manifestiraju ovaj učinak samo direktno kroz površinu ovog dela tela.

Zapravo, autor temeljnog rada [Khaikin, 1963, str. 484].

Tenzor napona

Zaključak da sve sile djeluju samo kroz površinu ključan je za klasičnu teoriju elastičnosti. Omogućava bilo koji volumen tijela, svaku od tri komponente rezultante svih unutrašnjih naprezanja i sila

∫ F i dV (gdje je F i sila koja djeluje na jedinični volumen dV) transformiraju se u integral na površini ove zapremine. U ovom slučaju, kao što slijedi iz vektorske analize, vektor F i mora biti divergencija nekog tenzora drugog ranga, tj. izgleda kao:

F i = ∂ σ ik . (4.6)

∂x k

Tada se sila koja djeluje na određeni volumen može zapisati kao integral preko zatvorene površine koja pokriva ovaj volumen:

pokriva zapreminu dV.

Tenzor σ ik se zove tenzor naprezanja. Kao što se može vidjeti iz (4.7), σ ik df k je i

komponenta sile koja djeluje na element površine d f. Odabirom površinskih elemenata u ravninama xy, yz, xz nalazimo da je komponenta σ ik tenzora napona

je i-ta komponenta sile koja djeluje na jediničnu površinu okomitu na x os k. Dakle, na jediničnoj površini okomitoj na osu x, normalno na

njena (usmjerena duž x ose) sila σ xx i tangencijalna (usmjerena duž y i z osi)

sile σ yx i σ zx.

Imajte na umu da je sila koja djeluje od unutrašnjih naprezanja na cijeloj površini tijela, za razliku od (4.7),:

− ∫ σ ik df k .

Zapisujući moment sila M ik koje djeluju na određeni volumen tijela, u obliku:

M ik = ∫ (F i x k − F k x i ) dV

i zahtijevajući da se izrazi kao integral samo po površini, dobijamo da je tenzor napona simetričan:

Do sličnog zaključka može se doći i na jednostavniji način [Sivukhin, 1974, str. 383]. Naime. Moment dM ik je direktno proporcionalan momentu inercije elementa

zapremina dM ik ≈ I ≈ (dV )5 / 3 i, stoga, dobijamo (F i x k − F k x i )dV = dM ik ≈ (dV )5 / 3 ≈ 0, što automatski implicira relaciju (4.8).

Simetrija tenzora naprezanja omogućava da se on dovede do glavne ose u svakoj tački, tj. u svakoj tački tenzor napona se može predstaviti kao:

U ravnoteži, unutrašnje sile naprezanja moraju biti međusobno kompenzirane u svakom elementu zapremine tijela, tj. treba biti F i = 0 . Dakle, jednačine

ravnoteža deformisanog tela ima oblik:

∂ σ ik = 0 .

∂x k

Ako se tijelo nalazi u polju gravitacije, tada bi zbir F + ρ g unutrašnjih sila naprezanja F i sile gravitacije ρ g koja djeluje po jedinici volumena trebao nestati, ρ -

gustina tijela, g – vektor ubrzanja slobodnog pada. Jednačine ravnoteže u ovom slučaju imaju oblik:

Energija naprezanja

Razmotrimo neko deformirano tijelo i pretpostavimo da se njegova deformacija mijenja na način da se vektor deformacije u i mijenja za mali iznos δ u i .

Odredimo rad koji proizvode unutrašnje sile naprezanja. Množenjem sile (4.6) pomakom δ u i i integracijom po cijeloj zapremini tijela dobijamo:

Simbol δ R označava rad unutrašnjih sila naprezanja po jedinici volumena tijela. Integrirajući po dijelovima, uzimajući u obzir neograničeni medij koji nije deformiran u beskonačnosti, usmjeravajući integracijsku površinu ka beskonačnosti, tada na njoj σ ik = 0, dobijamo:

∫ δ RdV = − ∫ σ ik δ uik dV .

Tako nalazimo:

Rezultirajuća formula određuje rad promjene tenzora deformacije, koji određuje promjenu unutrašnje energije tijela.

