Kako se nalazi pi. Šta je broj PI i šta on znači? Koncept pi

Tokom mnogo vekova, pa čak i milenijuma, koliko je čudno, ljudi su razumeli važnost i vrednost matematičke konstante za nauku koja je jednaka odnosu obima kruga i njegovog prečnika. broj pi je još uvijek nepoznat, ali najviše najbolji matematičari kroz našu istoriju. Većina ih je željela to izraziti kao racionalan broj.

1. Istraživači i istinski ljubitelji broja Pi organizovali su klub, da biste se pridružili, morate znati napamet prilično veliki broj njegovih likova.

2. Dan Pi se slavi od 1988. godine i pada 14. marta. Pripremite salate, torte, kolače, kolače sa njegovim likom.

3. Pi je već umlazbljen i zvuči prilično dobro. Čak mu je podignut spomenik u Sijetlu, u američkom, ispred Gradskog muzeja umetnosti.

U to daleko vrijeme pokušali su izračunati broj Pi pomoću geometrije. Činjenicu da je ovaj broj konstantan za razne krugove znali su čak i geometri u Drevni Egipat, Babilon, Indija i Ancient Greece, koji su u svojim radovima tvrdili da je to tek nešto više od tri.

U jednoj od svetih knjiga džainizma (drevne indijske religije koja je nastala u 6. veku pre nove ere), spominje se da se tada broj Pi smatrao jednakim kvadratnom korenu od deset, što na kraju daje 3.162 ....

Drevni grčki matematičari su mjerili krug tako što su konstruirali segment, ali da bi izmjerili krug, morali su izgraditi jednak kvadrat, odnosno lik jednak njemu po površini.

Kada decimalni razlomci još nisu bili poznati, veliki Arhimed je pronašao vrijednost Pi sa tačnošću od 99,9%. Otkrio je metodu koja je postala osnova mnogih kasnijih proračuna, upisana u krug i opisala pravilne poligone oko njega. Kao rezultat toga, Arhimed je izračunao vrijednost Pi kao omjer 22/7 ≈ 3,142857142857143.

U Kini, matematičar i dvorski astronom Zu Chongzhi u 5. veku pre nove ere. e. odredio tačniju vrijednost broja Pi, izračunavši ga na sedam cifara iza decimalnog zareza i odredio njegovu vrijednost između brojeva 3, 1415926 i 3,1415927. Naučnicima je trebalo više od 900 godina da nastave ovu digitalnu seriju.

Srednje godine

Čuveni indijski naučnik Madhava, koji je živio na prijelazu iz XIV u XV stoljeće, koji je postao osnivač škole astronomije i matematike u Kerali, po prvi put u povijesti počeo je raditi na širenju trigonometrijskih funkcija u serije. Istina, sačuvana su samo dva njegova rada, dok su ostali poznati samo po referencama i citatima njegovih učenika. U naučnoj raspravi "Mahajyanayana", koja se pripisuje Madhavi, naznačeno je da je broj Pi 3,14159265359. A u raspravi "Sadratnamala" postoji broj sa još preciznijim decimalnim mjestima: 3,14159265358979324. U navedenim brojevima posljednje cifre ne odgovaraju ispravnoj vrijednosti.

U 15. vijeku, matematičar i astronom iz Samarkanda Al-Kashi izračunao je broj Pi sa šesnaest decimalnih mjesta. Njegov rezultat smatran je najtačnijim u narednih 250 godina.

W. Johnson, matematičar iz Engleske, bio je jedan od prvih koji je slovom π označio odnos obima kruga i njegovog prečnika. Pi je prvo slovo grčke riječi "περιφέρεια" - krug. Ali ova oznaka je uspela da postane opšteprihvaćena tek nakon što ju je 1736. godine upotrebio poznatiji naučnik L. Euler.

Zaključak

Savremeni naučnici nastavljaju da rade na daljim proračunima vrednosti pi. Za to se već koriste superračunari. 2011. godine naučnik iz Shigeru Kondoa, u saradnji sa američkim studentom Aleksandrom Jijem, ispravno je izračunao niz od 10 triliona cifara. Ali i dalje je nejasno ko je otkrio broj Pi, ko je prvi razmišljao o ovom problemu i napravio prve proračune ovog zaista mističnog broja.

Istorija broja "pi"

Istorija broja p, koji izražava odnos obima kruga i njegovog prečnika, započela je u starom Egiptu. Područje prečnika kruga d Egipatski matematičari definisali su kao (d-d/9) 2(ova notacija je ovdje data u modernim simbolima). Iz gornjeg izraza možemo zaključiti da se u to vrijeme broj p smatrao jednakim razlomku (16/9) 2 , ili 256/81 , tj. p= 3,160...
U svetoj knjizi džainizma (jedna od najstarijih religija koja je postojala u Indiji i nastala u 6. veku pre nove ere) postoji indikacija iz koje sledi da je broj p u to vreme uzet jednak, što daje razlomak 3,162...
Stari Grci Eudoks, Hipokrat a ostala mjerenja kruga svedena su na konstrukciju segmenta, a mjerenje kruga - na konstrukciju jednakog kvadrata. Treba napomenuti da su mnogo vekova matematičari iz različitih zemalja i naroda pokušavali da izraze odnos obima i prečnika racionalnog broja.

Arhimed u 3. veku BC. potkrepio je u svom kratkom djelu "Mjerenje kruga" tri pozicije:

Bilo koja kružnica jednaka je po veličini pravokutnom trokutu, čiji su kraci jednaki opsegu i njegovom polumjeru;

Površine kruga se odnose na kvadrat izgrađen na prečniku, kao 11 do 14;

Omjer bilo kojeg kruga i njegovog prečnika je manji od 3 1/7 i više 3 10/71 .

