Х-ээс уншихад таатай байна. Stephen Strogatz - The Pleasure of X. Дэлхийн шилдэг багш нарын нэгээс математикийн ертөнцөд хийсэн гайхалтай аялал

Энэ ном таны математикт хандах хандлагыг үндсээр нь өөрчлөх чадвартай. Энэ нь богино бүлгүүдээс бүрдэх бөгөөд тус бүрд нь та шинэ зүйлийг олж мэдэх болно. Та эргэн тойрныхоо ертөнцийг судлах, геометрийн гоо сайхныг ойлгох, интеграл тооцооллын дэгжин байдалтай танилцах, статистикийн ач холбогдлыг олж мэдэх, хязгааргүйтэй холбоо тогтооход тоо хичнээн хэрэгтэй болохыг мэдэж авах болно. Зохиогч математикийн үндсэн санааг энгийн бөгөөд дэгжин тайлбарлаж, хүн бүр ойлгохуйц гайхалтай жишээнүүдийг өгдөг.

• Нэр: X-ийн таашаал. Дэлхийн шилдэг багш нарын нэгээс математикийн ертөнцөд хийсэн сэтгэл хөдөлгөм аялал
• Зохиогч:
• Жил:
• Төрөл:

• Татаж авах
• ишлэл

X-ийн таашаал. Дэлхийн шилдэг багш нарын нэгээс математикийн ертөнцөд хийсэн сэтгэл хөдөлгөм аялал
Стивен Строгац

Энэ ном таны математикт хандах хандлагыг үндсээр нь өөрчлөх чадвартай. Энэ нь богино бүлгүүдээс бүрдэх бөгөөд тус бүрд нь та шинэ зүйлийг олж мэдэх болно. Та эргэн тойрныхоо ертөнцийг судлах, геометрийн гоо сайхныг ойлгох, интеграл тооцооллын дэгжин байдалтай танилцах, статистикийн ач холбогдлыг олж мэдэх, хязгааргүйтэй холбоо тогтооход тоо хичнээн хэрэгтэй болохыг мэдэж авах болно. Зохиогч математикийн үндсэн санааг энгийн бөгөөд дэгжин тайлбарлаж, хүн бүр ойлгохуйц гайхалтай жишээнүүдийг өгдөг.

Орос хэл дээр анх удаа хэвлэгдсэн.

Стивен Строгац

X-ийн таашаал. Дэлхийн шилдэг багш нарын нэгээс математикийн ертөнцөд хийсэн сэтгэл хөдөлгөм аялал

Стивен Строгац

Нэгээс хязгааргүй хүртэлх математикийн хөтөчтэй аялал

Стивен Строгацын зөвшөөрөлтэйгээр нийтлэгдсэн, c/o Brockman, Inc.

© Стивен Строгац, 2012 Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан

© Орос хэл дээрх орчуулга, орос хэл дээрх хэвлэл, дизайн. "Манн, Иванов ба Фербер" ХХК, 2014 он

Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан. Энэ номын цахим хувилбарын аль ч хэсгийг ямар ч хэлбэрээр, ямар ч аргаар хуулбарлан олшруулахыг хориглоно, тухайлбал интернет болон корпорацийн...

Өнгөрсөн оны тавдугаар сарын нэгэнд туслахаар сууж байлаа хяналтын ажил 10-р ангид математик. Уйдаж багшийн ширээнээс ажлын "нэмэлт" хувилбарыг авч, шийдэж эхлэв. Уг ажлыг би 1989 онд ахлах сургуулиа төгсөөд төгссөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын хэлбэрээр хийсэн. Гэсэн хэдий ч би нэг их хүчин чармайлтгүйгээр В хэсгийн 11 даалгаврыг шийдэж чадсан.- тэр өдөр бүтээл бичсэн олон хүнээс илүү. Оюутнуудын нэг + Юлия Соболева , намайг шийдэхийг гайхсан харцаар харж байгаад над дээр ирэн:

— Математикийн багш биш туслах хүн суугаад шийдэхийг анх удаа харж байна. Асуултанд уучлаарай, гэхдээ энэ нь таны амьдралд ямар нэгэн байдлаар хэрэг болсон уу?

Аравдугаар ангийн сурагчийн асуулт миний толгойг эргүүлсэнгүй. Сургуульд байхдаа математикийн хичээлд би харилцан ойлголцолгүй хайртай байсан: математик надад хайртай, би түүнд хайртай байсан гэдэг утгаараа- Үгүй. Өөрөөр хэлбэл, математик надад үргэлж хялбар байсан, ямар ч асуудал гардаггүй, би бүх математикийн багш нараа халуун дулаанаар санаж байна ... Гэхдээ би математикт дургүй байсан, тэгээд л болоо! Ийм л юм болдог. Либерал урлагийн их сургуульд элсэн орсны дараа (би боловсролын хувьд түүхийн багш) би гэнэт математикийн дутагдалтай байгааг мэдэрч эхлэв. Би өдөр ирэх тусам биш, цаг өнгөрөх тусам тэнэг болж байгаа юм шиг санагдаж эхлэв. Тиймээс 1-нд-2 курс, энэ хоосон орон зайг нөхөхийн тулд тэрээр (!) олимпиадын бодлогуудын цуглуулга авч, шийдэж, төгсөх ангийн сурах бичгийг бүхэлд нь шинэ аргаар шийдсэн. Тэгээд- Өө, гайхамшиг! Оюун санааны тодорхой байдал, логик сэтгэлгээ аажмаар эргэж эхлэв. Тэгээд аль хэдийн 3-р курст суралцаж,Л.Кэрроллын "Логик тоглоом" номыг уншина уу (баярлалаа Сергей Мишельсон), логикийг сонирхож, математикийн хичээлийн хэрэгцээ ямар нэгэн байдлаар алга болсон. Тэгээд сургуулиа төгсөөд хэдэн жилийн дараа эдийн засгийн хичээл зааж эхлэхэд математик миний толгойд баттай суусан.- Асуудлыг ямар нэгэн байдлаар шийдэх хэрэгтэй.
Би яагаад энэ бүгдийг бичсэн юм бэ? Ийм урт оршил нь яагаад би саналыг дуртайяа хүлээж авсныг тайлбарлах зорилготой юм + Наталья Шанина, төслийн менежерийн туслах, хэвлэлийн газар +Манн, Иванов, Фербер, "Х-ийн таашаал" номыг авч үзэхээр аваарай (ийм үг хэллэг болсон).
Энэ ном надад эхний хуудаснаас нь таалагдсан: Тэднийг үзүүлэхэд би дуртай гоо сайханматематик. Энгийн зүйлд хээ угалз байхад би бас дуртай. Тиймээс, эхний бүлэгт би нээлтэд цочирдсон: хэрэв та дараалан нэмбэл сондгой тоо, дараа нь бид цувралд авсан сондгой тооны тоонд тохирох тоонуудын квадратуудыг авах болно. Дараа нь- сондгой тоонууд нь дөрвөлжин үүсгэж болох булангуудыг үүсгэдэг, жишээ нь:

