พื้นที่ของตัวเลขบนกระดาษตาหมากรุก คำแนะนำฉบับสมบูรณ์ (2020) จะหาพื้นที่ของรูปได้อย่างไร? สูตรการหาพื้นที่ของตัวเลขต่างๆ

ความรู้เกี่ยวกับวิธีการวัดโลกปรากฏในสมัยโบราณและค่อยๆ เป็นรูปเป็นร่างในศาสตร์แห่งเรขาคณิต คำนี้แปลมาจากภาษากรีกว่า "การสำรวจที่ดิน"

การวัดขอบเขตของพื้นที่เรียบของโลกในด้านความยาวและความกว้างคือพื้นที่ ในคณิตศาสตร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษรละติน S (จากภาษาอังกฤษ "สี่เหลี่ยม" - "พื้นที่", "สี่เหลี่ยม") หรือตัวอักษรกรีกσ (ซิกมา) S หมายถึงพื้นที่ของร่างบนระนาบหรือพื้นที่ผิวของร่างกายและ σ คือพื้นที่หน้าตัดของเส้นลวดในฟิสิกส์ เหล่านี้เป็นสัญลักษณ์หลักแม้ว่าอาจมีอย่างอื่นเช่นในด้านความแข็งแกร่งของวัสดุ A คือพื้นที่หน้าตัดของโปรไฟล์

ติดต่อกับ

สูตรการคำนวณ

เมื่อทราบพื้นที่ของตัวเลขอย่างง่าย คุณสามารถค้นหาพารามิเตอร์ของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้นได้- นักคณิตศาสตร์โบราณได้พัฒนาสูตรที่สามารถใช้ในการคำนวณได้อย่างง่ายดาย ตัวเลขดังกล่าว ได้แก่ สามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยม วงกลม

การหาพื้นที่ของรูปทรงระนาบเชิงซ้อนนั้นแบ่งออกเป็นรูปง่ายๆ หลายๆ รูป เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู หรือสี่เหลี่ยม จากนั้นใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์จะได้สูตรมาสำหรับพื้นที่ของรูปนี้ วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้ไม่เพียงแต่ในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ด้วย เพื่อคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง

สามเหลี่ยม

เริ่มจากรูปที่ง่ายที่สุด - สามเหลี่ยมกันก่อน เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หน้าจั่ว และด้านเท่ากันหมด นำสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ที่มีด้าน AB=a, BC=b และ AC=c (∆ ABC) หากต้องการหาพื้นที่ ให้เรานึกถึงทฤษฎีบทไซน์และโคไซน์ที่รู้จักจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เมื่อละทิ้งการคำนวณทั้งหมดเราจะได้สูตรต่อไปนี้:

• S=√ - สูตรของนกกระสาที่ทุกคนรู้จัก โดยที่ p=(a+b+c)/2 คือกึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม
• S=a h/2 โดยที่ h คือความสูงลดลงไปทางด้าน a
• S=a b (sin γ)/2 โดยที่ γ คือมุมระหว่างด้าน a และ b;
• S=a b/2 ถ้า ∆ ABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ในที่นี้ a และ b เป็นขา)
• S=b² (sin (2 β))/2 ถ้า ∆ ABC เป็นหน้าจั่ว (ในที่นี้ b คือหนึ่งใน “สะโพก” β คือมุมระหว่าง “สะโพก” ของรูปสามเหลี่ยม)
• S=a² √∆ ถ้า ∆ ABC มีด้านเท่ากันหมด (โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยม)

จัตุรัส

ให้มีรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยมี AB=a, BC=b, CD=c, AD=d ในการค้นหาพื้นที่ S ของรูป 4 เหลี่ยมใดๆ คุณจำเป็นต้องหารมันด้วยเส้นทแยงมุมออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ซึ่งโดยทั่วไปแล้วพื้นที่ของ S1 และ S2 นั้นไม่เท่ากัน

จากนั้นใช้สูตรในการคำนวณและเพิ่มเข้าไป เช่น S=S1+S2 อย่างไรก็ตาม หากรูป 4 เหลี่ยมอยู่ในประเภทใดประเภทหนึ่ง พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนั้นสามารถหาได้จากสูตรที่รู้จักก่อนหน้านี้:

