Ringi lõigu pindala. Ringjoone geomeetria Ringi segmendi pindala raadiuse ja kõrguse järgi

Pindala matemaatiline väärtus on tuntud Vana-Kreekast saadik. Isegi neil kaugetel aegadel leidsid kreeklased, et ala on pinna pidev osa, mis on igast küljest piiratud suletud kontuuriga. See on arvväärtus, mida mõõdetakse ruutühikutes. Pindala on nii lamedate geomeetriliste kujundite (planimeetriline) kui ka ruumis olevate kehade pindade (ruumala) arvuline karakteristik.

Praegu ei leidu seda mitte ainult kooli õppekavas geomeetria ja matemaatika tundides, vaid ka astronoomias, igapäevaelus, ehituses, disainiarenduses, tootmises ja paljudes teistes inimainetes. Väga sageli kasutame maastikuala kujundamisel või ultramoodsa ruumikujunduse renoveerimistööde käigus isikliku krundi segmentide pindalade arvutamist. Seetõttu on teadmised erinevate valdkondade arvutamise meetodite kohta kasulikud alati ja kõikjal.

Ringikujulise segmendi ja sfääri segmendi pindala arvutamiseks peate mõistma geomeetrilisi termineid, mida arvutusprotsessis vaja läheb.

Esiteks on ringi segment tasapinnalise ringikujundi fragment, mis paikneb ringikaare ja selle ära lõikava kõõlu vahel. Seda mõistet ei tohiks segi ajada sektori näitajaga. Need on täiesti erinevad asjad.

Akord on lõik, mis ühendab kahte ringil asuvat punkti.

Kesknurk moodustub kahe segmendi - raadiuse - vahel. Seda mõõdetakse kraadides kaare järgi, millel see toetub.

Sfääri segment moodustub, kui osa lõigatakse mingi tasapinnaga. Sel juhul on sfäärilise segmendi alus ring ja kõrgus on risti, mis väljub ringi keskpunktist pinnaga ristumiskohani. sfäärist. Seda lõikepunkti nimetatakse kuuli segmendi tipuks.

Sfäärilise segmendi pindala määramiseks peate teadma sfäärilise segmendi lõikeringi ja kõrgust. Nende kahe komponendi korrutis on sfääri lõigu pindala: S = 2πRh, kus h on segmendi kõrgus, 2πR on ümbermõõt ja R on suure ringi raadius.

Ringi lõigu pindala arvutamiseks võite kasutada järgmisi valemeid:

1. Lõigu pindala lihtsaimaks leidmiseks on vaja arvutada erinevus selle sektori pindala vahel, kuhu segment on kantud ja mille alus on segmendi kõõl: S1 = S2 -S3, kus S1 on segmendi pindala, S2 on sektori pindala ja S3 on pindala kolmnurk.

Ringikujulise lõigu pindala arvutamiseks võite kasutada ligikaudset valemit: S=2/3*(a*h), kus a on kolmnurga alus või h on lõigu kõrgus, mis on tulemus ringjoone raadiuse erinevusest ja

2. Poolringist erineva segmendi pindala arvutatakse järgmiselt: S = (π R2:360)*α ± S3, kus π R2 on ringi pindala, α on kesknurga aste, mis sisaldab ringi lõigu kaare, S3 on kolmnurga pindala, mis moodustati kahe raadiuse vahel. ringjoon ja kõõl, millel on nurk ringi keskpunktis ja kaks tippu raadiuste kokkupuutepunktides ringiga.

Kui nurk α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 kraadi, peale pandud plussmärk.

3. Saate arvutada segmendi pindala teiste meetoditega, kasutades trigonomeetriat. Reeglina võetakse aluseks kolmnurk. Kui kesknurka mõõdetakse kraadides, on vastuvõetav järgmine valem: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, kus R2 on ringi raadiuse ruut, α on kesknurga kraadi mõõt.

4. Lõigu pindala arvutamiseks trigonomeetriliste funktsioonide abil võite kasutada teist valemit eeldusel, et kesknurka mõõdetakse radiaanides: S= R2 * (α - sin α)/2, kus R2 on ringi raadius, α on kraadimõõtmise kesknurk.

• 01.10.2018

  ESP8266 (ESP-12e) kiibiga NodeMcu v3 wi-fi mooduli alusel saate teha (näiteks) termomeetri 18B20 digitaalsel anduril, kasutades GET päringut MySQL-i andmebaasi. Järgmine sketš võimaldab saata GET päringuid määratud lehele, minu puhul on selleks test.php. #kaasa #kaasa …

• 22.09.2014

  Automaatne statsionaarne dimmer, mida juhib fototakisti R7, mis on ette nähtud kasutamiseks karmides külma ja mõõdukalt külma kliima tingimustes, ümbritseva õhu temperatuuril -25 kuni +45 ° C, suhtelise õhuniiskuse juures kuni 85% temperatuuril +20 ° C ja atmosfäärirõhul vahemikus 200…900 mm Hg. Indiviidi valgustuse reguleerimiseks kasutatakse hämardit...