TEORIJA ELASTIČNOSTI– grana mehanike kontinuuma koja proučava pomake, deformacije i naprezanja tijela u mirovanju ili kretanju pod utjecajem opterećenja. Svrha ove teorije je da izvede matematičke jednadžbe čije nam rješenje omogućava da odgovorimo na sljedeća pitanja: kolike će biti deformacije ovog konkretnog tijela ako se na njega na poznatim mjestima primijeni opterećenje određene veličine? Kolika će biti napetost u tijelu? Pitanje da li će se tijelo srušiti ili izdržati ova opterećenja usko je povezano s teorijom elastičnosti, ali, strogo govoreći, nije u djelokrugu ove teorije.

Broj mogućih primjera je neograničen - od određivanja deformacija i naprezanja u gredi koja leži na nosačima i opterećena silama, do izračunavanja istih vrijednosti u konstrukciji aviona, broda, podmornice, u točku kočije, u oklopu kada je pogođen projektilom, u planinskom lancu pri prolasku kroz jamu, u okviru višespratnice itd. Ovdje se mora napraviti upozorenje: strukture koje se sastoje od elemenata tankih zidova izračunavaju se korištenjem pojednostavljenih teorija logično zasnovanih na teoriji elastičnosti; Ove teorije uključuju: teoriju otpornosti materijala na opterećenja (čuveni „otpor čvrstoće“), čiji je zadatak uglavnom proračun šipki i greda; konstrukcijska mehanika – proračun štapnih sistema (na primjer, mostova); i konačno, teorija školjki je u suštini samostalna i vrlo razvijena oblast nauke o deformacijama i naprezanjima, čiji su predmet istraživanja najvažniji konstruktivni elementi - ljuske tankih zidova - cilindrične, konične, sferoidne i koje imaju složeniji oblici. Stoga se u teoriji elastičnosti obično razmatraju tijela čije se bitne dimenzije ne razlikuju previše. Dakle, razmatra se elastično tijelo datog oblika na koje djeluju poznate sile.

Osnovni koncepti teorije elastičnosti su naprezanja koja djeluju na mala područja, koja se mentalno mogu povući u tijelu kroz datu tačku. M, deformacije male okoline tačke M i pomeranje same tačke M. Tačnije, uvode se tenzori napona s ij, tenzor malih deformacija e ij i vektor pomaka u i.

Kratka oznaka s ij, gdje su indeksi i, j uzeti vrijednosti 1, 2, 3 treba shvatiti kao matricu oblika:

Slično treba shvatiti i kratku notaciju za tenzor e ij.

Ako je fizička točka tijela M zbog deformacije zauzeo je novi položaj u prostoru M´, tada je vektor pomaka vektor sa komponentama ( u x u y u z), ili, ukratko, u i. U teoriji malih deformacija komponente u i i e i smatraju se malim količinama (strogo govoreći, beskonačno malim). Komponente tenzora e ij i vektor u ij povezani su Cauchyjevim formulama, koje imaju oblik:

Jasno je da e xy= e yx, i, općenito govoreći, e ij= e ji, tako da je tenzor deformacija simetričan po definiciji.

Ako je elastično tijelo u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila (tj. brzine svih njegovih tačaka jednake su nuli), tada je u ravnoteži i bilo koji dio tijela koji se od njega može psihički izolirati. Iz tijela se izdvaja mali (strogo govoreći, beskonačno mali) pravougaoni paralelepiped čiji su rubovi paralelni koordinatnim ravnima Dekartovog sistema Oxyz(Sl. 1).

Neka ivice paralelepipeda imaju dužine dx, dy, dz shodno tome (ovdje, kao i obično dx postoji diferencijal x, itd.). Prema teoriji naprezanja, komponente tenzora naprezanja djeluju na plohe paralelepipeda, koje se označavaju:

na ivici OADG:s xx, s xy, s xz

na ivici OABC:s yx, s yy, s yz

na ivici DABE:s zx, s zy, s zz

u ovom slučaju, komponente sa istim indeksima (na primjer s xx) djeluju okomito na lice, a s različitim indeksima - u ravnini mjesta.

Na suprotnim stranama vrijednosti istih komponenti tenzora naprezanja se malo razlikuju, to je zbog činjenice da su funkcije koordinata i da se mijenjaju od točke do točke (uvijek, osim u poznatim najjednostavnijim slučajevima), a malenost promjene je povezana s malim dimenzijama paralelepipeda, pa možemo pretpostaviti da ako je na ivici OABC primjenjuje se napon s yy, zatim na ivici GDEF primjenjuje se napon s yy+ds yy, i mala vrijednost ds yy upravo zbog svoje malenosti, može se odrediti pomoću proširenja Taylorovog niza:

(ovdje se koriste parcijalni derivati, jer komponente tenzora napona zavise od x, y, z).