• S=(a+c) h/2=e h หากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (ในที่นี้ a และ c คือฐาน e คือเส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู h คือความสูงที่ลดลงถึงฐานใดฐานหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2 ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ในที่นี้ φ คือมุมระหว่างด้าน a และ b, h คือความสูงที่ตกไปทางด้าน a, d1 และ d2 เป็นเส้นทแยงมุม)
• S=a b=d²/2 ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (d คือเส้นทแยงมุม)
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 ถ้า ABCD คือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (a คือด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน φ คือมุมหนึ่งของมุมนั้น P คือเส้นรอบรูป)
• S=a²=P²/16=d²/2 ถ้า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปหลายเหลี่ยม

ในการค้นหาพื้นที่ของ n-gon นักคณิตศาสตร์จะแบ่งมันออกเป็นตัวเลขเท่ากันที่ง่ายที่สุด - สามเหลี่ยม ค้นหาพื้นที่ของแต่ละรูปแล้วบวกเข้าด้วยกัน แต่ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่ในคลาสปกติ ให้ใช้สูตร:

S=a n h/2=a² n/=P²/ โดยที่ n คือจำนวนจุดยอด (หรือด้านข้าง) ของรูปหลายเหลี่ยม a คือด้านของ n-gon, P คือเส้นรอบรูปของมัน, h คือเส้นตั้งฉาก กล่าวคือ a ส่วนที่ลากจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมไปทางด้านใดด้านหนึ่งด้วยมุม 90°

วงกลม

วงกลมคือรูปหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบซึ่งมีจำนวนด้านเป็นอนันต์- เราจำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของนิพจน์ทางด้านขวาในสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้าน n มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในกรณีนี้ เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมจะเปลี่ยนเป็นความยาวของวงกลมรัศมี R ซึ่งจะเป็นขอบเขตของวงกลม และจะเท่ากับ P=2 π R แทนนิพจน์นี้ลงในสูตรด้านบน เราจะได้รับ:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n บาป (180°/n))

ลองหาลิมิตของนิพจน์นี้ว่า n→∞ ในการทำเช่นนี้ เราพิจารณาว่า lim (cos (180°/n)) สำหรับ n→∞ เท่ากับ cos 0°=1 (lim คือสัญลักษณ์ของขีดจำกัด) และ lim = lim สำหรับ n→∞ คือ เท่ากับ 1/π (เราแปลงหน่วยวัดระดับเป็นเรเดียน โดยใช้ความสัมพันธ์ π rad=180° และใช้ลิมิตที่น่าทึ่งตัวแรก (sin x)/x=1 ที่ x→∞) แทนที่ค่าที่ได้รับลงในนิพจน์สุดท้ายของ S เราจะได้สูตรที่รู้จักกันดี:

S=π² R² 1 (1/π)=π R²

หน่วย

มีการใช้หน่วยการวัดที่เป็นระบบและไม่ใช่ระบบ- หน่วยระบบเป็นของ SI (System International) นี่คือตารางเมตร (ตร.เมตร, ตร.ม.) และหน่วยที่ได้มาจาก: mm², cm², km²

ตัวอย่างเช่นในหน่วยตารางมิลลิเมตร (mm²) พวกเขาวัดพื้นที่หน้าตัดของสายไฟในวิศวกรรมไฟฟ้าในหน่วยตารางเซนติเมตร (cm²) - ส่วนตัดขวางของคานในกลศาสตร์โครงสร้างในหน่วยตารางเมตร (m²) - ในอพาร์ทเมนต์หรือบ้านในตารางกิโลเมตร (กม. ²) - ในภูมิศาสตร์ .