Номыг уншиж байхдаа би өөртөө шинэ нээлт хийсэн. Янз бүрийн алгоритмд дуртай (би бүтээлч, бараг бүтээлч үйл явцын хувьд ч гэсэн алгоритм гаргахыг хичээдэг) би 50 хүртэлх тоог квадрат болгох энгийн алгоритмыг анзаарахгүй байхын аргагүй юм. тэмдэглэлийн дэвтэрт.

Номын надад хэцүү байсан хэсгүүдийг уншихад ч хялбар байсан (би тийм боть математикийг санахгүй байна). Би бүгдийг ойлгоогүй ч энэ тохиолдолд ч гэсэн унших дуртай байсан. Учир нь зохиогч бүх зүйлээс хүрээлэн буй бодит байдалд математикийн хуулиудын тодорхой хэрэглээг олж хардаг. Статистик, онкологи, тэр ч байтугай гэрлэлтийн хамтрагчаа сонгох нь хаа сайгүй математикийн ул мөр байдаг. Энэ ишлэл нь ялангуяа сэтгэл хөдөлгөм: "Google байхгүй байсан тэр өдрүүдэд вэб хайх нь найдваргүй оролдлого байсан".

Хоёрхон зүйл саад болж байсан.

1. За би цахим хэлбэрээр унших дургүй. Түүнээс гадна, математикийн хувьд та тэр даруй ямар нэг зүйлийг шийдэх / тооцоолохыг хүсдэг. Хэрэв би цаасан ном уншвал захын зай, чөлөөт хуудсууд дээр шууд бичих болно - хэвлэлийн газрын ном +Манн, Иванов, ФерберЭнэ номыг уншаад зогсохгүй түүн дээр бичдэг уншигчид гарч ирнэ гэж эхэндээ таамаглаж хэвлэсэн.
2. Номонд маш олон тэмдэглэл бий. Хэвлэлийн газар уламжлал ёсоор номын текстэнд зөвхөн товч мэдээлэл бүхий холбоосыг үлдээж, төгсгөлийн тэмдэглэл хэлбэрээр дэлгэрэнгүй тэмдэглэл хийдэг. Миний хувьд энэ унших хэлбэр нь тохиромжгүй (мөн цахим хэлбэрээр хоёр дахин тохиромжгүй). Би номонд нааш цааш үсрэх дургүй. Мөн үндсэн текстийг уншсаны дараа тэмдэглэл унших нь логикгүй юм. Эцэст нь би тэднийг зүгээр л харлаа. Хэдийгээр тэд үндсэн бичвэрийн нэг хэсэг байх ёстой: тэдгээр нь номын тексттэй ижил хэв маягаар, сонирхолтой байдлаар бичигдсэн байдаг.

Би энэ номыг зөвхөн математикт дурлагсад төдийгүй ахлах ангийн сурагчид, оюутнуудад санал болгож байна. Сургууль эсвэл их сургуулийн хичээл дээр хэтэрхий хийсвэр мэт санагддаг зарим зүйлийн талаар ойлголт өгөх. Мэдээжийн хэрэг математикийн багш нар. Энд +Наталья Львовааль хэдийн уншсан (хяналт). Би энэ номыг санал болгож байна +Диана Сонинагэхдээ - харамсалтай! Охин нь ээжтэйгээ адилхан замаар явдаг. Математик амархан, тэр ялагч хотын олимпиад, гэхдээ тэд эрдмийн зэрэгтэй математикийн багштайгаа юу хийдэг судалгааны ажил(үүнтэй тэр нэгээс олон удаа шагнал хүртсэнянз бүрийн хурал дээр), ахлах ангийн сурагчдад зориулсан олимпиадын асуудлыг шийдвэрлэх нь надад ойлгоход хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч тэр математикийн талаар сонсохыг ч хүсдэггүй. Шаардлагатай- хийдэг, гэхдээ таашаал авдаггүй.Үүний зэрэгцээ, математик надад амьдралд хэр хэрэгтэй байсан тухай оюутны асуултанд хариулж байхдаа зарим прагматик зүйлээс гадна надад үргэлж хариулт байдаг: та сургуульд сайн суралцах хэрэгтэй, үүнд туслах боломжтой байх хэрэгтэй. тэдний хүүхдүүд сурдаг. Гэхдээ охинд минь миний тусламж үнэхээр хэрэггүй.- өөрийгөө зохицуулдаг. Тийм ч учраас асуулт нээлттэй хэвээр байна: яагаад маш сайн эхлэх нөхцөлтэй - сайн багш, хичээлдээ сайн чадвартай, математикт дургүй хүүхдүүд байдаг вэ? Энэ талаар өмнөх өдөр нь ярилцсан +Марина Курвиц, энэ талаар бусад "танил математикчид" -тай хэлэлцэхэд бэлэн байна -+Жури Курвицболон + Людмила Рождественская. Ямар шалтгаантай юм бэ? Би Ннөхцөл байдлыг өөрчлөх арга бий юу? Энд би залуу насандаа үүнийг шийдсэн. Гэхдээ би математикт урьд өмнө дурлаж байгаагүй болохоор амьдралдаа зарим боломжуудыг алдсан гэсэн бодол намайг зовоодог ...