Slično, naponi na svim stranama mogu se izraziti kroz s ij i ds ij. Zatim, da biste prešli s napona na sile, potrebno je pomnožiti veličinu naprezanja s površinom površine na koju djeluje (na primjer, s yy+ds yy pomnoži sa dx dz). Kada se odrede sve sile koje djeluju na paralelepiped, moguće je, kao što se to radi u statici, zapisati jednačinu ravnoteže tijela, dok će u svim jednačinama za glavni vektor ostati samo članovi s izvodima, jer naponi sami sebe poništavaju jedno drugo i faktori dx dy dz se smanjuju i kao rezultat toga

Slično se dobijaju jednadžbe ravnoteže koje izražavaju jednakost na nulu glavnog momenta svih sila koje djeluju na paralelepiped, a koje se svode na oblik:

Ove jednakosti znače da je tenzor napona simetričan tenzor. Dakle, za 6 nepoznatih komponenti s ij postoje tri jednačine ravnoteže, tj. jednadžbe statike nisu dovoljne za rješavanje problema. Izlaz je izraziti napone s ij kroz deformacije e ij koristeći jednačine Hookeovog zakona, a zatim deformaciju e ij izražavati kroz pokrete u i koristeći Cauchyjeve formule, i zamijeniti rezultat u jednadžbe ravnoteže. Ovo proizvodi tri jednadžbe diferencijalne ravnoteže za tri nepoznate funkcije u x u y u z, tj. broj nepoznatih je jednak broju jednačina. Ove jednačine se nazivaju Lameove jednačine

masene sile (težina, itd.) se ne uzimaju u obzir

D – Laplasov operator, tj

Sada morate postaviti granične uslove na površini tijela;

Glavne vrste ovih stanja su sljedeće:

1. Na poznatom dijelu površine tijela S 1 navedeni su pomaci, tj. vektor pomaka je jednak poznatom vektoru sa komponentama ( f x; f y; f z ):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f y, f z– poznate koordinatne funkcije)

2. Na ostatku površine S Specificirane su 2 površinske sile. To znači da je raspodjela naprezanja unutar tijela takva da vrijednosti naprezanja u neposrednoj blizini površine, a u granici, na površini na svakoj elementarnoj površini, stvaraju vektor naprezanja jednak poznatom vanjskom vektoru opterećenja sa komponente ( Fx ;Fy ; Fz) površinske sile. Matematički se to piše ovako: ako u tački A površine, jedinični vektor normale na ovu površinu ima komponente n x, n y, n z tada u ovom trenutku moraju biti zadovoljene jednakosti u odnosu na (nepoznate) komponente s ij: e ij, tada za tri nepoznate dobijamo šest jednačina, odnosno preodređeni sistem. Ovaj sistem će imati rješenje samo ako su ispunjeni dodatni uvjeti u pogledu e ij. Ovi uslovi su jednačine kompatibilnosti.

Ove jednačine se često nazivaju uslovima kontinuiteta, što implicira da obezbeđuju kontinuitet tela nakon deformacije. Ovaj izraz je figurativan, ali neprecizan: ovi uvjeti osiguravaju postojanje kontinuiranog polja pomaka ako komponente deformacija (ili napona) uzmemo kao nepoznate. Neispunjavanje ovih uslova ne dovodi do narušavanja kontinuiteta, već do izostanka rješenja problema.

Dakle, teorija elastičnosti daje diferencijalne jednadžbe i granične uvjete koji omogućavaju formuliranje graničnih problema, čije rješenje daje potpune informacije o raspodjeli napona, deformacija i pomaka u tijelima koja se razmatraju. Metode za rješavanje ovakvih problema su vrlo složene, a najbolji rezultati se postižu kombinacijom analitičkih metoda sa numeričkim pomoću moćnih računara.

Vladimir Kuznjecov

Ososimetrični problemi teorije elastičnosti (predavanja)

Uloga proračuna čvrstoće i krutosti u savremenom mašinstvu postaje sve značajnija, a sami proračuni su sve složeniji. Rješenje većine problema koji se javljaju dostupno je samo visokokvalificiranim stručnjacima.