Poslednja rečenica Arhimed potkrijepljen uzastopnim izračunavanjem perimetara pravilnog upisanog i opisanog poligona udvostručavanjem broja njihovih stranica. Prvo je udvostručio broj stranica pravilnih upisanih i upisanih šesterokuta, zatim dvanaestouglova i tako dalje, dovodeći proračune do perimetara pravilnog upisanog i opisanog poligona sa 96 strana. Prema preciznim proračunima Arhimed omjer obima i prečnika je između brojeva 3*10/71 i 3*1/7 , što znači da je p = 3,1419... Pravo značenje ove veze 3,1415922653...
U 5. veku BC. kineski matematičar Zu Chongzhi pronađena je tačnija vrijednost ovog broja: 3,1415927...
U prvoj polovini XV veka. opservatorije Ulugbek, u blizini Samarkand, astronom i matematičar al-Kashi izračunati p sa 16 decimalnih mjesta. Napravio je 27 udvostručavanja broja stranica poligona i došao do poligona sa 3*2 28 uglova. Al-Kashi napravio jedinstvene proračune koji su bili potrebni za sastavljanje tabele sinusa sa korakom od 1" . Ove tablice su imale važnu ulogu u astronomiji.
Pola veka kasnije u Evropi F.Viet pronašao broj p sa samo 9 tačnih decimalnih mjesta radeći 16 udvostručavanja broja stranica poligona. Ali istovremeno F.Viet je prvi primijetio da se p može naći korištenjem granica nekih serija. Ovo otkriće je bilo od velike važnosti, jer je omogućilo da se p izračuna sa bilo kojom preciznošću. Samo 250 godina kasnije al-Kashi njegov rezultat je nadmašen.
Prvi koji je uveo notaciju za omjer obima kruga i njegovog prečnika modernim simbolom p bio je engleski matematičar W. Johnson 1706. Kao simbol uzeo je prvo slovo grčke riječi "periferija", što u prevodu znači "krug". Uvedeno W. Johnson oznaka je postala uobičajena nakon objavljivanja radova L. Euler, koji je prvi put koristio uneseni znak u 1736 G.
Krajem XVIII vijeka. A.M. Lazhandre na osnovu radova I.G. Lambert dokazao da je broj p iracionalan. Zatim nemački matematičar F. Lindeman na osnovu istraživanja Sh. Ermita, pronašao rigorozan dokaz da ovaj broj nije samo iracionalan, već i transcendentalan, tj. ne može biti korijen algebarske jednadžbe. Iz potonjeg slijedi da korištenjem samo šestara i ravnala za konstruiranje segmenta jednakog obima, nemoguće, pa stoga nema rješenja za problem kvadrature kruga.
Potraga za tačnim izrazom za p nastavila se i nakon rada F. Vieta. Početkom XVII vijeka. Holandski matematičar iz Kelna Ludolf van Zeulen(1540-1610) (neki istoričari ga zovu L. van Keulen) pronašao 32 ispravna znaka. Od tada (god. izdanja 1615.) vrijednost broja p sa 32 decimale naziva se broj Ludolf.
Krajem 19. vijeka, nakon 20 godina mukotrpnog rada, Englez William Shanks pronađeno 707 cifara broja p. Međutim, 1945. godine otkriveno je uz pomoć kompjutera koji Shanks u svojim proračunima je pogriješio u 520. predznaku i njegovi dalji proračuni su se pokazali netačnim.
Nakon razvoja metoda diferencijalnog i integralnog računa, pronađene su mnoge formule koje sadrže broj "pi". Neke od ovih formula vam omogućavaju da izračunate "pi" na druge načine osim metode Arhimed i racionalnije. Na primjer, broj "pi" se može doći traženjem granica neke serije. dakle, G. Leibniz(1646-1716) dobio je 1674. broj

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,

što je omogućilo izračunavanje p na kraći način od Arhimed. Ipak, ova serija konvergira vrlo sporo i stoga zahtijeva prilično duge proračune. Za izračunavanje "pi" pogodnije je koristiti seriju dobivenu proširenjem arctg x sa vrednošću x=1/ , za koje je proširenje funkcije arktan 1/=p /6 u nizu daje jednakost

p /6 = 1/,
one.
str= 2

Djelomično, sume ove serije mogu se izračunati po formuli

S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,

dok će "pi" biti ograničeno dvostruka nejednakost:

Još pogodnija formula za izračunavanje str primljeno J. Machin. Koristeći ovu formulu, izračunao je str(1706. godine) sa tačnošću od 100 tačnih znakova. Dobru aproksimaciju za "pi" daje

Međutim, treba imati na umu da ovu jednakost treba smatrati približnom, jer njegova desna strana je algebarski broj, a lijeva transcendentalna, stoga ovi brojevi ne mogu biti jednaki.
Kao što je istaknuto u njihovim člancima E.Ya.Bakhmutskaya(60-ih godina XX veka), još u XV-XVI veku. Južnoindijski naučnici, uključujući Nilakanta, koristeći metode aproksimativnog izračunavanja broja p , pronašao način da proširi arctg x u niz snaga sličan pronađenom nizu Leibniz. Indijski matematičari dali su verbalnu formulaciju pravila za širenje u nizove sinus i kosinus. Time su anticipirali otkriće evropskih matematičara 17. veka. Ipak, njihov izolovan i praktičnim potrebama ograničen računski rad nije uticao na dalji razvoj nauke.
U naše vrijeme rad kalkulatora zamijenjen je kompjuterima. Uz njihovu pomoć, broj "pi" je izračunat sa tačnošću većom od milion decimalnih mjesta, a ovi proračuni su trajali svega nekoliko sati.
U modernoj matematici, broj p nije samo omjer opsega i prečnika, on je uključen u veliki broj različitih formula, uključujući formule neeuklidske geometrije i formulu L. Euler, koji uspostavlja vezu između broja p i broja e na sljedeći način:

e 2 str i = 1 , gdje i = .

Ova i druge međuzavisnosti omogućile su matematičarima da dalje razumiju prirodu broja p.

14. marta se u cijelom svijetu obilježava veoma neobičan praznik - Dan broja Pi. Svi to znaju još od školskih dana. Učenicima se odmah objašnjava da je broj Pi matematička konstanta, odnos obima kruga i njegovog prečnika, koji ima beskonačnu vrijednost. Ispostavilo se da je puno zanimljivih činjenica povezano s ovim brojem.