อย่างไรก็ตาม บางครั้งมีการใช้หน่วยการวัดที่ไม่เป็นระบบ เช่น ลายสาน ar (a) เฮกตาร์ (ฮ่า) และเอเคอร์ (ac) ให้เรานำเสนอความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

• 1 ร้อยตารางเมตร=1 a=100 ตรม.=0.01 เฮกตาร์
• 1 เฮกตาร์=100 ก=100 เอเคอร์=10,000 ตรม.=0.01 กม.²=2.471 กระแสสลับ;
• 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 เอเคอร์ = 0.405 เฮกตาร์

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นค่าตัวเลขที่แสดงขนาดในพื้นที่สองมิติ ค่านี้สามารถวัดได้ในยูนิตระบบและยูนิตที่ไม่ใช่ระบบ ตัวอย่างเช่น หน่วยพื้นที่ที่ไม่ใช่ระบบคือหนึ่งในร้อยหรือเฮกตาร์ ในกรณีนี้หากพื้นผิวที่จะวัดเป็นผืนดิน หน่วยระบบของพื้นที่คือกำลังสองของความยาว ในระบบ SI หน่วยของพื้นที่ผิวเรียบคือตารางเมตร ใน GHS หน่วยของพื้นที่จะแสดงเป็นตารางเซนติเมตร

สูตรเรขาคณิตและพื้นที่มีความเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก การเชื่อมต่อนี้อยู่ที่ความจริงที่ว่าการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขเครื่องบินนั้นขึ้นอยู่กับการใช้งานอย่างแม่นยำ สำหรับตัวเลขจำนวนมาก มีหลายตัวเลือกที่ได้มาจากการคำนวณขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากข้อมูลจากเงื่อนไขของปัญหา เราสามารถระบุวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เป็นไปได้ สิ่งนี้จะช่วยอำนวยความสะดวกในการคำนวณและลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณให้เหลือน้อยที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาพื้นที่หลักของตัวเลขในเรขาคณิต

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ มีหลายตัวเลือก:

1) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคำนวณจากฐาน a และความสูง h ฐานถือเป็นด้านของร่างที่ลดความสูงลง แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ:

2) พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจะคำนวณในลักษณะเดียวกันหากพิจารณาด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นฐาน ถ้าเราเอาขาเป็นฐาน พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลคูณของขาลดลงครึ่งหนึ่ง

สูตรการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ ไม่ได้จบเพียงแค่นั้น อีกนิพจน์หนึ่งประกอบด้วยด้าน a,b และฟังก์ชันไซน์ซอยด์ของมุม γ ระหว่าง a และ b ค่าไซน์มีอยู่ในตาราง คุณสามารถค้นหาได้โดยใช้เครื่องคิดเลข แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ:

เมื่อใช้ความเท่าเทียมกันนี้ คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นถูกกำหนดผ่านความยาวของขาหรือไม่ เพราะ มุม γ เป็นมุมฉาก ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจึงถูกคำนวณโดยไม่ต้องคูณด้วยฟังก์ชันไซน์

3) พิจารณากรณีพิเศษ - สามเหลี่ยมปกติซึ่งด้าน a ทราบตามเงื่อนไขหรือความยาวของมันเมื่อแก้โจทย์ปัญหา ยังไม่มีใครรู้อะไรเกี่ยวกับตัวเลขในปัญหาเรขาคณิตอีกต่อไป แล้วจะค้นหาพื้นที่ภายใต้เงื่อนไขนี้ได้อย่างไร? ในกรณีนี้จะใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ:

สี่เหลี่ยมผืนผ้า

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมและใช้ขนาดของด้านที่มีจุดยอดร่วมได้อย่างไร? นิพจน์สำหรับการคำนวณคือ:

หากคุณจำเป็นต้องใช้ความยาวของเส้นทแยงมุมในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณจะต้องมีฟังก์ชันของไซน์ของมุมที่เกิดขึ้นเมื่อพวกมันตัดกัน สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมนี้คือ:

สี่เหลี่ยม

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกกำหนดให้เป็นกำลังสองของความยาวด้าน:

การพิสูจน์ตามมาจากคำจำกัดความที่ว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านทุกด้านที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะมีมิติเท่ากัน ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดังกล่าวจึงลงมาเพื่อคูณกันนั่นคือยกกำลังสองของด้าน และสูตรคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้รูปแบบที่ต้องการ

คุณสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ด้วยวิธีอื่น เช่น ถ้าคุณใช้เส้นทแยงมุม:

จะคำนวณพื้นที่ของร่างที่เกิดจากส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมได้อย่างไร? ในการคำนวณพื้นที่ มีสูตรดังนี้

สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้ประกอบด้วยมิติเชิงเส้นของด้าน ความสูง และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ - การคูณ หากไม่ทราบความสูง จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างไร? มีวิธีการคำนวณอื่น จะต้องระบุค่าที่แน่นอนซึ่งจะถูกนำไปใช้โดยฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่เกิดจากด้านที่อยู่ติดกันตลอดจนความยาวของมัน

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

จะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้อย่างไร? พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกกำหนดโดยใช้คณิตศาสตร์อย่างง่ายที่มีเส้นทแยงมุม การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนเส้นทแยงมุมใน d1 และ d2 ตัดกันที่มุมฉาก ตารางไซน์แสดงว่าสำหรับมุมฉากฟังก์ชันนี้จะเท่ากับความสามัคคี ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงคำนวณได้ดังนี้

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็สามารถพบได้ในอีกทางหนึ่ง การพิสูจน์ก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน เนื่องจากด้านของมันยาวเท่ากัน จากนั้นแทนที่ผลคูณของมันให้เป็นนิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน ท้ายที่สุดแล้ว กรณีพิเศษของตัวเลขนี้คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยที่ γ คือมุมภายในของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถูกกำหนดดังนี้:

สี่เหลี่ยมคางหมู

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านฐาน (a และ b) ได้อย่างไรหากปัญหาระบุความยาวของมัน? ที่นี่หากไม่มีค่าความสูงความยาว h ที่ทราบจะไม่สามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวได้ เพราะ ค่านี้มีนิพจน์สำหรับการคำนวณ:

ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมสามารถคำนวณได้ในลักษณะเดียวกัน คำนึงถึงว่าในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะรวมแนวคิดเรื่องความสูงและด้านข้างเข้าด้วยกัน ดังนั้น สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องระบุความยาวของด้านข้างแทนความสูง

ทรงกระบอกและขนานกัน

พิจารณาสิ่งที่จำเป็นสำหรับการคำนวณพื้นผิวของทรงกระบอกทั้งหมด พื้นที่ของรูปนี้คือวงกลมคู่หนึ่งที่เรียกว่าฐานและพื้นผิวด้านข้าง วงกลมที่ประกอบเป็นวงกลมจะมีรัศมียาวเท่ากับ r สำหรับพื้นที่ทรงกระบอกจะมีการคำนวณดังต่อไปนี้:

จะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบด้วยใบหน้าสามคู่ได้อย่างไร? การวัดนั้นตรงกับคู่ที่ระบุ ใบหน้าที่อยู่ตรงข้ามมีพารามิเตอร์เหมือนกัน ขั้นแรก หา S(1), S(2), S(3) - ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสของใบหน้าที่ไม่เท่ากัน จากนั้นพื้นที่ผิวของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ:

แหวน

วงกลมสองวงที่มีศูนย์กลางร่วมกันประกอบกันเป็นวงแหวน อีกทั้งยังจำกัดพื้นที่ของวงแหวนด้วย ในกรณีนี้ สูตรการคำนวณทั้งสองจะคำนึงถึงมิติของแต่ละวงกลมด้วย ประการแรกซึ่งคำนวณพื้นที่ของวงแหวนประกอบด้วยรัศมี R ที่ใหญ่กว่าและรัศมี r ที่น้อยกว่า มักเรียกว่าภายนอกและภายใน ในนิพจน์ที่สอง พื้นที่ของวงแหวนคำนวณผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง D ที่ใหญ่กว่าและเส้นผ่านศูนย์กลาง d ที่น้อยกว่า ดังนั้นพื้นที่ของวงแหวนตามรัศมีที่ทราบจึงคำนวณดังนี้:

กำหนดพื้นที่ของวงแหวนโดยใช้ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางดังนี้:

