Алаг цаасан дээрх дүрсүүдийн талбай. Бүрэн заавар (2020). Зургийн талбайг хэрхэн олох вэ? Өөр өөр дүрсүүдийн талбайг олох томъёо

Дэлхийг хэрхэн хэмжих тухай мэдлэг эрт дээр үеэс бий болж, геометрийн шинжлэх ухаанд аажмаар бүрэлдэн тогтсон. Энэ үгийг грек хэлнээс "газар хайгуул" гэж орчуулдаг.

Дэлхийн хавтгай хэсгийн урт ба өргөнийг хэмжих хэмжүүр нь талбай юм. Математикийн хувьд үүнийг ихэвчлэн Латин үсгээр S (Англи хэлний "дөрвөлжин" - "талбай", "дөрвөлжин") эсвэл Грек үсгээр σ (сигма) гэж тэмдэглэдэг. S нь хавтгай дээрх дүрсийн талбай эсвэл биеийн гадаргуугийн талбайг илэрхийлдэг бөгөөд σ нь физик дэх утасны хөндлөн огтлолын талбай юм. Эдгээр нь гол тэмдэг юм, гэхдээ бусад байж болох ч, жишээлбэл, материалын бат бэхийн талбарт A нь профилын хөндлөн огтлолын хэсэг юм.

Тооцооллын томъёо

Энгийн дүрсүүдийн талбарыг мэдсэнээр та илүү төвөгтэй дүрсүүдийн параметрүүдийг олох боломжтой.. Эртний математикчид тэдгээрийг хялбархан тооцоолох томьёог боловсруулжээ. Ийм дүрс нь гурвалжин, дөрвөлжин, олон өнцөгт, тойрог юм.

Нарийн төвөгтэй хавтгай дүрсийн талбайг олохын тулд түүнийг гурвалжин, трапец, тэгш өнцөгт гэх мэт олон энгийн дүрст хуваадаг. Дараа нь математикийн аргыг ашиглан энэ зургийн талбайн томъёог гаргаж авдаг. Үүнтэй төстэй аргыг зөвхөн геометрт төдийгүй математик шинжилгээнд муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолоход ашигладаг.

Гурвалжин

Хамгийн энгийн дүрс болох гурвалжингаар эхэлцгээе. Тэдгээр нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. AB=a, BC=b ба AC=c (∆ ABC) талуудтай дурын ABC гурвалжинг ав. Түүний талбайг олохын тулд сургуулийн математикийн хичээлээс мэддэг синус ба косинусын теоремуудыг эргэн санацгаая. Бүх тооцооллыг орхиж, бид дараах томъёонд хүрнэ.

• S=√ - Хүн бүрт мэддэг Хэроны томьёо, энд p=(a+b+c)/2 нь гурвалжны хагас периметр;
• S=a h/2, энд h нь a тал руу буулгасан өндөр;
• S=a b (sin γ)/2, энд γ нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг;
• S=a b/2, хэрэв ∆ ABC тэгш өнцөгт бол (энд a ба b нь хөл);
• S=b² (sin (2 β))/2, хэрэв ∆ ABC нь ижил өнцөгт байвал (энд b нь "ташааны" нэг, β нь гурвалжны "таша" хоорондын өнцөг);
• S=a² √¾, хэрэв ∆ ABC тэнцүү талт бол (энд a нь гурвалжны тал юм).

Дөрвөн өнцөгт

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d гэсэн дөрвөн өнцөгт ABCD байг. Дурын 4 өнцөгтийн S талбайг олохын тулд диагональаар нь S1 ба S2 талбайнууд нь ерөнхийдөө тэнцүү биш хоёр гурвалжинд хуваах хэрэгтэй.

Дараа нь томьёо ашиглан тэдгээрийг тооцоолж, нэмээрэй, өөрөөр хэлбэл S=S1+S2. Гэсэн хэдий ч, хэрэв 4-гон нь тодорхой ангилалд хамаарах бол түүний талбайг өмнө нь мэдэгдэж байсан томъёог ашиглан олж болно.