• 25.09.2014

  Juhtmete kahjustamise vältimiseks remonditööde ajal on vaja peidetud juhtmestiku tuvastamiseks kasutada seadet. Seade tuvastab mitte ainult peidetud juhtmestiku asukoha, vaid ka peidetud juhtmestiku kahjustuste asukoha. Seade on helivõimendi, esimeses etapis kasutatakse sisendtakistuse suurendamiseks väljatransistorit. Operatsioonivõimendi teises etapis. Sensor -...

• 03.10.2014

  Kavandatav seade stabiliseerib lühisekaitsega pinget kuni 24V ja voolu kuni 2A. Stabilisaatori ebastabiilse käivitamise korral tuleks kasutada autonoomse impulsi generaatori sünkroonimist (joonis 1). 2. Stabilisaatori ahel on näidatud joonisel 1. VT1 VT2-le on kokku pandud Schmitti päästik, mis juhib võimsat reguleerivat transistori VT3. Üksikasjad: VT3 on varustatud jahutusradiaatoriga...

Ring, selle osad, nende suurused ja suhted on asjad, millega juveliir pidevalt kokku puutub. Sõrmused, käevõrud, kastid, torud, pallid, spiraalid - tuleb teha palju ümmargusi asju. Kuidas seda kõike arvutada, eriti kui sul oli õnn koolis geomeetriatunnid vahele jätta?..

Vaatame kõigepealt, millised osad ringil on ja kuidas neid nimetatakse.

• Ring on joon, mis ümbritseb ringi.
• Kaar on ringi osa.
• Raadius on segment, mis ühendab ringi keskpunkti ringi mis tahes punktiga.
• Kõõl on lõik, mis ühendab kahte ringi punkti.
• Lõik on ringjoone osa, mis on piiratud kõõlu ja kaarega.
• Sektor on ringi osa, mis on piiratud kahe raadiuse ja kaarega.

Meid huvitavad kogused ja nende tähistused:

Nüüd vaatame, millised ringi osadega seotud probleemid tuleb lahendada.

• Leidke sõrmuse mis tahes osa (käevõru) arengu pikkus. Arvestades läbimõõtu ja kõõlu (valik: läbimõõt ja kesknurk), leidke kaare pikkus.
• Tasapinnal on joonis, selle suurus tuleb pärast kaareks painutamist välja selgitada projektsioonis. Arvestades kaare pikkust ja läbimõõtu, leidke kõõlu pikkus.
• Uurige lameda tooriku kaareks painutamisel saadud detaili kõrgust. Lähteandmete valikud: kaare pikkus ja läbimõõt, kaare pikkus ja kõõl; leida segmendi kõrgus.

Elu toob teile muid näiteid, kuid ma tõin need ainult selleks, et näidata vajadust seada mõned kaks parameetrit, et leida kõiki teisi. Seda me teemegi. Nimelt võtame lõigu viis parameetrit: D, L, X, φ ja H. Seejärel, valides nende hulgast kõik võimalikud paarid, käsitleme neid lähteandmetena ja kõik ülejäänud leiame ajurünnaku teel.

Et lugejat mitte asjatult koormata, ei anna ma detailseid lahendusi, vaid esitan ainult tulemused valemite kujul (need juhud, kus formaalset lahendust ei ole, räägin teekonnal).

Ja veel üks märkus: mõõtühikute kohta. Kõiki suurusi, välja arvatud kesknurk, mõõdetakse samades abstraktsetes ühikutes. See tähendab, et kui määrate näiteks ühe väärtuse millimeetrites, ei pea teist määrama sentimeetrites ja saadud väärtusi mõõdetakse samades millimeetrites (ja pindalad ruutmillimeetrites). Sama võib öelda tollide, jalgade ja meremiilide kohta.

Ja ainult kesknurka mõõdetakse kõigil juhtudel kraadides ja mitte midagi muud. Sest rusikareegel on, et inimesed, kes kujundavad midagi ümarat, ei kipu mõõtma nurki radiaanides. Fraas "nurk pi nelja võrra" ajab paljud segadusse, samas kui "nurk nelikümmend viis kraadi" on kõigile arusaadav, kuna see on tavalisest vaid viis kraadi kõrgem. Kuid kõigis valemites on vaheväärtusena veel üks nurk - α. Tähenduses on see pool kesknurgast, mõõdetuna radiaanides, kuid te ei saa sellesse tähendusse julgelt süveneda.

1. Arvestades läbimõõtu D ja kaare pikkust L

; akordi pikkus ;
segmendi kõrgus ; kesknurk .

2. Antud läbimõõt D ja kõõlu pikkus X

; kaare pikkus;
segmendi kõrgus ; kesknurk .

Kuna akord jagab ringi kaheks segmendiks, pole sellel ülesandel mitte üks, vaid kaks lahendust. Teise saamiseks peate ülaltoodud valemites asendama nurga α nurgaga .