Озоны тухай ном худалдаж аваарай >>>
Лабиринтаас ном худалдаж аваарай >>>
Номын талаарх мэдээллийг хэвлэлийн газрын вэб сайтаас >>>

Энэ номыг дараахь зүйлсээр маш сайн нөхсөн болно.

Кванта

Скотт Паттерсон

Ухаантай

Кен Женнингс

мөнгөний бөмбөг

Майкл Льюис

Уян хатан сэтгэлгээ

Кэрол Двек

Хөрөнгийн зах зээлийн физик

Жеймс Уэзералл

-ийн баяр баясгалан X

Нэгээс хязгааргүй хүртэлх математикийн хөтөчтэй аялал

Стивен Строгац

-аас таашаал авдаг X

Дэлхийн шилдэг багш нарын математикийн ертөнцөд хийсэн сонирхолтой аялал

Нийтлэгчээс авсан мэдээлэл

Орос хэл дээр анх удаа хэвлэгдсэн

Стивен Строгацын зөвшөөрөлтэйгээр нийтлэгдсэн, c/o Brockman, Inc.

Строгатс, П.

-аас таашаал авдаг X. Дэлхийн шилдэг багш нарын нэг / Стивен Строгацын математикийн ертөнцөд хийсэн сонирхолтой аялал; per. англи хэлнээс. - М.: Манн, Иванов, Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Энэ ном таны математикт хандах хандлагыг үндсээр нь өөрчлөх чадвартай. Энэ нь богино бүлгүүдээс бүрдэх бөгөөд тус бүрд нь та шинэ зүйлийг олж мэдэх болно. Та эргэн тойрныхоо ертөнцийг судлах, геометрийн гоо сайхныг ойлгох, интеграл тооцооллын дэгжин байдалтай танилцах, статистикийн ач холбогдлыг олж мэдэх, хязгааргүйтэй холбоо тогтооход тоо хичнээн хэрэгтэй болохыг мэдэж авах болно. Зохиогч математикийн үндсэн санааг энгийн бөгөөд дэгжин тайлбарлаж, хүн бүр ойлгохуйц гайхалтай жишээнүүдийг өгдөг.

Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.

Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр энэ номын аль ч хэсгийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлаж болохгүй.

Хэвлэлийн газрын эрх зүйн дэмжлэгийг "Вегас-Лекс" хуулийн фирм гүйцэтгэдэг.

© Стивен Строгац, 2012 Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан

© Орос хэл дээрх орчуулга, орос хэл дээрх хэвлэл, дизайн. "Манн, Иванов ба Фербер" ХХК, 2014 он

Өмнөх үг

Надад мэргэжил эзэмшсэн ч (тэр зураач) шинжлэх ухаанд дуртай нэгэн найз бий. Биднийг уулзах болгондоо тэр урам зоригтойгоор ярьдаг сүүлийн үеийн ололт амжилтсэтгэл судлал эсвэл квант механикийн чиглэлээр. Гэвч бид математикийн талаар ярилцангуут ​​тэр өвдөг нь чичирч, түүнийг маш ихээр бухимдуулдаг. Математикийн эдгээр хачирхалтай тэмдгүүд нь түүнийг үл тоомсорлоод зогсохгүй заримдаа түүнийг хэрхэн дуудахаа ч мэддэггүй гэж тэрээр гомдоллодог.

Чухамдаа түүний математикт дургүй болсон шалтгаан нь илүү гүн юм. Математикчид ерөнхийдөө юу хийдэг, энэ нотлох баримт нь дэгжин гэж хэлэхэд тэд юу гэсэн үг болохыг тэр хэзээ ч ойлгохгүй. Хааяа бид зүгээр суугаад түүнд хамгийн анхан шатнаас нь, шууд утгаараа 1 + 1 = 2-оос хичээл зааж, чадах чинээгээрээ математикт орох ёстой гэж хошигнодог.

Хэдийгээр энэ санаа галзуу мэт санагдаж байгаа ч би энэ номонд хэрэгжүүлэхийг хичээх болно. Би чамайг арифметикаас эхлээд ахисан түвшний математик хүртэл шинжлэх ухааны бүх гол салбаруудаар удирдан чиглүүлэх бөгөөд ингэснээр хоёр дахь боломжийг хүссэн хүмүүс эцэст нь үүнийг ашиглах боломжтой болно. Мөн энэ удаад та ширээний ард суух шаардлагагүй болно. Энэ ном таныг математикийн мэргэжилтэн болгохгүй. Гэхдээ энэ нь энэ сахилга бат юу судалдаг, яагаад үүнийг ойлгодог хүмүүст ийм сэтгэл хөдөлгөм болохыг ойлгоход тусална.

Майкл Жорданы слэм данк нь тооцооллын үндсийг тайлбарлахад хэрхэн тусалж болохыг бид олж мэдэх болно. Би Евклидийн геометрийн үндсэн теорем болох Пифагорын теоремыг ойлгох энгийн бөгөөд гайхалтай аргыг танд үзүүлэх болно. Бид амьдралын том, жижиг нууцуудын гүнд хүрэхийг хичээх болно: Жей Симпсон эхнэрээ алсан уу; матрасыг аль болох удаан байлгахын тулд яаж шилжүүлэх вэ; Хурим хийхээс өмнө хэдэн хамтрагчаа солих шаардлагатай вэ - мөн бид зарим хязгааргүй байдал яагаад бусдаас том болохыг олж мэдэх болно.

Математик хаа сайгүй байдаг, та үүнийг таньж сурах хэрэгтэй. Та тахөний нуруун дээрх синусоидыг харж болно, Тусгаар тогтнолын тунхаглал дахь Евклидийн теоремуудын цуурайг сонсож болно; Би юу хэлэх вэ, дэлхийн нэгдүгээр дайны өмнөх хуурай тайланд хүртэл сөрөг тоо байдаг. Та мөн математикийн шинэ салбарууд өнөөдөр бидний амьдралд хэрхэн нөлөөлж байгааг харж болно, жишээлбэл, бид компьютер ашиглан ресторан хайж, ядаж ойлгохыг хичээх, эсвэл хөрөнгийн зах зээлийн айдастай хэлбэлзлийг даван туулахыг хичээх болно.