Pitanja vezana za proračune konstrukcijskih elemenata razmatraju se u tradicionalnim disciplinama kao što su “Čvrstoća materijala”, “Konstrukcijska mehanika”, “Teorija elastičnosti”, u različitim kombinacijama i obima predstavljenim u nastavnom planu i programu mašinskih specijalnosti univerziteta. Relevantni materijali rasuti su po brojnim književnim izvorima i veoma su opterećeni teorijskim dijelom, predstavljenim na nivou čitaoca sa visokim matematičkim znanjem. Često ne naglašavaju metodološku osnovu za rješavanje problema, a također ne daju dovoljan broj primjera iz prakse računarskog inženjerstva.

Jedan od ciljeva ovog kursa predavanja je kompaktan prikaz osnova matematičke linearne teorije elastičnosti sa naglaskom na njene metode koje se koriste u praktičnim primjenama. Drugi cilj je da se na konkretnim primjerima mašinskih elemenata (cijevi debelih stijenki, ploče, školjke) pokaže kako se matematički aparat ove teorije primjenjuje pri proučavanju proračunskih formula i kako se potonje koriste u konkretnim primjerima. Ovo je urađeno u statično elastičnoj formulaciji za najčešću klasu osnosimetričnih zadataka, koji su najjednostavniji u smislu uticaja na ovaj aparat geometrije i prirode opterećenja ispitivanih objekata.

Upoznavanje sa ovim predmetom značajno će olakšati dalje proučavanje metoda projektovanja i proračuna složenih mašina i konstrukcija koje obiluju savremenom tehnologijom. Ove metode trenutno nastoje odraziti karakteristike proračuna konstrukcijskih elemenata kao što su nestacionarni temperaturni uvjeti, promjenjivi parametri elastičnosti, moguća slojevita ili ojačana struktura, plastične deformacije i deformacije puzanja, te uz što potpuniji obračun parametara i kretanja i geometrija objekata koji se proučavaju. U većini slučajeva to se provodi samo uz korištenje modernih numeričkih metoda uz njihovu naknadnu implementaciju na računalu.

- – grana mehanike koja proučava elastične deformacije i napone u čvrstom tijelu uzrokovane fizičkim utjecajima. [Terminološki rečnik konstrukcije na 12 jezika] Naziv pojma: Opšti pojmovi Naslovi enciklopedije: Abraziv... ... Enciklopedija pojmova, definicija i objašnjenja građevinskih materijala

teorija elastičnosti- Nauka o obrascima promjena u napregnutom i deformiranom stanju opterećene čvrste tvari u granicama elastičnog rada materijala [Terminološki rječnik konstrukcije na 12 jezika (VNIIIS Gosstroy SSSR)] EN teorija elastičnosti DE.. ... Vodič za tehnički prevodilac

teorija elastičnosti- tamprumo teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teorija elastičnosti vok. Elastizitätstheorie, f rus. teorija elastičnosti, f pranc. théorie d'élasticité, f … Fizikos terminų žodynas

TEORIJA ELASTIČNOSTI- nauka o zakonima promjene u napregnutim i deformiranim stanjima opterećenog čvrstog tijela u granicama elastičnog rada materijala (bugarski jezik; bugarski) teorija elastičnosti (češki jezik; čeština) teorie pružnosti (njemački... ... Građevinski rječnik

Teorija elastičnosti i plastičnosti- sastoji se od dva pododjeljka: Teorija elastičnosti, Teorija plastičnosti. Lista značenja riječi ili izraza... Wikipedia

TEORIJA ELASTIČNOSTI- grana mehanike u kojoj se proučavaju pomaci, deformacije i naprezanja koja nastaju u mirujućim ili pokretnim elastičnim tijelima pod utjecajem opterećenja. U. t. osnova za proračune čvrstoće, deformabilnosti i stabilnosti u građevinarstvu, poslovanju, vazduhoplovstvu i... ... Fizička enciklopedija

MATEMATIČKA TEORIJA ELASTIČNOSTI- grana mehanike u kojoj se proučavaju pomaci, deformacije i naprezanja koja nastaju u mirujućim ili pokretnim elastičnim tijelima pod utjecajem opterećenja. Stres u bilo kojoj tački tijela karakterizira 6 vrijednosti komponenti stresa: normalno... Mathematical Encyclopedia