• S=(a+c) h/2=e h, хэрэв тетрагон нь трапец бол (энд a ба c нь суурь, e нь трапецын дунд шугам, h нь трапецын суурийн аль нэгэнд буулгасан өндөр;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, хэрэв ABCD нь параллелограмм бол (энд φ нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг, h нь a тал руу унасан өндөр, d1 ба d2 диагональ);
• S=a b=d²/2, хэрэв ABCD нь тэгш өнцөгт бол (d нь диагональ);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, хэрэв ABCD нь ромб бол (a нь ромбын тал, φ нь түүний нэг өнцөг, P нь периметр);
• S=a²=P²/16=d²/2, хэрэв ABCD нь квадрат бол.

Олон өнцөгт

Математикчид n-gon-ийн талбайг олохын тулд үүнийг хамгийн энгийн тэнцүү тоонууд болох гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг олж, дараа нь нэмнэ. Гэхдээ хэрэв олон өнцөгт нь ердийн ангилалд хамаарах бол дараах томъёог ашиглана уу.

S=a n h/2=a² n/=P²/, энд n нь олон өнцөгтийн оройнуудын (эсвэл талуудын) тоо, a нь n өнцөгтийн тал, P нь периметр, h нь апотем, өөрөөр хэлбэл a. олон өнцөгтийн төвөөс аль нэг тал руу нь 90° өнцгөөр зурсан сегмент.

Тойрог

Тойрог бол хязгааргүй олон талтай төгс олон өнцөгт юм. Хязгааргүй хандлагатай n талуудын тоо бүхий олон өнцөгтийн талбайн томъёоны баруун талд байгаа илэрхийллийн хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд олон өнцөгтийн периметр нь R радиустай тойргийн урт болж хувирах бөгөөд энэ нь бидний тойргийн хил болох ба P=2 π R-тэй тэнцүү болно. Дээрх томьёонд энэ илэрхийллийг орлуул. Бид хүлээн авах болно:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Энэ илэрхийллийн хязгаарыг n→∞ гэж олъё. Үүнийг хийхийн тулд n→∞-ийн lim (cos (180°/n)) нь cos 0°=1-тэй тэнцүү (lim нь хязгаарын тэмдэг), n→∞-ийн хувьд lim = lim гэдгийг харгалзан үзнэ. 1/π-тэй тэнцүү (бид π rad=180° харьцааг ашиглан градусын хэмжигдэхүүнийг радиан болгон хувиргаж, x→∞ дээр эхний гайхалтай хязгаар lim (sin x)/x=1-ийг ашигласан). Хүлээн авсан утгыг S-ийн сүүлчийн илэрхийлэлд орлуулснаар бид сайн мэддэг томъёонд хүрнэ.

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Хэмжилтийн нэгж

Системийн болон системийн бус хэмжилтийн нэгжийг ашигладаг. Системийн нэгжүүд нь SI (System International)-д хамаардаг. Энэ нь квадрат метр (кв. метр, м²) бөгөөд үүнээс гаргаж авсан нэгжүүд: мм², см², км².

Квадрат миллиметрээр (мм²), жишээлбэл, цахилгаан инженерийн утаснуудын хөндлөн огтлолын талбайг, квадрат см (см²) - бүтцийн механик дахь цацрагийн хөндлөн огтлол, квадрат метр (м²) -ээр хэмждэг. орон сууц эсвэл байшинд, хавтгай дөрвөлжин километр (км²) - газарзүйн хувьд .

Гэсэн хэдий ч заримдаа системийн бус хэмжилтийн нэгжийг ашигладаг, тухайлбал: нэхэх, ар (а), га (га) ба акр (ас). Дараах харилцааг танилцуулъя.

• 1 зуун метр квадрат=1 a=100 м²=0,01 га;
• 1 га=100 a=100 акр=10000 м²=0,01 км²=2,471 акр;
• 1 ac = 4046.856 м² = 40.47 a = 40.47 акр = 0.405 га.

Геометрийн дүрсүүдийн талбайнууд нь хоёр хэмжээст орон зайд тэдгээрийн хэмжээг тодорхойлдог тоон утгууд юм. Энэ утгыг системийн болон системийн бус нэгжээр хэмжиж болно. Жишээлбэл, системийн бус талбайн нэгж нь зуутын нэг, га юм. Хэмжиж буй гадаргуу нь газрын хэсэг бол энэ нь тохиолддог. Талбайн системийн нэгж нь уртын квадрат юм. SI системд хавтгай гадаргуугийн нэгж нь квадрат метр юм. GHS-д талбайн нэгжийг квадрат см-ээр илэрхийлдэг.

