Ciele:
- Všeobecné vzdelanie: systematizovať, zovšeobecňovať, rozširovať vedomosti a zručnosti žiakov súvisiace s aplikáciou metód riešenia nerovností.
- Rozvíjanie: rozvíjať u študentov schopnosť počúvať prednášku, stručne si ju zapísať do zošita.
- Vzdelávacie: formovať kognitívnu motiváciu k štúdiu matematiky.
Počas vyučovania
I. Úvodný rozhovor:
Dokončili sme tému „Riešenie iracionálnych rovníc“ a dnes sa začíname učiť riešiť iracionálne nerovnice.
Najprv si pripomeňme, aké typy nerovností môžete vyriešiť a akými metódami?
Odpoveď: Lineárne, štvorcové, racionálne, trigonometrické. Lineárne sa riešia na základe vlastností nerovníc, trigonometrické sa redukujú na najjednoduchšie trigonometrické, riešené pomocou trigonometrickej kružnice a ostatné najmä metódou intervalov.
Otázka: Na akom výroku je založená metóda intervalov?
Odpoveď: Na vete, ktorá hovorí, že spojitá funkcia, ktorá nezaniká na určitom intervale, si zachováva svoje znamienko na tomto intervale.
II. Zoberme si iracionálnu nerovnosť ako >
Otázka: Je možné použiť intervalovú metódu na jeho vyriešenie?
Odpoveď: Áno, od funkcie y=- nepretržite zapnutý D Y).
Riešime túto nerovnosť intervalová metóda .
Záver: túto iracionálnu nerovnosť sme pomerne jednoducho vyriešili intervalovou metódou, vlastne sme ju zredukovali na riešenie iracionálnej rovnice.
Skúsme touto metódou vyriešiť ďalšiu nerovnosť.
3)f(x) nepretržite zapnuté D(f)
4) Funkčné nuly:
- Dlhé hľadanie D(f).
- Je ťažké vypočítať body zlomu.
Vynára sa otázka: „Existujú iné spôsoby, ako vyriešiť túto nerovnosť?“.
Je zrejmé, že existuje a teraz ich spoznáme.
III. takze tému dnešný lekcia: "Metódy riešenia iracionálnych nerovností."
Lekcia bude prebiehať formou prednášky, nakoľko učebnica neobsahuje podrobný rozbor všetkých metód. Preto je našou dôležitou úlohou vypracovať podrobné zhrnutie tejto prednášky.
IV. O prvej metóde riešenia iracionálnych nerovností sme už hovorili.
to - intervalová metóda , univerzálna metóda na riešenie všetkých druhov nerovností. Ale nie vždy to vedie k cieľu krátko a jednoducho.
v. Pri riešení iracionálnych nerovníc môžete použiť rovnaké myšlienky ako pri riešení iracionálnych rovníc, ale keďže jednoduché overenie riešení je nemožné (napokon, riešenia nerovníc sú najčastejšie celočíselné číselné intervaly), je potrebné použiť ekvivalenciu.
Uvádzame schémy riešenia hlavných typov iracionálnych nerovností metóda ekvivalentných prechodov od jednej nerovnosti k systému nerovností.
2. Podobne je dokázané, že
Zapíšme si tieto schémy na referenčnú tabuľu. Premýšľajte o dôkazoch typu 3 a 4 doma, budeme o nich diskutovať v ďalšej lekcii.
VI. Vyriešme nerovnosť novým spôsobom.
Pôvodná nerovnosť je ekvivalentná množine systémov.
VII. A existuje aj tretia metóda, ktorá často pomáha riešiť zložité iracionálne nerovnosti. Už sme o tom hovorili v súvislosti s nerovnosťami s modulom. to metóda substitúcie funkcií (násobiteľná substitúcia). Dovoľte mi pripomenúť, že podstatou náhradnej metódy je, že rozdiel v hodnotách monotónnych funkcií môže byť nahradený rozdielom v hodnotách ich argumentov.
Zvážte iracionálnu nerovnosť formy<,
to je -< 0.