"Математикийн үндэс" гэсэн ерөнхий гарчигтай 15 цуврал нийтлэл 2010 оны 1-р сарын сүүлээр онлайнаар гарч ирэв. Тэднийг нийтэлсэнтэй холбогдуулан бүх насны уншигчдаас захидал, сэтгэгдлүүд ирж, тэдний дунд олон оюутан, багш нар байсан. Математикийн шинжлэх ухааныг ойлгохдоо нэг шалтгааны улмаас "замаа алдсан" энгийн сониуч хүмүүс бас байсан; одоо тэд ямар нэг зүйлийг алдсан юм шиг санагддаг. тухаймөн дахин оролдохыг хүсч байна. Миний тусламжтайгаар хүүхдүүддээ математикийн хичээлийг тайлбарлаж, өөрсдөө ч үүнийг илүү сайн ойлгож эхэлсэнд аав, ээжийнхээ талархал надад их таалагдсан. Миний үр удмыг сайжруулах талаар янз бүрийн зөвлөгөө өгөх гэж өөр хоорондоо уралдсан тэр мөчүүдийг эс тооцвол энэ шинжлэх ухааныг шүтэн бишрэгчид, хамт олон, нөхдүүд маань хүртэл нийтлэлийг унших дуртай байсан юм шиг санагддаг.

Олон нийтийн итгэл үнэмшилтэй хэдий ч нийгэмд математикийн сонирхол тодорхой байгаа боловч энэ үзэгдэлд бага анхаарал хандуулдаг. Бид зөвхөн математикийн айдсыг сонсдог ч олон хүн үүнийг илүү сайн ойлгохыг хичээх болно. Нэгэнт ийм зүйл тохиолдвол тэдгээрийг таслахад хэцүү байх болно.

Энэхүү ном нь математикийн ертөнцийн хамгийн төвөгтэй, дэвшилтэт санаануудыг танд танилцуулах болно. Бүлгүүд нь богино, уншихад хялбар, бие биенээсээ огт хамааралгүй. Тэдний дунд Нью Йорк Таймс сонины эхний цуврал нийтлэлд багтсан хүмүүс багтсан болно. Тиймээс бага зэрэг математикийн өлсгөлөнг мэдэрмэгц дараагийн бүлгийг үзэхээс бүү эргэлз. Хэрэв та сонирхож буй асуудлыг илүү нарийвчлан ойлгохыг хүсч байвал номын төгсгөлд энэ талаар өөр юу уншиж болох талаар нэмэлт мэдээлэл, зөвлөмж бүхий тэмдэглэлүүд байдаг.

Алхам алхмаар аргыг илүүд үздэг уншигчдад тав тухтай байлгах үүднээс би материалыг сэдвүүдийн уламжлалт дарааллын дагуу зургаан хэсэгт хуваасан.

I хэсэг "Тоонууд" нь бидний аялалыг арифметикийн аргаар эхлүүлдэг цэцэрлэгболон бага сургууль. Энэ нь тоо нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг дүрслэн харуулахад хичнээн ашигтай, ид шидтэй болохыг харуулж байна.

2-р хэсэг "Харьцаа" нь тоонуудын хоорондын харилцаанд анхаарлаа хандуулдаг. Эдгээр санаанууд нь алгебрийн гол цөм нь бөгөөд нэг нь нөгөөдөө хэрхэн нөлөөлж байгааг тайлбарлах, эрэлт нийлүүлэлт, өдөөлт ба урвал зэрэг олон зүйлийн учир шалтгааны хамаарлыг харуулах анхны хэрэгсэл юм. маш олон янз, баян ..

III хэсэг "Зураг" нь тоо, тэмдгийн тухай биш, харин тоо, орон зайн тухай - геометр ба тригонометрийн домэйн юм. Эдгээр сэдвүүд нь бүх ажиглаж болох объектуудыг маягтаар дүрслэн тайлбарлахын зэрэгцээ логик үндэслэл, нотолгооны тусламжтайгаар математикийг нарийвчлалын шинэ түвшинд хүргэдэг.

"Өөрчлөлтийн цаг" IV хэсэгт бид математикийн хамгийн гайхалтай, олон талт талбар болох тооцооллыг авч үзэх болно. Тооцоолол нь гаригуудын замнал, түрлэгийн мөчлөгийг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог бөгөөд Орчлон ертөнц болон бидний доторх үе үе өөрчлөгдөж байдаг бүх үйл явц, үзэгдлийг ойлгож, дүрслэх боломжийг олгодог. чухал газарЭнэ хэсэг нь хязгааргүй байдлын судалгаанд зориулагдсан бөгөөд үүнийг тайвшруулах нь тооцоолол хийх боломжийг олгосон нээлт байв. Тооцоолол нь эртний ертөнцөд үүссэн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалсан бөгөөд энэ нь эцэстээ шинжлэх ухаан болон орчин үеийн ертөнцөд хувьсгал хийхэд хүргэсэн.

V хэсэг "Өгөгдлийн олон нүүр царай" магадлал, статистик, сүлжээ, өгөгдөл боловсруулах - эдгээр нь боломж, аз, тодорхойгүй байдал, эрсдэл, тогтворгүй байдал, санамсаргүй байдал зэрэг бидний амьдралын үргэлж эмх цэгцтэй байдаггүй талуудаас үүссэн харьцангуй залуу салбар хэвээр байна. , харилцан хамаарал. Математикийн зөв хэрэгсэл, зөв ​​өгөгдлийн төрлийг ашигласнаар бид санамсаргүй байдлын урсгал дахь хэв маягийг олж сурах болно.

"Боломжийн хязгаар"-ын VI хэсгийн аяллынхаа төгсгөлд бид математикийн мэдлэгийн хязгаар, аль хэдийн мэдэгдэж байгаа болон одоохондоо баригдашгүй, мэдэгдээгүй зүйлийн хоорондох хил хязгаарт ойртох болно. Тоо, харьцаа, хэлбэр, өөрчлөлт, хязгааргүй байдал зэрэг сэдвүүдийг бид аль хэдийн мэддэг дарааллаар дахин авч үзэх болно, гэхдээ үүний зэрэгцээ бид тус бүрийг орчин үеийн хувилгаан хэлбэрээр нь илүү гүнзгий авч үзэх болно.