Геометр ба талбайн томьёо нь хоорондоо салшгүй холбоотой. Энэ холболт нь хавтгай дүрсүүдийн талбайн тооцоолол нь тэдгээрийн хэрэглээнд тулгуурладагтай холбоотой юм. Олон тооны зургийн хувьд тэдгээрийн квадрат хэмжээсийг тооцоолох хэд хэдэн сонголтыг гаргаж авдаг. Асуудлын мэдэгдлийн өгөгдөл дээр үндэслэн бид хамгийн хялбар шийдлийг тодорхойлж чадна. Энэ нь тооцооллыг хөнгөвчлөх бөгөөд тооцооллын алдааны магадлалыг хамгийн бага хэмжээнд хүртэл бууруулах болно. Үүнийг хийхийн тулд геометрийн дүрсийн үндсэн хэсгүүдийг анхаарч үзээрэй.

Аливаа гурвалжны талбайг олох томъёог хэд хэдэн хувилбараар үзүүлэв.

1) Гурвалжны талбайг суурь a ба өндөр h-ээс тооцно. Суурь нь өндрийг доошлуулсан зургийн тал гэж тооцогддог. Дараа нь гурвалжны талбай нь:

2) Гипотенузыг суурь гэж үзвэл тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг ижил аргаар тооцоолно. Хэрэв бид хөлийг суурь болгон авбал тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь хөлний үржвэртэй тэнцүү байх болно.

Аливаа гурвалжны талбайг тооцоолох томъёо үүгээр дуусдаггүй. Өөр нэг илэрхийлэл агуулж байна талууд a,bба a ба b хоорондох γ өнцгийн синусоид функц. Синусын утгыг хүснэгтээс олж болно. Та мөн тооны машин ашиглан үүнийг олж мэдэх боломжтой. Дараа нь гурвалжны талбай нь:

Энэ тэгш байдлыг ашигласнаар та тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хөлний уртаар тодорхойлогддог эсэхийг шалгаж болно. Учир нь γ өнцөг нь зөв өнцөг тул тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг синусын функцээр үржүүлэхгүйгээр тооцоолно.

3) Тусгай тохиолдлыг авч үзье - жирийн гурвалжин, түүний тал нь нөхцөлөөр тодорхойлогддог эсвэл түүний уртыг шийдвэрлэх үед олж болно. Геометрийн асуудлын дүрсийн талаар өөр юу ч мэдэхгүй. Тэгвэл энэ нөхцөлд байгаа талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ тохиолдолд ердийн гурвалжны талбайн томъёог хэрэглэнэ.

Тэгш өнцөгт

Тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох, нийтлэг оройтой талуудын хэмжээг хэрхэн ашиглах вэ? Тооцооллын илэрхийлэл нь:

Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолохын тулд диагональуудын уртыг ашиглах шаардлагатай бол тэдгээрийн огтлолцох үед үүссэн өнцгийн синусын функц хэрэгтэй болно. Тэгш өнцөгтийн талбайн энэ томъёо нь:

Дөрвөлжин

Талбайн талбайг хажуугийн уртын хоёр дахь хүч гэж тодорхойлно.

Дөрвөлжин бол тэгш өнцөгт гэсэн тодорхойлолтоос нотлох баримт юм. Квадрат үүсгэдэг бүх талууд ижил хэмжээтэй байна. Тиймээс, ийм тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох нь нэгийг нөгөөгөөр нь үржүүлэхэд хүргэдэг, өөрөөр хэлбэл хажуугийн хоёр дахь хүч хүртэл. Мөн квадратын талбайг тооцоолох томъёо нь хүссэн хэлбэрээ авна.

Квадрат талбайг өөр аргаар олж болно, жишээлбэл, хэрэв та диагональ ашигладаг бол:

Тойргоор хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсгээс үүссэн зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ? Талбайг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана.

Параллелограмм

Параллелограммын хувьд томьёо нь хажуугийн шугаман хэмжээс, өндөр, математикийн үйлдлийг агуулдаг - үржүүлэх. Хэрэв өндөр нь тодорхойгүй бол параллелограммын талбайг хэрхэн олох вэ? Тооцоолох өөр арга бий. Зэргэлдээ талуудын үүсгэсэн өнцгийн тригонометрийн функц, түүнчлэн тэдгээрийн уртаар тодорхой утгыг авах шаардлагатай болно.