Podľa teórie, ak p(x) sa zvyšuje v určitom intervale, do ktorého patria a a b a a>b, potom nerovnosti p(a) – p(b) > 0 a a-b> 0 sú ekvivalentné D(p), teda
VIII. Nerovnosť riešime metódou meniacich sa faktorov.
Táto nerovnosť je teda ekvivalentná systému
Videli sme teda, že použitie metódy nahradenia faktorov na zníženie riešenia nerovnosti na metódu intervalov výrazne znižuje množstvo práce.
IX. Teraz, keď sme prebrali tri základné metódy riešenia rovníc, poďme na to samostatná práca so samovyšetrením.
Je potrebné vykonať tieto čísla (podľa učebnice A. M. Mordkovicha): 1790 (a) - vyriešiť_ metódou_ ekvivalentných prechodov,_ 1791 (a) - vyriešiť metódou nahradenia faktorov. Na riešenie iracionálnych nerovností, pri riešení iracionálnych rovníc sa navrhuje použiť predtým analyzované metódy:
- zmena premenných;
- používanie ODZ;
- využitie vlastností monotónnosti funkcií.
Ukončenie štúdia témy je testom.
Analýza kontrolnej práce ukazuje:
- typickými chybami slabých žiakov okrem aritmetických a algebraických sú nesprávne ekvivalentné prechody do sústavy nerovníc;
- metódu substitúcie faktorov úspešne využívajú len silní žiaci.
Zavolá sa akákoľvek nerovnosť, ktorá obsahuje funkciu pod koreňom iracionálny. Existujú dva typy takýchto nerovností:
V prvom prípade je koreň menší ako funkcia g (x), v druhom - viac. Ak g(x) - konštantný, nerovnosť sa dramaticky zjednoduší. Upozorňujeme, že navonok sú tieto nerovnosti veľmi podobné, ale schémy ich riešenia sú zásadne odlišné.
Dnes sa naučíme, ako riešiť iracionálne nerovnosti prvého typu – sú najjednoduchšie a najzrozumiteľnejšie. Znak nerovnosti môže byť prísny alebo neprísny. Pre nich platí nasledujúce tvrdenie:
Veta. Akákoľvek iracionálna nerovnosť formy
Ekvivalent k systému nerovností:
Nie slabý? Pozrime sa, odkiaľ takýto systém pochádza:
- f (x) ≤ g 2 (x) - tu je všetko jasné. Toto je pôvodná nerovnosť na druhú;
- f(x) ≥ 0 je ODZ koreňa. Pripomínam vám: aritmetická druhá odmocnina existuje iba z nezápornéčísla;
- g(x) ≥ 0 je rozsah odmocniny. Umocnením nerovnosti spaľujeme zápory. V dôsledku toho sa môžu objaviť ďalšie korene. Nerovnosť g (x) ≥ 0 ich odreže.
Mnoho študentov "chodí v cykloch" na prvej nerovnosti systému: f (x) ≤ g 2 (x) - a úplne zabúdajú na ďalšie dve. Výsledok je predvídateľný: nesprávne rozhodnutie, stratené body.
Keďže iracionálne nerovnosti sú pomerne komplikovaná téma, rozoberme si 4 príklady naraz. Od základných až po skutočne zložité. Všetky úlohy sú prevzaté z prijímacích skúšok Moskovskej štátnej univerzity. M. V. Lomonosov.
Príklady riešenia problémov
Úloha. Vyriešte nerovnosť:
Máme klasiku iracionálna nerovnosť: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 je konštanta. Máme:
Do konca riešenia zostali len dve z troch nerovností. Pretože nerovnosť 2 ≥ 0 platí vždy. Pretíname zvyšné nerovnosti:
Takže, x ∈ [−1,5; 0,5]. Všetky body sú zatienené, pretože nerovnosti nie sú prísne.
Úloha. Vyriešte nerovnosť:
Aplikujeme vetu:
Riešime prvú nerovnosť. Aby sme to urobili, otvoríme druhú mocninu rozdielu. Máme:
2x 2 - 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Teraz poďme vyriešiť druhú nerovnosť. Tu tiež štvorcový trojčlen:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8) (x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