1. Istorija broja ima više od jednog milenijuma, skoro koliko postoji nauka matematike. Naravno, tačna vrijednost broja nije odmah izračunata. U početku se smatralo da je odnos obima i prečnika jednak 3. Ali s vremenom, kada se arhitektura počela razvijati, bilo je potrebno preciznije mjerenje. Inače, broj je postojao, ali je slovnu oznaku dobio tek početkom 18. vijeka (1706. godine) i dolazi od početnih slova dvije grčke riječi koje znače „obim“ i „perimetar“. Matematičar Jones je broj obdario slovom "π", a ona je čvrsto ušla u matematiku već 1737. godine.

2. U različitim epohama i među različitim narodima, broj Pi je imao različita značenja. Na primjer, u starom Egiptu bio je 3,1604, kod Hindusa je dobio vrijednost od 3,162, Kinezi su koristili broj jednak 3,1459. Vremenom se π sve preciznije računao, a kada se pojavila kompjuterska tehnologija, odnosno kompjuter, počeo je da ima više od 4 milijarde znakova.

3. Postoji legenda, tačnije, stručnjaci smatraju da je broj Pi korišten u izgradnji Vavilonske kule. Međutim, nije Božji gnjev uzrokovao njegovo urušavanje, već pogrešni proračuni tokom izgradnje. Kao, stari majstori su pogriješili. Slična verzija postoji u vezi sa Solomonovim hramom.

4. Važno je napomenuti da su vrijednost Pi pokušali uvesti čak i na državnom nivou, odnosno kroz zakon. Godine 1897. u državi Indijana je napravljen nacrt zakona. Prema dokumentu, Pi je bio 3,2. Međutim, naučnici su na vrijeme intervenirali i tako spriječili grešku. Konkretno, profesor Purdue, koji je bio prisutan u zakonodavnoj skupštini, izjasnio se protiv zakona.

5. Zanimljivo je da nekoliko brojeva u beskonačnom nizu Pi ima svoje ime. Dakle, šest devetki Pi je nazvano po američkom fizičaru. Jednom je Richard Feynman držao predavanje i zaprepastio publiku primedbom. Rekao je da želi da nauči cifre od pi do šest devetki napamet, da bi na kraju priče rekao "devet" šest puta, nagoveštavajući da je njegovo značenje racionalno. Kada je u stvari iracionalno.

6. Matematičari širom svijeta ne prestaju sa istraživanjima vezanim za broj Pi. Doslovno je obavijeno velom misterije. Neki teoretičari čak vjeruju da sadrži univerzalnu istinu. U cilju razmjene znanja i novih informacija o Pi, organizirali su Pi klub. Ulazak u njega nije lak, potrebno je imati izvanredno pamćenje. Dakle, ispituju se oni koji žele postati član kluba: osoba mora izgovoriti što više znakova broja Pi napamet.

7. Čak su smislili razne tehnike za pamćenje broja Pi nakon decimalnog zareza. Na primjer, smišljaju cijele tekstove. U njima riječi imaju isti broj slova kao i odgovarajuća cifra iza decimalnog zareza. Da bi dodatno pojednostavili pamćenje tako dugog broja, sastavljaju stihove po istom principu. Članovi Pi kluba se često na ovaj način zabavljaju, a ujedno treniraju pamćenje i domišljatost. Na primjer, takav hobi imao je Mike Keith, koji je prije osamnaest godina smislio priču u kojoj je svaka riječ jednaka gotovo četiri hiljade (3834) prvih cifara pi.

8. Postoje čak i ljudi koji su postavili rekorde u pamćenju znakova Pi. Dakle, u Japanu je Akira Haraguchi zapamtio više od osamdeset tri hiljade znakova. Ali domaći rekord nije tako izvanredan. Stanovnik Čeljabinska uspio je zapamtiti samo dvije i po hiljade brojeva nakon decimalnog broja Pi.

"Pi" u perspektivi

9. Dan Pi se slavi više od četvrt veka, od 1988. godine. Jednog dana, fizičar iz Muzeja popularne nauke u San Francisku, Larry Shaw, primijetio je da se 14. mart piše isto kao pi. U datumu, mjesecu i danu obrasca 3.14.

10. Dan Pi se slavi ne samo na originalan način, već i na zabavan način. Naravno, naučnici koji se bave egzaktnim naukama to ne propuštaju. Za njih je ovo način da se ne odvoje od onoga što vole, ali da se istovremeno opuste. Na ovaj dan ljudi se okupljaju i kuvaju različite poslastice sa likom Pi. Posebno tu ima mjesta za lutanje poslastičara. Mogu napraviti pi torte i kolačiće sličnog oblika. Nakon degustacije poslastica, matematičari priređuju razne kvizove.

11. Postoji zanimljiva koincidencija. 14. marta rođen je veliki naučnik Albert Ajnštajn, koji je, kao što znate, stvorio teoriju relativnosti. Bilo kako bilo, i fizičari se mogu pridružiti proslavi Dana broja broja Pi.

Pi- matematička konstanta jednaka omjeru obima kruga i njegovog prečnika. Broj pi je, čiji je digitalni prikaz beskonačan neperiodični decimalni razlomak - 3,141592653589793238462643 ... i tako dalje do beskonačnosti.

100 decimalnih mjesta: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 782164 782164 262 39 82

Istorija prečišćavanja vrednosti pi

U svakoj knjizi o zabavnoj matematici sigurno ćete pronaći istoriju prečišćavanja vrednosti pi. U početku, u staroj Kini, Egiptu, Babilonu i Grčkoj, razlomci su korišteni za izračunavanje, na primjer, 22/7 ili 49/16. U srednjem vijeku i renesansi, evropski, indijski i arapski matematičari su prečistili vrijednost pi na 40 cifara nakon decimalne zapete, a do početka kompjuterskog doba broj cifara je povećan na 500 naporima mnogih entuzijasta. .