Параллелограммын талбайн томъёо нь:

Ромб

Ромб гэж нэрлэгддэг дөрвөн өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох вэ? Ромбын талбайг диагональ бүхий энгийн математик ашиглан тодорхойлно. Баталгаа нь d1 ба d2 дахь диагональ сегментүүд зөв өнцгөөр огтлолцдог гэсэн баримт дээр суурилдаг. Синусын хүснэгтээс үүнийг харж болно зөв өнцөгэнэ функц нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс ромбын талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

Ромбын талбайг өөр аргаар олж болно. Хажуу тал нь ижил урттай тул үүнийг батлахад хэцүү биш юм. Дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүнийг параллелограммын ижил төстэй илэрхийлэл болгон орлуулна. Эцсийн эцэст, энэ дүрсийн онцгой тохиолдол бол ромб юм. Энд γ нь ромбын дотоод өнцөг юм. Ромбын талбайг дараах байдлаар тодорхойлно.

Трапец

Хэрэв асуудал нь тэдгээрийн уртыг зааж өгсөн бол (a ба b) суурийн дундуур трапецын талбайг хэрхэн олох вэ? Энд h өндрийн уртыг мэддэггүй бол ийм трапецын талбайг тооцоолох боломжгүй болно. Учир нь Энэ утга нь тооцоолох илэрхийллийг агуулна:

Тэгш өнцөгт трапецын квадрат хэмжээсийг мөн адил тооцоолж болно. Тэгш өнцөгт трапецын хувьд өндөр ба хажуугийн тухай ойлголтыг нэгтгэдэг гэдгийг харгалзан үздэг. Тиймээс тэгш өнцөгт трапецын хувьд өндрийн оронд хажуугийн уртыг зааж өгөх хэрэгтэй.

Цилиндр ба параллелепипед

Цилиндрийн гадаргууг бүхэлд нь тооцоолоход юу шаардлагатайг авч үзье. Энэ зургийн талбай нь суурь ба хажуугийн гадаргуу гэж нэрлэгддэг хос тойрог юм. Тойрог үүсгэдэг тойрог нь r-тэй тэнцүү радиустай байдаг. Цилиндрийн талбайн хувьд дараахь тооцоог хийнэ.

Гурван хос нүүрээс бүрдэх параллелепипедийн талбайг хэрхэн олох вэ? Түүний хэмжилт нь тодорхой хостой таарч байна. Эсрэг нүүр царай нь ижил параметртэй байдаг. Эхлээд S(1), S(2), S(3) - тэгш бус нүүрний квадрат хэмжээсийг ол. Дараа нь параллелепипедийн гадаргуугийн талбай нь:

Бөгж

Нийтлэг төвтэй хоёр тойрог нь цагираг үүсгэдэг. Тэд мөн бөгжний талбайг хязгаарладаг. Энэ тохиолдолд тооцооллын хоёр томьёо нь тойрог бүрийн хэмжээсийг харгалзан үздэг. Тэдний эхнийх нь цагирагийн талбайг тооцоолохдоо том R ба жижиг r радиусуудыг агуулна. Ихэнхдээ тэдгээрийг гадаад ба дотоод гэж нэрлэдэг. Хоёрдахь илэрхийлэлд цагирагийн талбайг том D ба жижиг d диаметрээр тооцоолно. Тиймээс мэдэгдэж буй радиус дээр үндэслэн цагирагийн талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

Бөгжний талбайг диаметрийн уртыг ашиглан дараах байдлаар тодорхойлно.

Олон өнцөгт

Хэлбэр нь тогтмол биш олон өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох вэ? Ийм тоонуудын талбайн ерөнхий томъёо байхгүй байна. Гэхдээ хэрэв энэ нь координатын хавтгай дээр дүрслэгдсэн бол, жишээлбэл, алаг цаас байж болно, энэ тохиолдолд гадаргуугийн талбайг хэрхэн олох вэ? Энд тэд зургийг ойролцоогоор хэмжих шаардлагагүй аргыг ашигладаг. Тэд үүнийг хийдэг: хэрэв тэд нүдний буланд унасан эсвэл бүхэл бүтэн координаттай цэгүүдийг олвол зөвхөн тэдгээрийг харгалзан үзнэ. Дараа нь ямар талбайг олж мэдэхийн тулд Пикийн баталсан томъёог ашиглана уу. Хагарсан шугамын дотор байрлах цэгүүдийн тоог үүн дээр байрлах тал нь нэмж, нэгийг нь хасах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл үүнийг дараах байдлаар тооцоолно.