Сургуулийн математикийн гол асуудал бол түүнд ямар ч асуудал байхгүй. Тийм ээ, би ангид ямар бэрхшээл тулгардагийг мэднэ: эдгээр амтгүй, уйтгартай дасгалууд. "Энд даалгавар байна. Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар эндээс үзнэ үү. Тийм ээ, тэд шалгалтанд тохиолддог. Гэрийн даалгавар 1-15. Математик сурах ямар уйтгартай арга вэ: бэлтгэгдсэн шимпанзе болох.

Пол Локхард

"Математикчийн гашуудал" зохиолоос

Математик бол шинжлэх ухааны хамгийн хачирхалтай салбаруудын нэг байх. Өөр ямар ч сэдвийн хувьд эсрэг тэсрэг талууд ийм хүчтэй хослуулагддаггүй: албан ёсны нотолгооны хатуу байдлаас эхлээд тодорхой бүтцийг "харах" чадвар хүртэл. Математик нь дотоод гоо сайхан, гадаад гоо үзэсгэлэнг агуулдаг. Математикийн асуудлыг шийдэх шиг сэтгэл хөдөлгөм зүйл байхгүй. Тэгээд ч сургуульд ийм чадваргүй хичээл заадаггүй.

Сургуульд математикийн хичээл ихэвчлэн хэрхэн эхэлдэг вэ? 7-8 насны хүүхдүүдэд ойлгомжгүй олон тооны тэмдэг, тодорхойлолтыг гаргахаас эхлээд энэ абракадабрыг ашиглах алгоритмын систем. Үржүүлэх хүснэгт гэх мэт тусдаа зүйлсийг цээжилдэг.

Дараагийн ангиудад энэ систем дээр тулгуурлан бөөгийн зан үйлийн багцыг хэлж, албадан цээжлэх бөгөөд энэ нь хүнд хэцүү асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Хаанаас ирсэн, хамгийн гол нь яагаад гэдгийг өчүүхэн ч тайлбарлаагүй "зөв бутархай", "буруу бутархай" гэх мэт шинэ тодорхойлолтууд гарч ирнэ. Алгоритмуудын адил бодит байдалд хамааралтай, хэрэгцээгүй, хөдөлмөрлөсөн текстийн асуудлыг шийдвэрлэхэд онцгой анхаарал хандуулах болно.

Жижиг тестийн хувьд бид санаж байхыг санал болгож болно: та амьдралдаа хэдэн удаа зөв эсвэл буруу бутархайг тодорхойлох шаардлагатай байсан бэ?

Би цээжээр сурахаас өөр аргагүй болсон: хоёр тооны нийлбэрийн квадрат нь тэдгээрийн давхар үржвэрээр нэмэгдсэн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь юу гэсэн үг болохыг би өчүүхэн ч төсөөлөөгүй; Би эдгээр үгсийг санахгүй байх үед багш миний толгой руу номоор цохисон боловч энэ нь миний оюун ухааныг өчүүхэн ч өдөөсөнгүй.

Бертран Рассел

Английн философич, логикч, математикч

Үүний зэрэгцээ багш нар аливаа эсэргүүцлийг хайр найргүй дарах болно. 2 1/2-ын оронд 5/2 гэж бичээд үзээрэй (та үүнийг үргэлж эсэргүүцэхийг хүсдэг: хэрэв надад гурван алим байгаа бол тус бүрийг нь хагасаар нь хуваасан бол би 2 алим, 1 хагас биш 5 хагасыг авна).

Энэ сэдвийг нэлээд удаан үргэлжлүүлж болно. Түүгээр ч барахгүй Пол Локхартын "Математикчийн гашуудал" эссе дээр үүнийг аль хэдийн бичсэн байдаг. Энэ нь "Хэн буруутай вэ" гэдгийг маш сайн харуулж байна. Гэхдээ "Юу хийх вэ" гэсэн хоёр дахь чухал асуултын хариултыг өгөөгүй байна.

Энэ асуултын хариултыг саяхан орос хэл рүү орчуулсан гайхалтай номонд өгсөн болно. Уг номыг “Х-ийн таашаал” гэдэг.

X-ээс таашаал

Хэрэв та зургаан настай хүүхдэд ямар нэг зүйлийг тайлбарлаж чадахгүй бол та өөрөө үүнийг ойлгохгүй байна.

Альберт Эйнштейн

Энэ бол тэр ном юм ширээний компьютер байх ёстойМатематик эсвэл компьютерийн шинжлэх ухааны аль ч мэргэжлийн багшийн хувьд.

Энэхүү амттанг зохиогч Стивен Строгац бол дэлхийн хэмжээний математикч, АНУ-ын Корнеллийн их сургуулийн хэрэглээний математикийн багш (дэлхийн тэргүүлэгч техникийн их сургуулийн нэг) юм. Номоос харахад энэ хүн энэ бүтээлийг бестселлер болгосон хоёр гайхалтай чанарыг хослуулсан: Стивен Строгац бол хүчирхэг математикч, нэг хүний ​​​​багш юм.

Та зааж болно, гэхдээ хичээлээ сайн мэдэхгүй. Сэдвээ сайн мэддэг ч зааж чадахгүй. Та хоёуланг нь хийж чадна, гэхдээ дунд зэргийн. Стивен Строгац өөр төрөлд багтдаг: тэр хэрхэн зөв заахаа мэддэг, мэддэг.

Энэ ном юуны тухай вэ? Үнэн хэрэгтээ математиктэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой бүх зүйлийн талаар. Номын хэсгүүдийг анх харахад эмх замбараагүй байдлаар сонгосон (тоо, харьцаа, тоо, өөрчлөлтийн цаг, олон янзын өгөгдөл, хил хязгаар боломжтой) боловч уншиж байхдаа та зохиолч юу хэлэхийг хүсч байсныг ойлгож эхэлдэг. Энэхүү ном нь судалгаанд үндэслэсэн болно. Зохиогч уншигчидтай хамтран хийсэн судалгаа.