Takva tačnost je od čisto akademskog interesa (o tome više u nastavku), a za praktične potrebe unutar Zemlje dovoljno je 10 decimalnih mjesta. S radijusom Zemlje od 6400 km ili 6,4 10 9 mm, ispada da ćemo, odbacivši dvanaestu cifru pi nakon decimalne točke, pogriješiti za nekoliko milimetara pri izračunavanju dužine meridijana. A kada se računa dužina Zemljine orbite oko Sunca (njegov radijus je 150 miliona km = 1,5 10 14 mm), za istu tačnost dovoljno je koristiti broj pi sa četrnaest decimala. Prosječna udaljenost od Sunca do Plutona, najudaljenije planete u Sunčevom sistemu, je 40 puta veća od prosječne udaljenosti od Zemlje do Sunca. Za izračunavanje dužine Plutonove orbite sa greškom od nekoliko milimetara, dovoljno je šesnaest cifara pi. Da, nema šta da se šalimo, prečnik naše galaksije je oko 100 hiljada svetlosnih godina (1 svetlosna godina je otprilike jednaka 10 13 km) ili 10 19 mm, a ipak je još u 17. veku dobijeno 35 pi znakova, suvišnih čak i za takve udaljenosti.

Koja je poteškoća u izračunavanju vrijednosti pi? Činjenica je da nije samo iracionalna, odnosno da se ne može izraziti kao razlomak p / q, gdje su p i q cijeli brojevi. Takvi brojevi se ne mogu tačno napisati, oni se mogu izračunati samo metodom uzastopnih aproksimacija, povećavajući broj koraka da bi se postigla veća tačnost. Najlakši način je uzeti u obzir pravilne poligone upisane u krug sa sve većim brojem strana i izračunati omjer perimetra poligona i njegovog prečnika. Kako se broj strana povećava, ovaj omjer teži pi. Tako je 1593. Adrian van Romen izračunao obim upisanog pravilnog mnogougla sa 1073741824 (tj. 230) stranica i odredio 15 znakova pi. Godine 1596. Ludolf van Zeulen je dobio 20 znakova računajući upisani poligon sa 60 x 2 33 strane. Nakon toga je izračune doveo na 35 znakova.

Drugi način izračunavanja pi je korištenje formula s beskonačnim brojem pojmova. Na primjer:

π = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...

π = 4 (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) + (1/9 - 1/11) + ...

Slične formule mogu se dobiti proširenjem, na primjer, tangente luka u Maclaurinov niz, znajući da

arctg(1) = π/4(jer tg(45°) = 1)

ili širenje arcsinusa u nizu, znajući to

arcsin(1/2) = π/6(noga leži pod uglom od 30°).

U savremenim proračunima koriste se još efikasnije metode. Uz njihovu pomoć danas.

pi dan

Dan broja pi neki matematičari slave 14. marta u 1:59 (u američkom sistemu datuma - 3/14; prve cifre broja π = 3,14159). Obično se slavi u 13:59 (po 12-časovnom sistemu), ali oni koji se pridržavaju 24-časovnog sistema vremena smatraju da je 13:59 i radije slave noću. U to vrijeme čitaju hvalospjeve u čast broja pi, njegovu ulogu u životu čovječanstva, crtaju distopijske slike svijeta bez pi, jedu pitu ( pita), pijte piće i igrajte igrice koje počinju sa "pi".

• Pi (broj) - Wikipedia

Prije nego pričamo o istorija pi , napominjemo da je broj Pi jedna od najmisterioznijih veličina u matematici. Sada ćete se i sami uvjeriti, dragi moj čitaoče...

Počnimo našu priču sa definicijom. Dakle, broj Pi je apstraktni broj , koji označava omjer obima kruga i dužine njegovog prečnika. Ova definicija nam je poznata iz školske klupe. Ali evo gde počinju misterije...

Ovu vrijednost je nemoguće izračunati do kraja, ona je jednaka 3,1415926535 , zatim nakon decimalnog zareza - do beskonačnosti. Naučnici vjeruju da se niz brojeva ne ponavlja, a taj niz je apsolutno slučajan...

Pi riddle tu se ne završava. Astronomi su uvjereni da je trideset devet decimalnih mjesta u ovom broju dovoljno da se izračuna obim koji okružuje poznate svemirske objekte u svemiru, s greškom u radijusu atoma vodika...

Broj Pi je usko povezan sa konceptom zlatnog preseka. Arheolozi su otkrili da je visina Velike piramide u Gizi povezana sa dužinom njene osnove, kao što je poluprečnik kružnice povezan sa njenom dužinom...

Istorija broja P takođe ostaje misterija. Poznato je da su čak i graditelji koristili ovu vrijednost za dizajn. Očuvan, star nekoliko hiljada godina, koji je sadržavao probleme čije je rješavanje podrazumijevalo korištenje broja Pi. Međutim, mišljenje o tačnoj vrijednosti ove količine među naučnicima iz različitih zemalja bilo je dvosmisleno. Tako je u gradu Susa, koji se nalazi dvjesto kilometara od Babilona, ​​pronađena ploča na kojoj je broj Pi označen kao 3¹/8 . U starom Babilonu otkriveno je da poluprečnik kruga kao tetiva ulazi u njega šest puta, tamo je prvi put predloženo da se krug podijeli na 360 stupnjeva. Napomenimo, uzgred, da je slična geometrijska akcija urađena i sa orbitom Sunca, što je drevne naučnike navelo na ideju da u godini treba da ima otprilike 360 ​​dana. Međutim, u Egiptu je broj pi bio jednak 3,16 , au staroj Indiji - 3, 088 , u staroj Italiji - 3,125 . vjerovao da je ova vrijednost jednaka razlomku 22/7 .

Pi je najpreciznije izračunao kineski astronom. Zu Chun Zhi u 5. veku nove ere. Da bi to učinio, dvaput je napisao neparne brojeve 11 33 55, zatim ih je podijelio na pola, stavio prvi dio u nazivnik razlomka, a drugi dio u brojilac i tako dobio razlomak 355/113 . Iznenađujuće, značenje se poklapa sa modernim proračunima do sedme cifre ...