Энд B, G нь бүхэл тасархай шугамын дотор болон дээр байрлах цэгүүдийн тоо юм.

Геометрийн дүрсийн талбай- энэ зургийн хэмжээг харуулсан геометрийн дүрсийн тоон шинж чанар (энэ зургийн хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуугийн хэсэг). Талбайн хэмжээг түүнд агуулагдах квадрат нэгжийн тоогоор илэрхийлнэ.

Гурвалжингийн талбайн томъёо

1. Гурвалжны талбайн хажуу ба өндрийн томъёо
   Гурвалжны талбайгурвалжны хажуугийн урт ба энэ тал руу татсан өндрийн уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү
   
2. Гурван тал ба тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
   
3. Гурван тал ба бичээстэй тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
   Гурвалжны талбайгурвалжны хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиусын үржвэртэй тэнцүү байна.
   
S нь гурвалжны талбай,
- гурвалжны талуудын урт,
- гурвалжны өндөр,
- талуудын хоорондох өнцөг ба,
- бичээстэй тойргийн радиус,
R - тойргийн радиус,

Квадрат талбайн томъёо

1. Хажуугийн урттай дөрвөлжин талбайн томъёо
   Дөрвөлжин талбайтүүний хажуугийн уртын квадраттай тэнцүү байна.
2. Диагональ уртын дагуу квадратын талбайн томъёо
   Дөрвөлжин талбайтүүний диагональ уртын квадратын хагастай тэнцүү байна.
   

   S =	1	2
   	2

S нь квадратын талбай,
- талбайн хажуугийн урт,
- квадратын диагональ урт.

Тэгш өнцөгтийн талбайн томъёо

Тэгш өнцөгтийн талбайтүүний зэргэлдээх хоёр талын уртын үржвэртэй тэнцүү байна

S нь тэгш өнцөгтийн талбай,
- тэгш өнцөгтийн талуудын урт.

Параллелограммын талбайн томьёо

1. Хажуугийн урт ба өндрийг харгалзан параллелограммын талбайн томъёо
   Параллелограммын талбай
2. Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг дээр суурилсан параллелограммын талбайн томъёо
   Параллелограммын талбайталуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
   

   a b sin α

S нь параллелограммын талбай,
- параллелограммын талуудын урт;
- параллелограммын өндрийн урт,
- параллелограммын талуудын хоорондох өнцөг.

Ромбын талбайн томъёо

1. Хажуугийн урт ба өндрөөс хамааран ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайтүүний хажуугийн урт ба энэ тал руу буулгасан өндрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
2. Хажуугийн урт ба өнцгийг харгалзан ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайнь түүний хажуугийн уртын квадрат ба ромбын талуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
3. Диагональуудын урт дээр үндэслэн ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайтүүний диагональуудын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
S нь ромбын талбай,
- ромбын хажуугийн урт,
- ромбын өндрийн урт,
- ромбын талуудын хоорондох өнцөг;
1, 2 - диагональуудын урт.

Трапец хэлбэрийн талбайн томъёо

1. Трапецын Хэроны томъёо

   Энд S нь трапецын талбай,
   - трапецын суурийн урт;
   - трапецын хажуугийн урт;
   

Зургийн талбайг тооцоолох- Энэ нь магадгүй талбайн онолын хамгийн хэцүү асуудлын нэг юм. Сургуулийн геометрийн хичээл дээр гурвалжин, ромб, тэгш өнцөгт, трапец, тойрог гэх мэт үндсэн геометрийн дүрсүүдийн талбайг олохыг заадаг. Гэсэн хэдий ч та илүү төвөгтэй тоонуудын талбайг тооцоолоход ихэвчлэн тулгардаг. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үед интеграл тооцооллыг ашиглах нь маш тохиромжтой байдаг.

Тодорхойлолт.