Teorija elastičnosti- Mehanika kontinuuma Kontinuum Klasična mehanika Zakon održanja mase Zakon održanja impulsa ... Wikipedia

Teorija elastičnosti- grana mehanike (vidi Mehanika), koja proučava pomake, deformacije i naprezanja koja nastaju u elastičnim tijelima u mirovanju ili kretanju pod utjecajem opterećenja. U. t. teorijska osnova za proračune čvrstoće, deformabilnosti i ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Teorija plastičnosti- Teorija plastičnosti je grana mehanike kontinuuma, čiji su ciljevi određivanje napona i pomaka u deformabilnom tijelu izvan granica elastičnosti. Strogo govoreći, u teoriji plastičnosti pretpostavlja se da je stanje naprezanja... ... Wikipedia

Knjige

• Teorija elastičnosti, M. Filonenko-Borodich, Kratki kurs o teoriji elastičnosti koji se nudi pažnji čitalaca zasniva se na predavanjima autora na Moskovskom državnom univerzitetu. M. V. Lomonosov. Ova predavanja imaju... Kategorija: Matematika Izdavač: YOYO Media, Proizvođač: Yoyo Media, Kupite za 2200 UAH (samo Ukrajina)
• Teorija elastičnosti, M. Filonenko-Borodich, „Kratki kurs iz teorije elastičnosti“ koji se nudi pažnji čitalaca sastavljen je na osnovu predavanja autora na Moskovskom državnom univerzitetu. M. V. Lomonosov. Ova predavanja... Kategorija: Matematika i prirodne nauke Serija: Izdavač:

Teorija elastičnosti proučava napone i deformacije elastičnih tijela koje nastaju pod utjecajem vanjskih sila (opterećenja) na njih.

Elastičnost- to je sposobnost tijela koje je promijenilo svoj oblik i veličinu pod opterećenjem da se nakon uklanjanja tereta vrati u prvobitnu veličinu i oblik. Ako promjena veličine tijela linearno ovisi o opterećenju, onda linearnu elastičnost. Tijelo sa ovim svojstvom se zove savršeno elastična. Materijali idealne elastičnosti su čelik, liveno gvožđe, aluminijum, drvo, staklo. Ako promjena veličine tijela nelinearno ovisi o opterećenju, onda govorimo o nelinearnoj elastičnosti. Na primjer, guma ima nelinearnu elastičnost. Učićemo linearna teorija elastičnosti.

Rice. 1 - Linearna (1) i nelinearna (2) elastičnost

Ako su u svakoj tački svojstva tijela ista u svim smjerovima, onda se takvo tijelo naziva izotropna. Sa inženjerskom preciznošću, čelik se može smatrati izotropnim. Ako su u svakoj tački svojstva tijela različita u različitim smjerovima, onda se takvo tijelo naziva anizotropna. Takva svojstva posjeduje drvo, koje ima neke osobine duž zrna, a druge preko zrna. Učićemo linearna teorija elastičnosti izotropnih tijela.

Dodatno uvodimo sljedeća ograničenja:

1. Materijal tela je homogena, tj. njegova svojstva su ista na svim tačkama tijela;
2. Materijal tela ima kontinuitet, tj. deformacija tijela nastaje bez ruptura;
3. Razmatraju se samo tijela čije su deformacije i pomaci pod opterećenjem mali u odnosu na veličinu tijela.

Stoga su iz našeg razmatranja isključeni problemi stabilnosti elastične ravnoteže, proračuna jako zakrivljenih štapova i savijanja ploča i školjki s progibima usporedivim s debljinom ljuske. Ovi problemi se razmatraju geometrijski nelinearna teorija elastičnosti.

Linearna teorija elastičnosti proučava unutrašnje sile koje nastaju u idealno elastičnom tijelu pod utjecajem vanjskih sila.

Dakle, sile se dijele na vanjske (sile interakcije između različitih tijela) i unutrašnje (sile koje nastaju između dva susjedna elementa unutar tijela). Vanjske sile se mogu primijeniti u jednoj tački (koncentrirano), duž površine tijela (površine) i na svakoj tački tijela (volumetrijsko).

Posmatrajmo tijelo u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila F1, F2, …, Fn (Sl. 2a). Među dijelovima tijela nastaju sile unutrašnje interakcije koje mogu uništiti tijelo. Da bismo odredili ove sile u dijelu koji nas zanima, mi mentalno podijelimo tijelo na dva dijela i, odbacujući desni dio, zamjenjujemo njegovo djelovanje na preostali dio sa rezultantnom silom R (Sl. 2b).