Ko je dao prvi službeni naziv ovoj vrijednosti?

Vjeruje se da 1647. godine matematičar Outtrade grčko slovo π nazvao obim, uzimajući za to prvo slovo grčke riječi περιφέρεια - "periferija" . Ali 1706. godine izašao je rad profesora engleskog William Jones "Pregled dostignuća matematike", u kojem je već slovom Pi označio odnos obima kruga i njegovog prečnika. Konačno, ovaj simbol je popravljen u 20. veku matematičar Leonhard Euler .

Otkako su ljudi imali sposobnost brojanja i počeli da istražuju svojstva apstraktnih objekata zvanih brojevi, generacije radoznalih umova su došle do fascinantnih otkrića. Kako se naše znanje o brojevima povećava, nekima od njih je posvećena posebna pažnja, a nekima su čak pripisana mistična značenja. Was, što ne znači ništa, i koje, kada se pomnoži sa bilo kojim brojem, daje samo sebe. Postojao je, početak svega, takođe posedujući retka svojstva, prosti brojevi. Tada su otkrili da postoje brojevi koji nisu cijeli brojevi, a ponekad se dobiju dijeljenjem dva cijela broja - racionalni brojevi. Iracionalni brojevi koji se ne mogu dobiti kao omjer cijelih brojeva itd. Ali ako postoji broj koji je fascinirao i izazvao pisanje mnoštva radova, onda je to (pi). Broj koji se, uprkos svojoj dugoj istoriji, nije zvao kako ga danas zovemo sve do osamnaestog veka.

Počni

Broj pi se dobija tako što se obim kruga podeli sa njegovim prečnikom. U ovom slučaju veličina kruga nije bitna. Veliki ili mali, odnos dužine i prečnika je isti. Iako je vjerovatno da je ovo svojstvo bilo poznato ranije, najraniji dokaz o ovom znanju je Moskovski matematički papirus iz 1850. godine prije Krista. i Ahmesov papirus, 1650. p.n.e. (iako je to kopija starijeg dokumenta). Ima veliki broj matematičkih problema, od kojih su neki približni, što je nešto više od 0,6% manje od tačne vrijednosti. Otprilike u isto vrijeme, Babilonci su smatrali jednakima. U Starom zavetu, napisanom više od deset vekova kasnije, Jahve ne komplikuje život i utvrđuje božanskom odredbom šta je tačno jednako.

Međutim, veliki istraživači ovog broja bili su stari Grci kao što su Anaksagora, Hipokrat sa Hiosa i Antifona iz Atene. Prethodno je vrijednost određena, gotovo sigurno, eksperimentalnim mjerenjima. Arhimed je prvi shvatio kako teorijski procijeniti njegov značaj. Upotreba opisanog i upisanog poligona (veći je opisan u blizini kruga u koji je upisan manji) omogućila je da se odredi šta je veće, a šta manje. Uz pomoć Arhimedove metode, drugi matematičari su dobili bolje aproksimacije, a Zu Chongzhi je već 480. utvrdio da su vrijednosti između i. Međutim, metoda poligona zahtijeva mnogo proračuna (podsjetimo da je sve rađeno ručno, a ne u modernom brojevnom sistemu), tako da nije imala budućnost.

Zastupanje

Trebalo je čekati 17. vijek, kada se otkrićem beskonačnog niza dogodila revolucija u računanju, iako prvi rezultat nije bio u blizini, bio je to proizvod. Beskonačni nizovi su zbroji beskonačnog broja pojmova koji formiraju određeni niz (na primjer, svi brojevi oblika u kojima uzima vrijednosti od do beskonačnosti). U mnogim slučajevima zbir je konačan i može se naći razne metode. Ispostavilo se da neki od ovih nizova konvergiraju na ili na neku veličinu koja je povezana s. Da bi niz konvergirao, potrebno je (ali nije dovoljno) da sabirne veličine teže nuli s rastom. Dakle, što više brojeva dodamo, točniju dobijamo vrijednost. Sada imamo dvije mogućnosti za dobijanje preciznije vrijednosti. Ili fold više brojeva, ili pronađite drugu seriju koja se brže konvergira tako da dodajete manje brojeva.

Zahvaljujući ovom novom pristupu, tačnost proračuna se dramatično povećala, a 1873. godine William Shanks je objavio rezultat dugogodišnjeg rada, dajući vrijednost sa 707 decimalnih mjesta. Srećom, nije doživio 1945. godinu, kada se otkrilo da je pogriješio i da su svi brojevi, počevši od njih, bili pogrešni. Međutim, njegov pristup je bio najprecizniji prije pojave kompjutera. Bila je to pretposljednja revolucija u računarstvu. Matematičke operacije za koje bi bilo potrebno nekoliko minuta za ručno izvođenje sada se izvode u djelićima sekunde, gotovo bez grešaka. John Wrench i L. R. Smith uspjeli su izračunati 2000 cifara za 70 sati na prvom elektronskom računaru. Barijera od milion cifara dostignuta je 1973.

Najnoviji (do sada) napredak u računarstvu je otkriće iterativnih algoritama koji konvergiraju u brže od beskonačnih serija, tako da se može postići mnogo veća preciznost za istu računsku snagu. Trenutni rekord je nešto više od 10 triliona tačnih cifara. Zašto računati tako precizno? S obzirom da je, poznavajući 39 cifara ovog broja, moguće izračunati zapreminu poznatog Univerzuma sa tačnošću od atoma, nema razloga ... još.

Neke zanimljive činjenice

Međutim, izračunavanje vrijednosti je samo mali dio njegove povijesti. Ovaj broj ima svojstva koja ovu konstantu čine toliko radoznalom.