Муруй шугаман трапец y = f(x), y = 0, x = a ба x = b шулуунуудаар хязгаарлагдсан зарим G дүрсийг дуудах ба f(x) функц нь [a сегмент дээр тасралтгүй байна; b] гэсэн тэмдэглэгээг өөрчлөхгүй (Зураг 1).Муруй трапецын талбайг S(G) гэж тэмдэглэж болно.

f(x) функцийн тодорхой интеграл ʃ a b f(x)dx нь [a интервал дээр сөрөг биш үргэлжилдэг; b] бөгөөд энэ нь харгалзах муруй трапецын талбай юм.

Өөрөөр хэлбэл, y = f(x), y = 0, x = a ба x = b шугамаар хүрээлэгдсэн G дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхой интеграл ʃ a b f(x)dx-ийг тооцоолох шаардлагатай. .

Тиймээс, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Хэрэв y = f(x) функц нь [a; b], дараа нь муруй трапецын талбайг томъёог ашиглан олж болно S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Жишээ 1.

y = x 3 шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоолох; y = 1; x = 2.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугамууд нь ABC дүрсийг бүрдүүлдэг бөгөөд үүнийг ангаахайгаар харуулав будаа. 2.

Шаардлагатай талбай нь DACE муруйн трапецын талбай ба DABE квадратын хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.

S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) томьёог ашиглан интегралчлалын хязгаарыг олно. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

(y = x 3,
(y = 1.

Тиймээс бид x 1 = 1 - доод хязгаар, x = 2 - дээд хязгаартай байна.

Тэгэхээр S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. нэгж).

Хариулт: 11/4 кв. нэгж

Жишээ 2.

y = √x шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол; y = 2; x = 9.

Шийдэл.

Өгөгдсөн шугамууд нь функцийн графикаар хязгаарлагдсан ABC дүрсийг үүсгэдэг

y = √x, доор нь y = 2 функцийн график байна. Үр дүнгийн зургийг ангаахайгаар харуулав. будаа. 3.

Шаардлагатай талбай нь S = ʃ a b (√x – 2) -тай тэнцүү байна. Интегралчлалын хязгаарыг олъё: b = 9, a олохын тулд бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийднэ.

(y = √x,
(y = 2.

Тиймээс бид x = 4 = a гэсэн утгатай - энэ нь доод хязгаар юм.

Тэгэхээр S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. нэгж).

Хариулт: S = 2 2/3 кв. нэгж

Жишээ 3.

y = x 3 - 4x шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоолно уу; y = 0; x ≥ 0.

Шийдэл.

x ≥ 0-ийн хувьд y = x 3 – 4x функцийн графикийг зуръя. Үүний тулд у’ деривативыг ол:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 at x = ±2/√3 ≈ 1.1 – эгзэгтэй цэгүүд.

Хэрэв бид тоон шулуун дээрх эгзэгтэй цэгүүдийг зурж, деривативын тэмдгүүдийг цэгцэлвэл функц тэгээс 2/√3 хүртэл буурч, 2/√3-аас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгддэг болохыг олж мэднэ. Тэгвэл x = 2/√3 нь хамгийн бага цэг, функцийн хамгийн бага утга y min = -16/(3√3) ≈ -3 байна.

Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлъё.

хэрэв x = 0 бол y = 0, энэ нь A(0; 0) нь Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэг гэсэн үг;

хэрэв y = 0 бол x 3 – 4x = 0 эсвэл x(x 2 – 4) = 0, эсвэл x(x – 2)(x + 2) = 0, үүнээс x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (тохиромжгүй, учир нь x ≥ 0).

A(0; 0) ба B(2; 0) цэгүүд нь графикийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм.

Өгөгдсөн шугамууд нь OAB дүрсийг бүрдүүлдэг бөгөөд үүнийг ангаахайгаар харуулав будаа. 4.

y = x 3 – 4x функц (0; 2) дээр сөрөг утгыг авдаг тул

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Бидэнд: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, үүнээс S = 4 кв. нэгж

Хариулт: S = 4 кв. нэгж

Жишээ 4.

y = 2x 2 – 2x + 1 парабол, x = 0, y = 0 шулуунууд болон абсцисса х 0 = 2 цэгт энэ параболын шүргэгчээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг ол.

Шийдэл.

Эхлээд абсцисса x₀ = 2 цэгт y = 2x 2 – 2x + 1 параболын шүргэгчийн тэгшитгэлийг байгуулъя.

Дериватив y’ = 4x – 2 тул x 0 = 2-ын хувьд k = y’(2) = 6 болно.

