Давхар иррационал тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Иррационал тэгш бус байдлын шийдэл. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Зорилго:

1. Ерөнхий боловсрол: тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг ашиглахтай холбоотой оюутнуудын мэдлэг, чадварыг системчлэх, нэгтгэх, өргөжүүлэх.
2. Хөгжиж буй: оюутнуудад лекц сонсох, тэмдэглэлийн дэвтэрт товч бичих чадварыг хөгжүүлэх.
3. Боловсрол: математик судлах танин мэдэхүйн сэдлийг бий болгох.

Хичээлийн үеэр

I. Оршил яриа:

Бид “Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх” сэдвээ дуусгасан бөгөөд өнөөдөр бид иррационал тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурч эхэлж байна.

Эхлээд та ямар төрлийн тэгш бус байдлыг, ямар аргаар шийдэж болохыг санацгаая?

Хариулах: Шугаман, квадрат, рациональ, тригонометр. Шугаманыг тэгш бус байдлын шинж чанарт үндэслэн, тригонометрийг хамгийн энгийн тригонометр болгон бууруулж, тригонометрийн тойрог ашиглан, үлдсэнийг нь голчлон интервалын аргаар шийддэг.

Асуулт: Интервалын арга ямар заалт дээр үндэслэсэн бэ?

Хариулах: Зарим интервалд алга болдоггүй тасралтгүй функц тухайн интервалд тэмдэгээ хадгалдаг гэсэн теорем дээр.

II.> гэх мэт иррационал тэгш бус байдлыг авч үзье

Асуулт: Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд интервалын аргыг хэрэглэж болох уу?

Хариулах: Тийм ээ, функцээс хойш у=- тасралтгүй D(y).

Бид энэ тэгш бус байдлыг шийддэг интервалын арга .

Дүгнэлт: бид энэ иррационал тэгш бус байдлыг интервалын аргаар хялбархан шийдэж, бодитойгоор иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгасан.

Энэ аргаар өөр нэг тэгш бус байдлыг шийдэхийг оролдъё.

3)f(x)тасралтгүй дээр D(f)

4) Функцийн тэг:

• Урт хайлт D(f).
• Хагарлын цэгийг тооцоолоход хэцүү байдаг.

"Энэ тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх өөр арга бий юу?" Гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Мэдээжийн хэрэг, байгаа бөгөөд одоо бид тэдэнтэй танилцах болно.

III.Тэгэхээр, сэдэв өнөөдрийн хичээл: "Иррационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд."

Сурах бичигт бүх аргуудын нарийвчилсан дүн шинжилгээ байхгүй тул хичээлийг лекцийн хэлбэрээр явуулна. Тиймээс бидний чухал ажил бол энэхүү лекцийн дэлгэрэнгүй дүгнэлтийг гаргах явдал юм.

IV.Иррационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх эхний аргын талаар бид аль хэдийн ярьсан.

Энэ нь - интервалын арга , бүх төрлийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бүх нийтийн арга. Гэхдээ энэ нь үргэлж богино бөгөөд энгийн байдлаар зорилгод хүргэдэггүй.

v.Иррационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ та иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй ижил санааг ашиглаж болно, гэхдээ шийдлийг энгийн баталгаажуулах боломжгүй (эцсийн эцэст тэгш бус байдлын шийдэл нь ихэвчлэн бүхэл тоон интервалууд байдаг) тул эквивалентыг ашиглах шаардлагатай байдаг.

Бид иррационал тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүдийг шийдвэрлэх схемүүдийг танилцуулж байна эквивалент шилжилтийн арганэг тэгш бус байдлаас тэгш бус байдлын систем рүү.

2. Энэ нь мөн адил нотлогдсон

Эдгээр диаграммуудыг лавлах самбар дээр бичье. Гэртээ 3 ба 4-р төрлийн нотолгоог бодоод үзээрэй, бид дараагийн хичээл дээр хэлэлцэх болно.

VI.Тэгш бус байдлыг шинэ аргаар шийдье.

Анхны тэгш бус байдал нь системийн багцтай тэнцүү байна.

VII.Мөн нийлмэл зохисгүй тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг гуравдахь арга байдаг. Модультай тэгш бус байдлын талаар бид аль хэдийн ярьсан. тэр функцийг орлуулах арга (үржүүлэгчийг орлуулах). Орлуулах аргын мөн чанар нь монотон функцүүдийн утгын зөрүүг тэдгээрийн аргументуудын утгын зөрүүгээр сольж болно гэдгийг сануулъя.

Маягтын иррациональ тэгш бус байдлыг авч үзье<,

тэр бол -< 0.

Онолоор бол, хэрэв p(x)хамаарах зарим интервал дээр нэмэгддэг аболон б, ба а>б, дараа нь тэгш бус байдал p(a) – p(b) > 0 ба а-б> 0 нь тэнцүү байна D(p), тэр бол

VIII.Бид тэгш бус байдлыг хүчин зүйлсийг өөрчлөх аргаар шийддэг.