Možda je najveći problem povezan sa dobro poznatim problemom kvadriranja kruga, problemom konstruisanja šestarom i ravnalom kvadrata čija je površina jednaka površini date kružnice. Kvadratura kruga mučila je generacije matematičara dvadeset i četiri stoljeća, sve dok von Lindemann nije dokazao da je - transcendentan broj (nije rješenje nijedne polinomske jednadžbe s racionalnim koeficijentima) i stoga je nemoguće dokučiti neizmjernost . Sve do 1761. godine nije dokazano da je broj iracionalan, odnosno da ne postoje dva prirodna broja i to. Transcendencija je dokazana tek 1882. godine, međutim, još nije poznato da li su brojevi ili (je još jedan iracionalni transcendentalni broj) iracionalni. Pojavljuju se mnoge veze koje nisu vezane za krugove. Ovo je dio koeficijenta normalizacije normalne funkcije, očito najčešće korištenog u statistici. Kao što je ranije spomenuto, broj se pojavljuje kao zbir mnogih serija i jednak je beskonačnim proizvodima, također je važan u proučavanju kompleksnih brojeva. U fizici se može naći (u zavisnosti od sistema jedinica koji se koristi) u kosmološkoj konstanti (najveća greška Alberta Ajnštajna) ili konstantnoj konstanti magnetsko polje. U brojevnom sistemu sa bilo kojom osnovom (decimalni, binarni...), cifre prolaze sve testove za slučajnost, nema vidljivog reda ili niza. Riemannova zeta funkcija blisko povezuje broj sa prostim brojevima. Ovaj broj ima dugu istoriju i vjerovatno još uvijek nosi mnoga iznenađenja.

Pi je jedan od najpopularnijih matematičkih koncepata. O njemu se pišu slike, snimaju se filmovi, sviraju na muzičkim instrumentima, posvećuju mu se pesme i praznici, traga se i nalazi u svetim tekstovima.

Ko je otkrio pi?

Ko je i kada prvi otkrio broj π još uvijek je misterija. Poznato je da su ga graditelji drevnog Babilona već uvelike koristili prilikom projektovanja. Na klinastim pločama starim hiljadama godina sačuvani su čak i problemi za koje je predloženo da se riješe uz pomoć π. Istina, tada se vjerovalo da je π jednako tri. O tome svjedoči ploča pronađena u gradu Susa, dvjesto kilometara od Babilona, ​​gdje je broj π označen kao 3 1/8.

U procesu izračunavanja π, Babilonci su otkrili da poluprečnik kruga kao tetiva ulazi u njega šest puta, te su krug podijelili na 360 stepeni. A u isto vrijeme su isto uradili i sa orbitom sunca. Stoga su odlučili uzeti u obzir da u godini ima 360 dana.

U starom Egiptu pi je bio 3,16.
U staroj Indiji - 3.088.
U Italiji, na prijelazu epoha, vjerovalo se da je π jednako 3,125.

U antici, najranije spominjanje π odnosi se na poznati problem kvadrature kruga, odnosno nemogućnosti konstruiranja kvadrata šestarom i ravnalom, čija je površina jednaka površini od određeni krug. Arhimed je izjednačio π sa razlomkom 22/7.

Najbliža tačna vrijednost π došla je u Kini. Izračunato je u 5. veku nove ere. e. poznati kineski astronom Zu Chun Zhi. Izračunavanje π je prilično jednostavno. Trebalo je dvaput napisati. neparni brojevi: 11 33 55, a zatim, podijelivši ih na pola, prvo stavimo u nazivnik razlomka, a drugo u brojilac: 355/113. Rezultat je u skladu sa modernim proračunima broja π do sedme cifre.

Zašto π - π?

Sada čak i školarci znaju da je broj π matematička konstanta jednaka omjeru obima kruga i dužine njegovog promjera i jednaka je π 3,1415926535 ... i dalje nakon decimalne točke - do beskonačnosti.

Broj je dobio svoju oznaku π na složen način: najprije je matematičar Outrade 1647. nazvao obim ovim grčkim slovom. Uzeo je prvo slovo grčke riječi περιφέρεια - "periferija". Godine 1706., učitelj engleskog Vilijam Džons, u svom Pregledu napredovanja matematike, već je nazvao slovo π odnosom obima kruga i njegovog prečnika. A ime je odredio matematičar iz 18. vijeka Leonhard Euler, pred čijom su vlašću ostali pognuli glave. Tako je pi postalo pi.

Jedinstvenost broja

Pi je zaista jedinstven broj.

1. Naučnici vjeruju da je broj znakova u broju π beskonačan. Njihova sekvenca se ne ponavlja. Štaviše, niko nikada neće moći pronaći ponavljanja. Pošto je broj beskonačan, može sadržati apsolutno sve, čak i Rahmanjinovu simfoniju, Stari zavet, vaš broj telefona i godinu u kojoj će doći Apokalipsa.

2. π se odnosi na teoriju haosa. Naučnici su do ovog zaključka došli nakon što su kreirali Baileyjev računski program, koji je pokazao da je niz brojeva u π apsolutno slučajan, što odgovara teoriji.

3. Gotovo je nemoguće izračunati broj do kraja - trebalo bi previše vremena.

4. π je iracionalan broj, odnosno njegova vrijednost se ne može izraziti kao razlomak.

5. π je transcendentan broj. Ne može se dobiti izvođenjem algebarskih operacija nad cijelim brojevima.

6. Trideset devet decimalnih mjesta u broju π dovoljno je da se izračuna dužina kruga koji okružuje poznate svemirske objekte u Univerzumu, sa greškom u polumjeru atoma vodonika.

7. Broj π je povezan sa konceptom "zlatnog preseka". U procesu mjerenja Velike piramide u Gizi, arheolozi su otkrili da je njena visina povezana s dužinom njene osnove, kao što je polumjer kružnice povezan s njenom dužinom.

Zapisi vezani za π

Godine 2010. Yahoo matematičar Nicholas Zhe uspio je izračunati dva kvadriliona decimalnih mjesta (2x10) u π. Bilo je potrebno 23 dana, a matematičaru je bilo potrebno mnogo asistenata koji su radili na hiljadama računara, ujedinjenih raštrkanom računarskom tehnologijom. Metoda je omogućila proračune sa tako fenomenalnom brzinom. Bilo bi potrebno više od 500 godina da se isto izračuna na jednom računaru.