รูปหลายเหลี่ยม

จะหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีรูปร่างไม่ปกติได้อย่างไร? ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าว แต่ถ้าแสดงบนระนาบพิกัด เช่น อาจเป็นกระดาษตารางหมากรุก แล้วจะหาพื้นที่ผิวในกรณีนี้ได้อย่างไร ในที่นี้ใช้วิธีการที่ไม่ต้องใช้การวัดตัวเลขโดยประมาณ พวกเขาทำสิ่งนี้: หากพวกเขาพบจุดที่ตกลงไปที่มุมของเซลล์หรือมีพิกัดทั้งหมด ระบบจะพิจารณาเฉพาะจุดเหล่านั้นเท่านั้น หากต้องการทราบว่าพื้นที่คือเท่าใด ให้ใช้สูตรที่พีคพิสูจน์แล้ว จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนคะแนนที่อยู่ภายในเส้นแบ่งโดยมีคะแนนครึ่งหนึ่งวางอยู่บนนั้นและลบหนึ่งจุดนั่นคือ คำนวณด้วยวิธีนี้:

โดยที่ B, G - จำนวนจุดที่อยู่ภายในและบนเส้นขาดทั้งหมดตามลำดับ

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต- คุณลักษณะเชิงตัวเลขของรูปทรงเรขาคณิตที่แสดงขนาดของรูปนี้ (ส่วนหนึ่งของพื้นผิวถูกจำกัดด้วยเส้นขอบปิดของรูปนี้) ขนาดของพื้นที่แสดงด้วยจำนวนตารางหน่วยที่มีอยู่

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

1. สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านละสูง
   พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของระดับความสูงที่ลากมาทางด้านนี้
   
2. สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของเส้นรอบวงวงกลม
   
3. สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
   พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
   
โดยที่ S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม
- ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม
- ความสูงของรูปสามเหลี่ยม
- มุมระหว่างด้านข้างและ
- รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
R - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยม

1. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคูณความยาวด้าน
   พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้าน
2. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสตามแนวยาวแนวทแยง
   พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
   

   ส=	1	2
   	2

โดยที่ S - พื้นที่ของสี่เหลี่ยม
- ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- ความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านสองด้านที่อยู่ติดกัน

โดยที่ S - พื้นที่ของสี่เหลี่ยม
- ความยาวของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
   พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยพิจารณาจากด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง
   พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง
   

   ข บาป α

โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
- ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
- ความยาวของความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
- มุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

1. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวและความสูงของด้าน
   พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านกับความยาวของความสูงลดลงมาทางด้านนี้
2. สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวด้านและมุม
   พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของกำลังสองของความยาวของด้านกับไซน์ของมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
3. สูตรหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยพิจารณาจากความยาวของเส้นทแยงมุม
   พื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม
โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- ความยาวของความสูงของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- มุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
1, 2 - ความยาวของเส้นทแยงมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

1. สูตรของนกกระสาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู

   โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
   - ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
   - ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
   

การคำนวณพื้นที่ของรูป- นี่อาจเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดในทฤษฎีพื้นที่ ในเรขาคณิตของโรงเรียน พวกเขาได้รับการสอนให้ค้นหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐาน เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมู วงกลม ฯลฯ อย่างไรก็ตาม คุณมักจะต้องจัดการกับการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวจะสะดวกมากที่จะใช้แคลคูลัสอินทิกรัล

คำนิยาม.

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเรียกรูป G ที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง y = f(x), y = 0, x = a และ x = b และฟังก์ชัน f(x) จะต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ [a; b] และไม่เปลี่ยนเครื่องหมายของมัน (รูปที่ 1)พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสามารถเขียนแทนด้วย S(G)

อินทิกรัลจำกัดขอบเขต ʃ ab f(x)dx สำหรับฟังก์ชัน f(x) ซึ่งเป็นค่าต่อเนื่องและไม่เป็นค่าลบในช่วงเวลา [a; b] และคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

นั่นคือในการหาพื้นที่ของรูป G ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = f(x), y = 0, x = a และ x = b จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน ʃ a b f(x)dx .

ดังนั้น, S(G) = ʃ ab f(x)dx

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ไม่เป็นค่าบวกบน [a; b] จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งได้โดยใช้สูตร S(G) = -ʃ ab f(x)dx

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x 3; ย = 1; x = 2

สารละลาย.

เส้นที่กำหนดให้เป็นรูป ABC ซึ่งแสดงโดยการฟักไข่เข้าไป ข้าว. 2.