Хэлэлцэж буй ажлуудын хүрээ асар том юм. Аливаа хүн, тэр ч байтугай математикийн маш сайн мэдлэгтэй ч гэсэн үүнээс шинэ зүйл сурах болно. Үүний зэрэгцээ практик ажлууд (жишээлбэл, хөрөнгийн зах зээлд оруулсан хувьцаанаас авсан хүүг тооцоолох) болон туйлын хийсвэр ажлуудыг хоёуланг нь авч үздэг.

Түүхэн нөхцөл байдалд олон үүрэг даалгавар өгдөг. Би энд тусад нь ярихыг хүсч байна: одоо математикийн хөгжлийн түүхийг бараг бүх сурах бичгээс хассан. Үүний зэрэгцээ, зөвхөн түүхэн нөхцөл байдлыг ойлгосноор хүн хамгийн энгийн арифметикээс орчин үеийн математикийн онол хүртэл бүх замыг туулж чадна.

Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. Оюутнууд болон багш нар шившлэгийг цээжлэх гэж хичнээн их нулимс дуслуулсан бэ? Х нэг-хоёр тэнцүү ба хасах ба нэмэх эсвэл хасах ба квадратаас дөрвөн a-tse-ийн үндсийг хасаад бүгдийг хоёр а-д хуваа.

Дашрамд хэлэхэд, математикийн шинэ стандартын дагуу бичих энэ арга нь зөв байхаа больсон - ойролцоогоор. редактор.

Ой тогтоолт сайтай ба/эсвэл "сэдвээрээ" хүмүүс Виетийн теоремыг санаж чаддаг. Гэхдээ энэ бүхний оронд Стивен Строгац аль-Хорезмигийн зохион бүтээсэн гоёмсог тайлбарыг өгдөг бөгөөд үүний тусламжтайгаар та ямар ч томьёогүйгээр шийдлийг хялбархан, байгалийн жамаар олох боломжтой (хэдийгээр бүрэн бус байсан ч: тэр үед сөрөг тоо хараахан байгаагүй). өргөн хэрэглэгддэг). Энэ шийдвэрийг уншсан хэн бүхэн үүнийг үүрд санах болно гэдгийг би танд баталж байна. Анх удаа.

Бүлгээс бүлэгт даалгаврын нарийн төвөгтэй байдал нэмэгддэг. Гэхдээ ухаарал алдагдаагүй нь "Х-ийн таашаал"-ыг унших онцгой таашаал юм. Уншигч зохиолчийн өөрт нь зориулж бүтээсэн уур амьсгалд, практикийн хувьд зоригтой шинэ ертөнцөд умбаж байна.

Энэ номыг юутай харьцуулахаа мэдэхгүй байна. Алдарт Фэйманы физикийн тухай лекц уншсан ч юм уу, эсвэл "Ноён Фэйман аа, та нар хошигнож байгаа байх" гэх мэт. Гэхдээ нэг зүйл баттай: энэ ном уншсан хүмүүсийн сэтгэлд мөрөө үлдээх болно.

Бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг судлахад тоо хэр хэрэгтэй вэ, геометрийн гоо үзэсгэлэн юу вэ, интеграл тооцоолол ямар гоёмсог вэ, статистик нь хэр чухал вэ? Стивен Строгац "Х-ийн таашаал" номондоо энэ бүхний тухай өгүүлсэн байдаг. Зохиогч математикийн үндсэн санааг энгийн бөгөөд дэгжин тайлбарлаж, хүн бүр ойлгохуйц жишээг үзүүлэв. сайт Манн, Иванов, Фербер хэвлэлийн газраас хэвлэсэн номын нэг бүлгийг нийтэлдэг.

Статистик мэдээлэл гэнэт моодонд оржээ. Интернет бий болсноор цахим худалдаа, Нийгмийн сүлжээ, хүний ​​геномыг тайлах төсөл, ерөнхийдөө дижитал соёл хөгжихтэй холбогдуулан дэлхий нийт мэдээлэлд боомилж эхэлсэн. Маркетерууд бидний амт, дадал зуршлыг судалдаг. Тагнуулын алба нь бидний байршил, имэйл, утасны дуудлагын талаарх мэдээллийг цуглуулдаг. Спортын статистикчид аль тоглогч худалдаж авах, хэнийг элсүүлэх, хэнийг сэлгээнд суухаа шийдэхийн тулд тоогоор жонглёр хийдэг. Хүн бүр цэгүүдийг нэгтгэн график болгохыг эрмэлзэж, эмх замбараагүй өгөгдөл хуримтлуулах хэв маягийг олж мэдэхийг хичээдэг.

Эдгээр чиг хандлага нь суралцахад тусгалаа олсон нь гайхах зүйл биш юм. Нью-Йорк Таймс сонины буланд Харвардын их сургуулийн эдийн засагч Грег Манкив "Статистик руу орцгооё" гэж зөвлөжээ.

“Ахлах сургуулийн математикийн сургалтын хөтөлбөр нь Евклидийн геометр, тригонометр зэрэг уламжлалт сэдвүүдэд хэт их цаг зарцуулдаг. Энгийн хүнд хэрэгтэй эдгээр сэтгэцийн дасгалууд нь тийм ч их ашиггүй байдаг Өдөр тутмын амьдрал. Оюутнууд магадлалын онол, статистикийн талаар илүү ихийг мэдэх нь илүү ашигтай байх болно." Дэвид Брукс бүр цаашаа явж байна. Зохистой боловсрол эзэмшихийн тулд анхаарах ёстой салбаруудын тухай нийтлэлдээ тэрээр “Статистикийг ав. Стандарт хазайлт гэж юу болохыг мэдэх нь амьдралд маш их тустай байх болно гэдгийг та харах болно.