Neka je os OX usmjerena okomito na naš presjek. Tada se ose OY i OZ nalaze u ravnini preseka. Projekcija rezultantne sile P na OX osi daje nam normalu Px , a na osovinama OY i OZ - tangente Py I Pz komponente ove sile.

U stvarnosti moć P se ne primjenjuje u jednoj tački, već je neravnomjerno raspoređena po cijeloj sekciji. Intenzitet ove sile, odnosno sile koja djeluje po jedinici površine, naziva se voltaža. Pun napon u tački se definira kao granica omjera:

Normalan napon u tački se definiše kao granica omjera

Napon smicanja u tački su definisane kao granice odnosa

Prvi indeks posmičnih naprezanja označava smjer posmičnog naprezanja, a drugi indeks je os normalna na površinu na koju djeluju posmična naprezanja. Izrežemo mentalno elementarni paralelepiped sa stranicama dx, dy i dz u proizvoljnoj tački presjeka koji se razmatra i razmotrimo napone koji djeluju na plohe ovog paralelepipeda (slika 3).

Tada u svakoj tački postoje naponi koji su predstavljeni matricom tzv tenzor naprezanja.

Jasno je da komponente tenzora napona zavise od izbora koordinatnog sistema.

Preko komponenti tenzora napona može se pronaći tzv. ekvivalentni napon, koji ne zavisi od izbora koordinatnog sistema. Ekvivalentno naprezanje se može uporediti sa karakteristikom čvrstoće materijala, koja je predstavljena dozvoljenim naprezanjem.

Tada se uslov čvrstoće zapisuje u poznatom obliku:

Zadatak teorije elastičnosti je da najpreciznije odredi komponente tenzora napona, a time i ekvivalentnog napona.

Šematski označimo područja primjene različitih teorija za opis naponsko-deformacijskog stanja dijelova na vlačnom dijagramu uzorka od mekog čelika prije loma.

Rice. 4 - Područja primjene različitih teorija: I - teorija elastičnosti, II - teorija plastičnosti, III - mehanika loma

Ako su naponi u proračunima veći od granice popuštanja st (u modernoj notaciji Rp ), tada se nazivaju uslovno elastičnim. Postoje metode koje omogućuju proučavanje elastično-plastičnog i plastičnog stanja dijela pomoću elastičnih rješenja. Razmotrimo opštu strukturu teorije elastičnosti.

Rice. 6 - Blok dijagram teorije elastičnosti

Od 70-ih godina u radovima na teoriji elastičnosti najčešće se koristi savremeni matematički aparat. Formalni matematički aparat je označavanje i formalizacija objekata i radnji na njima. Teorija elastičnosti koristi tenzorski račun. U našem kursu ćemo koristiti tenzorski račun samo kao ilustraciju kratke notacije proširenih izraza. Da bi bilo moguće pisati ukratko, koordinatne ose i indeksi naprezanja nisu označeni slovima, već brojevima.

Rang tenzora je broj indeksa koji su mu pridruženi. Kao što će se kasnije pokazati, tenzor napona je tenzor drugog ranga. Po definiciji, tenzor drugog ranga je skup veličina Aij, koji zavise od dva indeksa i transformišu se kada se koordinatni sistem promeni prema formulama

Rang tenzora nije povezan sa dimenzijom prostora! Dimenzija prostora određena je brojem vrijednosti koje svaki indeks uzima. Ako i, j, k, l uzeti vrijednosti 1, 2, 3, tada je tenzor (*) definiran u trodimenzionalnom prostoru. Pravila za sažimanje i proširenje izraza: internim (ponavljajući se u monomu) indeksima k, l vrši se sumiranje i indeksi s kraja na kraj (ponavljajući se lijevo i desno). i, j odrediti broj jednačina. Primjer proširenja izraza (*) za vrijednosti i = 2, j = 3:

Još jedna skraćenica u notaciji je da se parcijalni derivati ​​označavaju indeksom iza kojeg slijedi zarez. Na primjer:

Tada notacija označava nekoliko relacija:

U budućnosti ćemo se pobrinuti da tabela naprezanja u tački bude tenzor drugog ranga, odnosno da zadovoljava relacije (*) kada se promijeni koordinatni sistem.