Шүргэх цэгийн ординатыг олъё: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Иймд шүргэгч тэгшитгэл нь y – 5 = 6(x ​​– 2) эсвэл y = 6x – 7 хэлбэртэй байна.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийг бүтээцгээе.

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабол. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд: A(0; 1) – Ой тэнхлэгтэй; Үхрийн тэнхлэгтэй - огтлолцох цэг байхгүй, учир нь 2x 2 – 2x + 1 = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, өөрөөр хэлбэл В параболын цэгийн орой нь B(1/2; 1/2) координаттай байна.

Тиймээс талбайг тодорхойлох шаардлагатай дүрсийг ангаахайгаар харуулав будаа. 5.

Бидэнд: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​байна.

Нөхцөлөөс D цэгийн координатыг олъё.

6x – 7 = 0, өөрөөр хэлбэл. x = 7/6, энэ нь DC = 2 – 7/6 = 5/6 гэсэн үг юм.

Бид DBC гурвалжны талбайг S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC томъёог ашиглан олдог. Тиймээс,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. нэгж

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (кв. нэгж).

Бид эцэст нь: S O A B D = S OABC – S ADBC  = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. нэгж) авна.

Хариулт: S = 1 1/4 кв. нэгж

Бид жишээнүүдийг харлаа Өгөгдсөн шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсүүдийн талбайг олох. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та хавтгай дээр функцүүдийн шугам, график зурах, шугамын огтлолцлын цэгүүдийг олох, тодорхой интегралыг тооцоолох чадварыг илэрхийлдэг талбайг олох томъёог ашиглах чадвартай байх хэрэгтэй.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Хэрэв та засварын ажлыг өөрөө хийхээр төлөвлөж байгаа бол барилгын болон өнгөлгөөний материалын тооцоог хийх шаардлагатай болно. Үүнийг хийхийн тулд та засварын ажил хийхээр төлөвлөж буй өрөөний талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Үүний гол туслах нь тусгайлан боловсруулсан томъёо юм. Өрөөний талбай, тухайлбал түүний тооцоолол нь танд маш их мөнгө хэмнэх боломжийг олгоно барилгын материалсуллагдсан санхүүгийн эх үүсвэрийг илүү тохиромжтой чиглэлд чиглүүлэх.

Өрөөний геометрийн хэлбэр

Өрөөний талбайг тооцоолох томъёо нь түүний хэлбэрээс шууд хамаардаг. Дотоодын барилгуудын хувьд хамгийн түгээмэл нь тэгш өнцөгт ба дөрвөлжин өрөөнүүд юм. Гэсэн хэдий ч дахин төлөвлөлтийн явцад стандарт хэлбэрийг гажуудуулж болно. Өрөөнүүд нь:

• Тэгш өнцөгт.
• Дөрвөлжин.
• Нарийн төвөгтэй тохиргоо (жишээлбэл, дугуй).
• Тор болон төсөөлөлтэй.

Тэд тус бүр өөрийн гэсэн тооцооллын онцлогтой боловч дүрмээр бол ижил томъёог ашигладаг. Ямар ч хэлбэр, хэмжээтэй өрөөний талбайг ямар нэгэн байдлаар тооцоолж болно.

Тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин өрөө

Тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин өрөөний талбайг тооцоолохын тулд сургуулийнхаа геометрийн хичээлийг санаарай. Тиймээс өрөөний талбайг тодорхойлоход хэцүү байх ёсгүй. Тооцооллын томъёо нь дараах байдалтай байна.

S өрөө=A*B, хаана

A нь өрөөний урт юм.

B нь өрөөний өргөн юм.

Эдгээр утгыг хэмжихийн тулд танд ердийн соронзон хэмжүүр хэрэгтэй болно. Хамгийн зөв тооцоог гаргахын тулд ханыг хоёр талдаа хэмжих нь зүйтэй. Хэрэв утгууд нь тохирохгүй бол үр дүнгийн өгөгдлийн дундажийг үндэс болгон авна уу. Гэхдээ аливаа тооцоолол нь өөрийн гэсэн алдаатай байдаг тул материалыг нөөцөөр худалдаж авах хэрэгтэй гэдгийг санаарай.