Энэ нь бүрэн боломжтой бөгөөд хуваарилалт гэж юу болохыг ойлгох нь бас сайн хэрэг юм. Энэ бол миний хамгийн түрүүнд ярих гэсэн зүйл юм. Би үүнд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна, учир нь энэ бол статистикийн гол сургамжуудын нэг юм: бүх зүйл дангаар нь авч үзвэл санамсаргүй, урьдчилан таамаглах аргагүй мэт санагддаг, гэхдээ нийлбэр нь тогтмол байдал, урьдчилан таамаглах боломжтой байдаг.

Та зарим шинжлэх ухааны музейд энэ зарчмын үзүүлбэрийг үзсэн байж магадгүй (хэрэв байхгүй бол видеог онлайнаар олж болно). Ердийн үзмэр бол Галтон самбар хэмээх зэвсгийн хэрэгсэл бөгөөд энэ нь пинболын машинтай зарим талаараа төстэй, зөвхөн сэрвээгүй юм. Дотор нь тодорхой давтамжтайгаар жигд эгнээ зүүж байна.

Галтон самбар

Туршилт нь Галтоны тавцангийн дээд хэсэгт хэдэн зуун бөмбөг шидсэнээр эхэлдэг. Унах үед тэдгээр нь тээглүүртэй мөргөлдөж, баруун эсвэл зүүн тийш ижил магадлалтайгаар үсэрч, дараа нь самбарын доод хэсэгт тарааж, ижил өргөнтэй тасалгаанд унадаг. Бөмбөгний баганын өндөр нь бөмбөг тухайн газарт байх магадлалыг харуулдаг. Бөмбөлгүүдийн ихэнх нь ойролцоогоор дунд хэсэгт байрладаг, хажуу талдаа аль хэдийн цөөн, ирмэг дээр бүр цөөхөн байдаг.

Ерөнхийдөө энэ зургийг урьдчилан таамаглах боломжтой: бөмбөлгүүд нь үргэлж хонх хэлбэртэй байдаг, гэхдээ бөмбөг тус бүр хаана дуусахыг урьдчилан таамаглах боломжгүй юм.

Хувь хүний ​​осол хэрхэн хувирч байна ерөнхий хэв маяг? Гэхдээ санамсаргүй байдал ингэж ажилладаг. Дунд баганад хамгийн олон бөмбөг хуримтлагдсан, учир нь доошоо эргэлдэхээсээ өмнө тэдний ихэнх нь баруун, зүүн тийшээ ойролцоогоор ижил тооны үсрэлт хийх бөгөөд үр дүнд нь тэд дунд нь хаа нэгтээ байх болно. Ирмэгийн дагуу байрлах хэд хэдэн дан бөмбөлгүүд нь түгээлтийн сүүлийг үүсгэдэг - эдгээр нь тээглүүртэй мөргөлдөхдөө үргэлж нэг чиглэлд эргэлддэг бөмбөг юм. Ийм үсрэлт хийх магадлал бага байдаг тул ирмэгийн эргэн тойронд маш цөөхөн бөмбөг байдаг.

Бөмбөг бүрийн байршлыг багцын нийлбэрээр тодорхойлдог шиг санамсаргүй үйл явдал, энэ дэлхий дээрх олон үзэгдлүүд олон жижиг нөхцөл байдлын үр дүн бөгөөд хонхны муруйг дагаж мөрддөг. Даатгалын компаниуд ингэж л ажилладаг. Тэд жил бүр нас бардаг үйлчлүүлэгчдийнхээ тоог нарийн хэлж чадна. Гэсэн хэдий ч тэд энэ удаад яг хэнд аз тохиохгүйг мэдэхгүй байна.

Эсвэл жишээ нь хүний ​​өндрийг ав. Энэ нь генетик, биохими, хоол тэжээл, хүрээлэн буй орчинтой холбоотой тоо томшгүй олон ослоос хамаардаг. Тиймээс хамтдаа авч үзвэл насанд хүрсэн эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийн өндөр нь хонх хэлбэртэй муруй байх магадлалтай.

OkCupid болзох сайтын статистик "Хуурамч мэдээлэл хүмүүс өөрсдийнхөө тухай онлайнаар мэдээлдэг" гэсэн гарчигтай блогтоо саяхан хэрэглэгчдийнхээ өсөлт, эс тэгвээс тэдний мэдээлсэн үнэлэмжийн графикийг нийтэлжээ. Хүлээгдэж байсанчлан хоёр хүйсийн өсөлтийн хурд нь хонх хэлбэртэй муруй үүсгэдэг болохыг тогтоожээ. Гэхдээ хачирхалтай нь хоёулаа хуваарилалт нь хүлээгдэж буй утгуудаас баруун тийш хоёр инч орчим хазайсан байв.

Строгац С. Х.-аас таашаал авах - М.: Манн, Иванов ба Фербер, 2014.

Тиймээс, OkCupid-ийн судалгаанд хамрагдсан үйлчлүүлэгчдийн өндөр нь дунджаас дээгүүр байна, эсвэл тэд өөрсдийгөө онлайнаар дүрслэхдээ өндрөөсөө хэд хэдэн инч нэмдэг.

Эдгээр хонхны муруйнуудын хамгийн тохиромжтой хувилбар бол математикчид ердийн тархалт гэж нэрлэдэг. Энэ бол онолын үндэслэлтэй статистикийн хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Хэвийн тархалт нь олон тооны жижиг санамсаргүй хүчин зүйлүүдийг нэмснээр үүсдэг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь бусдаас үл хамааран үйлчилдэг. Мөн ийм байдлаар олон зүйл тохиолддог.

Гэхдээ бүгд биш. Энэ бол миний анхаарлыг татахыг хүсч буй хоёр дахь зүйл юм. Хэвийн тархалт нь санагдсан шиг хаа сайгүй байдаггүй. Зуун жил, ялангуяа сүүлийн хэдэн арван жилд эрдэмтэд, статистикчид энэ муруйгаас хазайж, өөрсдийн хуваарийг дагаж мөрддөг олон үзэгдлүүд байгааг тэмдэглэж байна. Ийм төрлийн тархалтыг анхан шатны статистикийн сурах бичигт бараг дурдаагүй байгаа нь сонин бөгөөд хэрэв ийм зүйл тохиолдвол тэдгээрийг ихэвчлэн ямар нэгэн эмгэг гэж үздэг.