Тиймээс энэ тэгш бус байдал нь системтэй тэнцүү байна

Тиймээс, тэгш бус байдлын шийдлийг интервалын арга болгон багасгахын тулд хүчин зүйлсийг орлуулах аргыг ашиглах нь ажлын хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулж байгааг бид харсан.

IX.Одоо бид тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гурван үндсэн аргыг авч үзсэн тул үүнийг хийцгээе өөрийгөө шалгах бие даасан ажил.

Дараах тоонуудыг гүйцэтгэх шаардлагатай (А. М. Мордковичийн сурах бичгийн дагуу): 1790 (а) - эквивалент шилжилтийн аргаар шийднэ, 1791 (а) - хүчин зүйлийг орлуулах аргаар шийднэ. Иррационал тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд, Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ өмнө нь дүн шинжилгээ хийсэн аргуудыг ашиглахыг санал болгож байна.

• хувьсагчийн өөрчлөлт;
• ODZ ашиглах;
• функцүүдийн монотон шинж чанарыг ашиглах.

Сэдвийг судалж дуусгах нь тест юм.

Хяналтын ажлын дүн шинжилгээ нь дараахь зүйлийг харуулж байна.

• сул сурагчдын ердийн алдаа, арифметик, алгебрийн алдаанаас гадна тэгш бус байдлын системд буруу шилжилттэй тэнцэх;
• хүчин зүйлсийг орлуулах аргыг зөвхөн хүчирхэг оюутнууд амжилттай ашигладаг.

Үндэс дор функц агуулсан аливаа тэгш бус байдлыг дуудна үндэслэлгүй. Ийм тэгш бус байдлын хоёр төрөл байдаг:

Эхний тохиолдолд үндэс нь g (x) функцээс бага, хоёрдугаарт - илүү байна. Хэрэв g(x) - тогтмол, тэгш бус байдлыг эрс хялбаршуулдаг. Гаднах байдлаар эдгээр тэгш бус байдал нь маш төстэй боловч тэдгээрийн шийдлийн схем нь үндсэндээ өөр гэдгийг анхаарна уу.

Өнөөдөр бид эхний төрлийн зохисгүй тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно - эдгээр нь хамгийн энгийн бөгөөд ойлгомжтой юм. Тэгш бус байдлын тэмдэг нь хатуу эсвэл хатуу биш байж болно. Дараах мэдэгдэл нь тэдний хувьд үнэн юм.

Теорем. Маягтын аливаа иррационал тэгш бус байдал

Тэгш бус байдлын системтэй тэнцэх:

Сул биш гэж үү? Ийм систем хаанаас ирснийг харцгаая.

1. f (x) ≤ g 2 (x) - энд бүх зүйл тодорхой байна. Энэ бол анхны тэгш бус байдлын квадрат;
2. f(x) ≥ 0 нь язгуурын ODZ. Танд сануулъя: арифметик квадрат язгуур нь зөвхөн үүнээс л байдаг сөрөг бустоо;
3. g(x) ≥ 0 нь язгуурын муж юм. Тэгш бус байдлыг квадрат болгосноор бид сөрөг талыг шатаадаг. Үүний үр дүнд нэмэлт үндэс гарч ирж болно. g (x) ≥ 0 тэгш бус байдал нь тэдгээрийг таслана.

Олон оюутнууд системийн эхний тэгш бус байдал дээр "мөчлөгт явдаг": f (x) ≤ g 2 (x) - нөгөө хоёрыг нь бүрмөсөн мартдаг. Үр дүн нь урьдчилан таамаглах боломжтой: буруу шийдвэр, алдсан оноо.

Иррациональ тэгш бус байдал нь нэлээд төвөгтэй сэдэв тул 4 жишээг нэг дор задлан шинжилье. Анхан шатнаас эхлээд нарийн төвөгтэй хүртэл. Бүх даалгаврыг Москвагийн Улсын Их Сургуулийн элсэлтийн шалгалтаас авдаг. М.В.Ломоносов.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Бидэнд сонгодог байна үндэслэлгүй тэгш бус байдал: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 нь тогтмол байна. Бидэнд байгаа:

Шийдлийн төгсгөлд гурван тэгш бус байдлын хоёр нь л үлдсэн. Учир нь 2 ≥ 0 тэгш бус байдал үргэлж биелдэг. Үлдсэн тэгш бус байдлыг огтолцгооё:

Тэгэхээр, x ∈ [−1,5; 0.5]. Учир нь бүх цэгүүд сүүдэрлэж байна тэгш бус байдал нь хатуу биш юм.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Бид теоремыг хэрэгжүүлдэг:

Бид эхний тэгш бус байдлыг шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид зөрүүний квадратыг нээх болно. Бидэнд байгаа:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Одоо хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдье. Тэнд бас дөрвөлжин гурвалжин:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)