Нарийн төвөгтэй тохиргоотой өрөө

Хэрэв танай өрөө "ердийн" гэсэн тодорхойлолтод тохирохгүй бол, өөрөөр хэлбэл. тойрог, гурвалжин, олон өнцөгт хэлбэртэй бол тооцоололд өөр томъёо хэрэгтэй байж магадгүй юм. Та энэ шинж чанар бүхий өрөөний талбайг ойролцоогоор тэгш өнцөгт элементүүдэд хувааж, стандарт аргаар тооцооллыг хийж болно. Хэрэв танд ийм боломж байхгүй бол дараах аргуудыг ашиглана уу.

• Тойргийн талбайг олох томъёо:

S өрөө=π*R 2, хаана

R нь өрөөний радиус юм.

• Гурвалжны талбайг олох томъёо:

S өрөө = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), энд

P нь гурвалжны хагас периметр юм.

A, B, C нь түүний талуудын урт юм.

Тиймээс P=A+B+C/2

Тооцооллын явцад танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал өөрийгөө тамлахгүй, мэргэжлийн хүмүүст хандах нь дээр.

Төсөл, тор бүхий өрөөний талбай

Ихэнхдээ хана нь янз бүрийн тор, төсөөлөл хэлбэрээр гоёл чимэглэлийн элементүүдээр чимэглэгддэг. Түүнчлэн, тэдний оршихуй нь танай өрөөний зарим гоо зүйн бус элементүүдийг нуух хэрэгцээтэй холбоотой байж болох юм. Таны ханан дээр ирмэг эсвэл тор байгаа нь тооцооллыг үе шаттайгаар хийх ёстой гэсэн үг юм. Тэдгээр. Нэгдүгээрт, хананы хавтгай хэсгийн талбайг олж, дараа нь тор эсвэл цухуйсан хэсгийг нэмнэ.

Хананы талбайг дараах томъёогоор олно.

S хана = P x C, хаана

P - периметр

C - өндөр

Та мөн цонх, хаалга байгаа эсэхийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Тэдний талбайг үр дүнгийн утгаас хасах ёстой.

Олон түвшний таазтай өрөө

Олон түвшний тааз нь эхлээд харахад тооцооллыг төвөгтэй болгодоггүй. Хэрэв түүнд байгаа бол энгийн загвар, дараа нь та тор, проекцоор төвөгтэй хананы талбайг олох зарчим дээр үндэслэн тооцоо хийж болно.

Гэсэн хэдий ч, таны таазны загвар нь нуман хэлбэртэй, долгионтой төстэй элементүүдтэй бол шалны талбайг ашиглан түүний талбайг тодорхойлох нь илүү тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд танд хэрэгтэй:

1. Хананы бүх шулуун хэсгүүдийн хэмжээсийг ол.
2. Шалны талбайг ол.
3. Босоо хэсгүүдийн урт ба өндрийг үржүүлнэ.
4. Үр дүнгийн утгыг шалны талбайтай нэгтгэнэ.

Ерөнхий тодорхойлох алхам алхмаар зааварчилгаа

өрөөний талбай

1. Шаардлагагүй зүйлсээс өрөөг цэвэрлэ. Хэмжилт хийх явцад та өрөөнийхөө бүх хэсэгт чөлөөтэй нэвтрэх шаардлагатай тул үүнд саад болох бүх зүйлээс салах хэрэгтэй.
2. Өрөөг ердийн ба жигд бус хэлбэртэй хэсэгт нүдээр хуваа. Хэрэв таны өрөө хатуу дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй бол та энэ алхамыг алгасаж болно.
3. Өрөөний санамсаргүй зохион байгуулалтыг хий. Бүх өгөгдөл үргэлж гарт байхын тулд энэ зураг хэрэгтэй. Түүнчлэн, энэ нь танд олон тооны хэмжилтэнд төөрөлдөх боломжийг олгохгүй.
4. Хэмжилтийг хэд хэдэн удаа хийх ёстой. Энэ чухал дүрэмтооцооны алдааг арилгах. Түүнчлэн, хэрэв та үүнийг хэрэглэвэл цацраг нь хананы гадаргуу дээр тэгшхэн хэвтэж байгаа эсэхийг шалгаарай.
5. Өрөөний нийт талбайг ол. Томъёо нийт талбайөрөө нь өрөөний тусдаа хэсгүүдийн бүх талбайн нийлбэрийг олох явдал юм. Тэдгээр. S нийт = S хана+S шал+S тааз