Энэ хачин юм. Би тэр олон үзэгдлийг тайлбарлахыг хичээх болно орчин үеийн амьдралХэрэв эдгээр "эмгэг судлалын" тархалтыг ойлговол илүү утга учиртай болно. Энэ бол шинэ хэвийн байдал. Жишээлбэл, АНУ-ын хотын хэмжээсийн хуваарилалтыг авч үзье. Дундаж хонхны муруйн эргэн тойронд бөөгнөрөхийн оронд ихэнх хотууд жижиг тул графикийн зүүн талд бөөгнөрсөн байдаг.

Строгац С. Х.-аас таашаал авах - М.: Манн, Иванов ба Фербер, 2014.

Хотын хүн ам их байх тусам ийм хотууд ховор тохиолддог. Өөрөөр хэлбэл, нийлбэрт тархалт нь хонхны муруй биш харин L хэлбэрийн муруй байх болно.

Мөн үүнд гайхах зүйл алга. Мега хотууд жижиг хотуудаас хамаагүй цөөн гэдгийг хүн бүр мэддэг. Хэдийгээр энэ нь тийм ч тодорхой биш боловч хотуудын хэмжээ нь энгийн сайхан тархалтыг дагаж мөрддөг - хэрэв та тэдгээрийг логарифмын масштабаар харвал.

Хэрэв хоёр хотын хүн ам ижил тооны ялгаатай байвал (ямар нэг октаваар тусгаарлагдсан төгөлдөр хуурын хоёр товчлуур үргэлж давтамжаараа хоёр дахин ялгаатай байдаг шиг) хоёр хотын ялгаа ижил байна гэж бид таамаглах болно. Мөн бид босоо тэнхлэг дээр ижил зүйлийг хийх болно.

Строгац С. Х.-аас таашаал авах - М.: Манн, Иванов ба Фербер, 2014.

Одоо өгөгдөл нь бараг төгс шулуун шугам болох муруй дээр байна. Логарифмын шинж чанарууд дээр үндэслэн анхны L хэлбэрийн муруй нь хүчний хамаарал бөгөөд үүнийг хэлбэрийн функцээр тайлбарлах болно.

Энд x нь хотын хүн ам, y нь ийм хэмжээтэй хотуудын тоо, c нь тогтмол, а экспонент (хүчний хуулийн илтгэгч) нь шулуун шугамын сөрөг налууг тодорхойлно.

Эрчим хүчний хуваарилалт нь уламжлалт статистикийн үүднээс зарим нэг логик бус шинж чанартай байдаг. Жишээлбэл, хэвийн тархалтаас ялгаатай нь L хэлбэрийн муруйгуудын ташуу, хазайсан хэлбэрээс шалтгаалан тэдгээрийн горим, медиан, дундаж утга нь тохирохгүй байна.

Ерөнхийлөгч Буш үүнээс ихээхэн ашиг хүртэж, 2003 онд татварыг бууруулснаар нэг гэр бүл дунджаар 1586 долларын хэмнэлт авчирсан гэж мэдэгджээ. Хэдийгээр математикийн хувьд зөв ч гэсэн тэрээр өөрийн давуу талдаа тус улсын хамгийн баян хүн амын 0.1% -ийн авсан олон зуун мянган долларын асар их суутгалуудыг нуун дарагдуулсан дундаж суутгалын үндэс болгон авчээ. Орлогын хуваарилалтын баруун талын “сүүл” нь эрх мэдлийн хуулийг дагаж мөрддөг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд ийм нөхцөлд дундаж утгыг ашиглах нь бодит үнэ цэнээсээ хол байдаг тул төөрөгдүүлдэг. Бодит байдал дээр ихэнх гэр бүлүүд 650 доллараас бага хэмжээний буцаан авсан. Энэ хуваарилалтад медиан нь дунджаас хамаагүй бага байна.

Энэ жишээ нь эрх мэдлийн хуулийн хуваарилалтын хамгийн чухал шинж чанарыг харуулж байна: тэдгээр нь ердийн хуваарилалтын наад зах нь жижиг "шингэн сүүлтэй" харьцуулахад "хүнд сүүлтэй" байдаг. Ийм том сүүл нь ховор боловч ердийн хонхны муруйг бодвол өгөгдлийн хуваарилалтад илүү түгээмэл байдаг.

1987 оны 10-р сарын 19-ний хар даваа гарагт Доу Жонсын аж үйлдвэрийн дундаж индекс 22%-иар буурчээ. Тогтворгүй байдлын ердийн түвшинтэй харьцуулахад дээр хувьцааны зах зээлЭнэ намар хорь гаруй стандарт хазайлттай байсан. Уламжлалт статистикийн дагуу (хэвийн тархалтыг ашигладаг) ийм үйл явдал бараг боломжгүй юм: түүний магадлал нь 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (хүч)-ийн нэгээс бага байна. Гэсэн хэдий ч энэ нь болсон - учир нь хөрөнгийн зах зээл дээрх үнийн хэлбэлзэл нь хэвийн хуваарилалтыг дагаж мөрдөөгүй юм.

"Хүнд сүүлтэй" хуваарилалт нь тэдгээрийг дүрслэхэд илүү тохиромжтой. Энэ нь газар хөдлөлт, гал түймэр, үерийн үед тохиолддог тул даатгалын компаниуд эрсдлийг удирдахад хэцүү болгодог.

Дайн болон террорист халдлагын үеэр нас барсан хүмүүсийн тоо, роман дахь үгийн тоо, бэлгийн хавьтагчтай хүний ​​тоо гэх мэт илүү тайван бус зүйлсийг ижил математик загвараар тодорхойлдог.

Хэдийгээр урт сүүлийг тодорхойлоход ашигладаг нэр томъёо нь тэднийг тийм ч таатай гэрэлд тусгадаггүй ч "сүүлт" хуваарилалт нь сүүлээ бардам авч явдаг. Зоригтой, хүнд, урт уу? Тийм ээ. Гэхдээ энэ тохиолдолд аль нь хэвийн болохыг надад харуулаач?