พื้นที่ที่ต้องการเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของ DACE สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งและ DABE สี่เหลี่ยมจัตุรัส

เมื่อใช้สูตร S = ʃ ab f(x)dx = S(b) – S(a) เราจะพบขีดจำกัดของอินทิเกรต เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้ระบบสมการสองสมการ:

(ย = x 3,
(ย = 1.

ดังนั้น เรามี x 1 = 1 – ขีดจำกัดล่าง และ x = 2 – ขีดจำกัดบน

ดังนั้น S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (ตร.หน่วย)

ตอบ : 11/4 ตร.ว. หน่วย

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = √x; ย = 2; x = 9.

สารละลาย.

เส้นที่กำหนดให้เป็นรูป ABC ซึ่งถูกจำกัดไว้ด้านบนด้วยกราฟของฟังก์ชัน

y = √x และด้านล่างคือกราฟของฟังก์ชัน y = 2 ผลลัพธ์ที่ได้จะแสดงโดยการฟักไข่ใน ข้าว. 3.

พื้นที่ที่ต้องการคือ S = ʃ ab (√x – 2) มาหาขีดจำกัดของการอินทิเกรตกัน: b = 9 เพื่อหา a เราจะแก้ระบบสมการสองสมการ:

(y = √x,
(ย = 2.

ดังนั้นเราจึงได้ x = 4 = a - นี่คือขีดจำกัดล่าง

ดังนั้น S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (ตร.หน่วย)

ตอบ ส = 2 2/3 ตร.ม. หน่วย

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y = x 3 – 4x; ย = 0; x ≥ 0

สารละลาย.

เรามาพลอตฟังก์ชัน y = x 3 – 4x สำหรับ x ≥ 0 กัน โดยหาอนุพันธ์ของ y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 ที่ x = ±2/√3 data 1.1 – จุดวิกฤต

หากเราพล็อตจุดวิกฤตบนเส้นจำนวนและจัดเรียงเครื่องหมายของอนุพันธ์ เราจะพบว่าฟังก์ชันลดลงจากศูนย์เป็น 2/√3 และเพิ่มจาก 2/√3 ไปเป็นบวกอนันต์ จากนั้น x = 2/√3 คือจุดต่ำสุด ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน y min = -16/(3√3) หยาบคาย -3

ลองกำหนดจุดตัดของกราฟด้วยแกนพิกัด:

ถ้า x = 0 แล้ว y = 0 ซึ่งหมายความว่า A(0; 0) คือจุดตัดกับแกน Oy

ถ้า y = 0 แล้ว x 3 – 4x = 0 หรือ x(x 2 – 4) = 0 หรือ x(x – 2)(x + 2) = 0 โดยที่ x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (ไม่เหมาะสม เนื่องจาก x ≥ 0)

จุด A(0; 0) และ B(2; 0) คือจุดตัดกันของกราฟที่มีแกน Ox

เส้นที่กำหนดจะสร้างรูป OAB ซึ่งแสดงโดยการฟักไข่ ข้าว. 4.

เนื่องจากฟังก์ชัน y = x 3 – 4x รับค่าลบบน (0; 2) ดังนั้น

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

เรามี: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4 โดยที่ S = 4 ตร.ม. หน่วย

ตอบ ส = 4 ตร.ม. หน่วย

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา y = 2x 2 – 2x + 1 เส้น x = 0, y = 0 และค่าแทนเจนต์ของพาราโบลานี้ ณ จุดที่มี abscissa x 0 = 2

สารละลาย.

ขั้นแรก เรามาสร้างสมการแทนเจนต์ของพาราโบลา y = 2x 2 – 2x + 1 ที่จุดที่มี abscissa x₀ = 2

เนื่องจากอนุพันธ์ y’ = 4x – 2 ดังนั้นสำหรับ x 0 = 2 เราจะได้ k = y’(2) = 6

มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5

ดังนั้นสมการแทนเจนต์จึงมีรูปแบบ: y – 5 = 6(x ​​​​– 2) หรือ y = 6x – 7

มาสร้างรูปที่มีขอบเขตด้วยเส้น:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – พาราโบลา จุดตัดกับแกนพิกัด: A(0; 1) – ด้วยแกน Oy; กับแกนวัว - ไม่มีจุดตัดกันเพราะว่า สมการ 2x 2 – 2x + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ (D< 0). Найдем вершину параболы:

xข = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2 นั่นคือจุดยอดของพาราโบลาจุด B มีพิกัด B(1/2; 1/2)

ดังนั้น ร่างที่ต้องกำหนดพื้นที่จึงจะแสดงโดยการฟักไข่ ข้าว. 5.