3. Arvestades läbimõõtu D ja kesknurka φ

; kaare pikkus;
akordi pikkus ; segmendi kõrgus .

4. Arvestades lõigu H läbimõõtu D ja kõrgust

; kaare pikkus;
akordi pikkus ; kesknurk .

6. Antud kaare pikkus L ja kesknurk φ

; läbimõõt;
akordi pikkus ; segmendi kõrgus .

8. Antud kõõlu pikkus X ja kesknurk φ

; kaare pikkus ;
läbimõõt; segmendi kõrgus .

9. Arvestades kõõlu X pikkust ja lõigu H kõrgust

; kaare pikkus ;
läbimõõt; kesknurk .

10. Antud kesknurk φ ja lõigu H kõrgus

; läbimõõt ;
kaare pikkus; akordi pikkus .

Tähelepanelik lugeja ei saanud märkamata jätta, et jätsin kahe võimaluse vahele:

5. Antud kaare pikkus L ja kõõlu pikkus X

7. Arvestades kaare L pikkust ja lõigu H kõrgust

Need on just need kaks ebameeldivat juhtumit, kui probleemil pole lahendust, mida saaks valemi kujul kirja panna. Ja ülesanne pole nii haruldane. Näiteks on teil lame tükk pikkusega L ja soovite seda painutada nii, et selle pikkus oleks X (või kõrgus H). Millise läbimõõduga peaksin võtma torni (risttala)?

See probleem taandub võrrandite lahendamisele:
; - 5. variandis
; - variandis 7
ja kuigi neid ei saa analüütiliselt lahendada, saab neid lihtsalt programmiliselt lahendada. Ja ma isegi tean, kust sellist programmi saada: sellel saidil nime all . Ta teeb kõike, mida ma teile siin pikalt räägin, mikrosekundites.

Pildi täiendamiseks lisame oma arvutuste tulemustele ümbermõõt ja kolm pindala väärtust - ring, sektor ja segment. (Pirad aitavad meid palju kõigi ümmarguste ja poolringikujuliste osade massi arvutamisel, kuid sellest lähemalt eraldi artiklis.) Kõik need suurused arvutatakse samade valemite abil:

ümbermõõt;
ringi pindala ;
sektori piirkond ;
segmendi piirkond ;

Ja lõpetuseks lubage mul teile veel kord meelde tuletada täiesti tasuta programmi olemasolu, mis teeb kõik ülaltoodud arvutused, vabastades teid vajadusest meeles pidada, mis on arktangent ja kust seda otsida.

Ringi lõigu määratlemine

Segment on geomeetriline kujund, mis saadakse osa ringist akordiga ära lõigates.

Interneti-kalkulaator

See kujund asub kõõlu ja ringikaare vahel.

See on lõik, mis asub ringi sees ja ühendab sellel kaks meelevaldselt valitud punkti.

Ringi osa akordiga ära lõigates võite arvestada kahe kujundiga: see on meie segment ja võrdhaarne kolmnurk, mille küljed on ringi raadiused.

Lõigu pindala võib leida kui ringi sektori ja selle võrdhaarse kolmnurga pindalade erinevust.

Segmendi pindala saab leida mitmel viisil. Vaatame neid üksikasjalikumalt.

Ringi lõigu pindala valem, kasutades ringi raadiust ja kaare pikkust, kolmnurga kõrgust ja alust

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ​ ⋅ R⋅s −2 1 ​ ⋅ h⋅a

R R R- ringi raadius;
s s s- kaare pikkus;
h h h- võrdhaarse kolmnurga kõrgus;
a a a- selle kolmnurga aluse pikkus.

Antud ringjoonel on selle raadius arvuliselt võrdne 5 (cm), kõrgus, mis on tõmmatud kolmnurga põhja, on võrdne 2 (cm), kaare pikkus on 10 (cm). Leidke ringi lõigu pindala.

Lahendus

R=5 R=5 R=5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1 0

Pindala arvutamiseks vajame ainult kolmnurga alust. Leiame selle valemi abil:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 - 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h )​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Nüüd saate arvutada segmendi pindala:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ​ ⋅ R⋅s −2 1 ​ ⋅ h⋅a =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (vt ruut)

Vastus: 17 cm ruutmeetrit

Ringjoone lõigu pindala valem, arvestades ringi raadiust ja kesknurka

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ​ ⋅ (α − patt(α))

R R R- ringi raadius;
α\alfa α - kesknurk kahe kõõlu all oleva raadiuse vahel, mõõdetuna radiaanides.

Leidke ringi segmendi pindala, kui ringi raadius on 7 (cm) ja kesknurk on 30 kraadi.

Lahendus

R = 7 R = 7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Esmalt teisendame nurga kraadides radiaanideks. Kuna π\pi π Radiaan on 180 kraadi, siis:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radiaan. Siis on segmendi pindala:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\umbes 0,57S=2 R 2 ​ ⋅ (α − sin(α)) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − patt ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (vt ruut)

Vastus: 0,57 cm ruutmeetrit