Za jednostavno zapisivanje svega na papir bila bi potrebna papirna traka duga preko dvije milijarde kilometara. Ako proširite takav zapis, njegov kraj će ići dalje Solarni sistem.

Kinez Liu Chao postavio je rekord u pamćenju niza cifara broja π. U roku od 24 sata i 4 minuta, Liu Chao je imenovao 67.890 decimalnih mjesta bez i jedne greške.

pi ima mnogo fanova. Svira se na muzičkim instrumentima, a pokazalo se da „zvuči” odlično. Zbog toga se pamti i izmišlja razni trikovi. Iz zabave ga skidaju na svoj kompjuter i hvale se jedni drugima ko je više skinuo. Njemu se podižu spomenici. Na primjer, postoji takav spomenik u Seattleu. Nalazi se na stepenicama ispred Muzeja umjetnosti.

π se koristi u dekoracijama i interijerima. Njemu su posvećene pjesme, za njim se traga u svetim knjigama i iskopinama. Postoji čak i "Klub π".
U najboljoj tradiciji broja π, ne jedan, već dva cijela dana u godini posvećen je broju! Dan broja Pi se prvi put obilježava 14. marta. Neophodno je da čestitamo jedni drugima tačno u 1 sat, 59 minuta i 26 sekundi. Dakle, datum i vrijeme odgovaraju prvim ciframa broja - 3.1415926.

Drugi put se π slavi 22. jula. Ovaj dan je povezan sa takozvanim "približnim π", koji je Arhimed zapisao kao razlomak.
Obično na ovaj dan π studenti, školarci i naučnici organiziraju smiješne flash mobove i akcije. Matematičari, zabavljajući se, koriste π da izračunaju zakone pada sendviča i daju jedni drugima komične nagrade.
I usput, pi se zapravo može naći u svetim knjigama. Na primjer, u Bibliji. I tamo je broj pi… tri.

Vrijednost broja(izgovara se "pi") je matematička konstanta jednaka omjeru

Označeno slovom grčkog alfabeta "pi". staro ime - Ludolfov broj.

Čemu je pi jednako? U jednostavnim slučajevima dovoljno je znati prva 3 znaka (3.14). Ali za više

složenim slučajevima i gdje je potrebna veća tačnost potrebno je znati više od 3 cifre.

Šta je pi? Prvih 1000 decimalnih mjesta pi su:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

U normalnim uslovima, približna vrednost pi može se izračunati prateći tačke,

ispod:

1. Uzmite krug, jednom omotajte konac oko njegovog ruba.
2. Mjerimo dužinu konca.
3. Mjerimo prečnik kruga.
4. Podijelite dužinu konca sa dužinom prečnika. Imamo broj pi.

Pi svojstva.

• pi- iracionalan broj, tj. vrijednost pi ne može se tačno izraziti u obliku

razlomci m/n, gdje m i n su cijeli brojevi. Ovo pokazuje da je decimalni prikaz

pi se nikada ne završava i nije periodičan.

• pi je transcendentan broj, tj. ne može biti korijen bilo kojeg polinoma s cijelim brojevima

koeficijenti. Profesor Königsberg je 1882. dokazao transcendenciju pi, a

kasnije, profesor na Univerzitetu u Minhenu Lindemann. Dokaz je pojednostavljen

Feliks Klajn 1894.

• budući da su u euklidskoj geometriji površina kruga i obim kruga funkcije pi,

tada je dokaz transcendencije broja pi okončao spor o kvadraturi kruga, koji je trajao više od

2,5 hiljade godina.

• pi je element prstena perioda (tj. izračunljiv i aritmetički broj).

Ali niko ne zna da li pripada prstenu perioda.

Pi formula.

• François Viet:

• Wallisova formula:

• Leibniz serija:

• Ostali redovi:

U matematici postoji beskonačan broj različitih brojeva. Većina njih uopće ne privlače pažnju. Međutim, neki, na prvi pogled, apsolutno nezanimljivi brojevi toliko su poznati da čak imaju i svoja imena. Jedna od ovih konstanti takođe uključuje iracionalni broj Pi, proučavan još u školi i koji se koristi za izračunavanje površine ili perimetra kružnice duž datog radijusa.

Iz istorije konstante

Zanimljive činjenice o broju Pi - istorija studije. Postojanje konstante broji oko 4 milenijuma. Drugim riječima, malo je mlađa od same nauke matematike.

Prvi dokaz da je broj pi bio poznat u starom Egiptu nalazi se u Ahmesovom papirusu, jednoj od najstarijih pronađenih knjiga problema. Dokument datira otprilike iz 1650. godine prije Krista. e. U papirusu je pretpostavljena konstanta 3,1605. Ovo je prilično tačna vrijednost, s obzirom da su drugi narodi koristili 3 da izračunaju obim kruga iz njegovog prečnika.

Malo preciznije, broj Pi je izračunao Arhimed, starogrčki matematičar. Uspio je približiti vrijednost u formi obične frakcije 22/7 i 223/71. Postoji legenda da je bio toliko zauzet izračunavanjem konstante da nije obraćao pažnju na to kako su Rimljani zauzeli njegov grad. U tom trenutku, kada je ratnik prišao naučniku, Arhimed mu je viknuo da ne dira njegove crteže. Ove riječi matematičara bile su posljednje.

Al-Khwarizmi, osnivač algebre, koji je živio u 8.-9. vijeku, radio je na proračunima konstante. Uz malu grešku, dobio je broj Pi, jednak 3,1416.

Nakon 8 vekova, matematičar Ludolf van Zeulen je tačno identifikovao 36 decimalnih mesta. Za ovo dostignuće, broj Pi se ponekad naziva Ludolfova konstanta (drugi poznati nazivi su Arhimedova konstanta ili kružna konstanta), a brojke koje je naučnik dobio ugravirane su na njegovom nadgrobnom spomeniku.

Otprilike u isto vrijeme, konstanta se počela koristiti ne samo za krug, već i za izračunavanje složenih krivulja - lukova i hipocikloida.

Tek početkom 18. vijeka konstanta je nazvana pi. Oznaka u obliku slova π nije slučajno odabrana - s njom počinju 2 grčke riječi, što znači krug i perimetar. Naziv je predložio naučnik Jones 1706. godine, a već 30 godina kasnije slika ovog grčkog slova čvrsto se koristi među ostalim matematičkim zapisima.

U 19. veku, William Shanks je radio na izračunavanju prvih 707 znakova konstante. Nije uspio u potpunosti ispuniti zadatak - greška se uvukla u proračune, a broj 527 se pokazao netačnim. Međutim, čak i dobijeni rezultat bio je dobro dostignuće za nauku tog vremena.

AT kasno XIX vijeka, netačna vrijednost 3,2 je gotovo prihvaćena na državnom nivou u državi Indijana. Srećom, matematičari su uspjeli da se suprotstave prijedlogu zakona i spriječe grešku.

U XX-XXI vijeku. uz korištenje kompjuterske tehnologije, tačnost i brzina izračunavanja konstante povećana je hiljadama puta. Do 2002. godine, više od 1 bilion cifara konstante bilo je kompjuterski određeno u Japanu. Nakon 9 godina, tačnost izračuna je već bila 10 triliona znakova nakon decimalnog zareza.

U umjetnosti i marketingu

Iako je pi matematička konstanta, ljudi su godinama pokušavali da iskoriste iracionalnu i misterioznu vrijednost u drugim područjima života, uključujući i umjetnička djela.

Prvi znaci konstante pronađeni su u spomeniku arhitekture u Gizi. Prilikom određivanja veličine Velike piramide, pokazalo se da je omjer opsega njene osnove i visine π. Nepoznato je samo da li je arhitekta želeo da iskoristi svoje znanje o ovom broju ili je takav odnos nastao slučajno.

Trenutno broj Pi također nije lišen pažnje u kreativnosti. Na primjer, ako svaku notu molske ljestvice označite brojem od 0 do 9, a zatim odsvirate rezultirajući niz u obliku broja Pi na muzički instrument, možete uživati ​​u neobičnoj melodiji sa zanimljivim zvukom.

Konstant takođe nije zaobišao ni bioskop. Dramski film Pi: Faith in Chaos osvojio je nagradu za najbolju režiju na Sundance Film Festivalu. Prema zapletu glavni lik je u potrazi za jednostavnim i razumljivim odgovorima na pitanja o konstanti, što ga je kao rezultat gotovo izludilo. Reference na broj se također nalaze u drugim filmovima i TV emisijama.

Broj je našao svoju primjenu čak i u tako neočekivanoj oblasti kao što je marketing. Tako je kompanija Givenchy proizvela kolonjsku vodu pod nazivom "Pi".

Konstanta i društvo

Neke karakteristike broja:

1. Konstanta je iracionalna vrijednost. To znači da se ne može predstaviti kao omjer dva broja. Osim toga, u njegovom dosijeu nema regularnosti.
2. Likovi koji se ponavljaju u nizu u konstanti nisu neuobičajeni. Dakle, na svakih 20-30 karaktera obično postoje najmanje 2 uzastopna broja. Sekvence od 3 znaka su već ređe, nailaze se sa frekvencijom od oko 1 ponavljanja na 150-300 karaktera. A na 763. znaku počinje lanac od 6 uzastopnih devetki. Ovo mjesto u zapisu čak ima i svoje ime - Feynmanova tačka.
3. Ako uzmemo u obzir prvi milion znakova, onda će prema statistici najrjeđi brojevi u njemu biti 6 i 1, a najčešći - 5 i 4.
4. Broj 0 pojavljuje se u nizu kasnije od ostalih, samo na 31 znak.
5. U trigonometriji, ugao od 360 stepeni i konstanta su usko povezani. Čudno, ali na 358, 359 i 360 pozicija iza decimalnog zareza nalazi se broj 360.

U cilju razmjene informacija o otkrićima, osnovan je Pi klub. Oni koji žele da joj se pridruže moraju položiti težak ispit: budući član matematičke zajednice mora ispravno imenovati što više znakova konstante iz memorije.

Naravno, pamćenje dugog numeričkog niza koji nema obrazaca i ponavljanja je prilično težak zadatak. Da bi se olakšao zadatak, izmišljaju se različiti tekstovi i pjesme u kojima broj slova u riječi odgovara određenoj figuri konstante. Ova metoda pamćenja popularna je među članovima Pi kluba. Jedna od najdužih priča sadržavala je 3834 prve cifre broja.

Spomenik u Muzeju umjetnosti u Sijetlu

Međutim, priznati prvaci u pamćenju su, naravno, stanovnici Kine i Japana. Dakle, Japanac Akira Haraguči uspio je naučiti više od 83 hiljade cifara nakon decimalnog zareza. A Kinez Liu Chao postao je poznat kao čovjek koji je mogao imenovati 67.890 simbola broja Pi u rekordnom vremenu od 24 sata. Istovremeno, prosječna brzina je bila 47 znakova u minuti. U početku mu je bio cilj da imenuje 93 hiljade brojeva, ali je napravio grešku, nakon čega nije nastavio.

Kako bi se naglasilo značenje konstante, ispred Muzeja umjetnosti u Sijetlu podignut je spomenik u obliku ogromnog grčkog slova π.

Osim toga, Dan broja broja Pi se obilježava svakog 14. marta od 1988. godine. Datum se poklapa sa prvim znacima konstante - 3.14. Proslavite ga nakon 1:59. Zainteresovani se ovog dana časte kolačima i kolačićima sa simbolom Pi, nakon čega se održavaju razna matematička takmičenja i kvizovi. Inače, na današnji dan rođeni su A. Einstein, astronom Schiaparelli i astronaut Cernan.

Pi broj je nevjerovatna konstanta koja je našla svoju primjenu u raznim oblastima, od tehnologije i građevinarstva do umjetnosti. Kao i svaka druga veličina koja se često koristi i koja se ne može u potpunosti izračunati, uvijek će privući pažnju matematičara, fizičara i drugih naučnika.