เรามี: S O A B D = S OABC – S ADBC

ลองหาพิกัดของจุด D จากเงื่อนไข:

6x – 7 = 0 เช่น x = 7/6 ซึ่งหมายถึง DC = 2 – 7/6 = 5/6

เราหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม DBC โดยใช้สูตร S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC ดังนั้น,

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 ตร.ม. หน่วย

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (ตร.หน่วย)

ในที่สุดเราก็ได้: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (ตร. หน่วย)

ตอบ ส = 1 1/4 ตร.ม. หน่วย

เราได้ดูตัวอย่างแล้ว การหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นที่กำหนด- เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าวได้สำเร็จ คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นและกราฟของฟังก์ชันบนระนาบ ค้นหาจุดตัดกันของเส้น ใช้สูตรเพื่อค้นหาพื้นที่ ซึ่งแสดงถึงความสามารถในการคำนวณอินทิกรัลบางอย่าง

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

หากคุณกำลังวางแผนที่จะปรับปรุงตัวเอง คุณจะต้องประมาณการวัสดุก่อสร้างและตกแต่ง ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องคำนวณพื้นที่ของห้องที่คุณวางแผนจะปรับปรุงใหม่ ตัวช่วยหลักในเรื่องนี้คือสูตรที่พัฒนาขึ้นเป็นพิเศษ พื้นที่ของห้องคือการคำนวณจะช่วยให้คุณประหยัดเงินได้มากในวัสดุก่อสร้างและควบคุมทรัพยากรทางการเงินที่ว่างไปในทิศทางที่เหมาะสมยิ่งขึ้น

รูปทรงเรขาคณิตของห้อง

สูตรการคำนวณพื้นที่ห้องโดยตรงขึ้นอยู่กับรูปร่างของมัน โดยทั่วไปสำหรับอาคารในประเทศคือห้องสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยม อย่างไรก็ตาม ในระหว่างการพัฒนาขื้นใหม่ รูปแบบมาตรฐานอาจบิดเบี้ยวได้ ห้องพักได้แก่:

• สี่เหลี่ยม
• สี่เหลี่ยม.
• การกำหนดค่าที่ซับซ้อน (เช่น แบบกลม)
• มีช่องและการคาดการณ์

แต่ละรายการมีคุณสมบัติการคำนวณของตัวเอง แต่ตามกฎแล้วจะใช้สูตรเดียวกัน สามารถคำนวณพื้นที่ของห้องที่มีรูปร่างและขนาดไม่ทางใดก็ทางหนึ่งได้

ห้องสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยม

ในการคำนวณพื้นที่ของห้องสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้จำบทเรียนเรขาคณิตของโรงเรียนไว้ ดังนั้นการกำหนดพื้นที่ของห้องจึงไม่ใช่เรื่องยาก สูตรการคำนวณมีลักษณะดังนี้:

ห้อง S=A*B โดยที่

A คือความยาวของห้อง

B คือความกว้างของห้อง

ในการวัดค่าเหล่านี้คุณจะต้องใช้เทปวัดปกติ เพื่อให้ได้การคำนวณที่แม่นยำที่สุด ควรวัดผนังทั้งสองด้าน หากค่าไม่ตรงกันให้ใช้ค่าเฉลี่ยของข้อมูลผลลัพธ์เป็นเกณฑ์ แต่โปรดจำไว้ว่าการคำนวณใด ๆ ก็มีข้อผิดพลาดของตัวเอง ดังนั้นคุณควรซื้อวัสดุพร้อมสำรอง

ห้องที่มีโครงสร้างซับซ้อน

หากห้องของคุณไม่ตรงกับคำจำกัดความของ "ทั่วไป" เช่น มีรูปร่างเป็นวงกลม สามเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยม ดังนั้นคุณอาจต้องใช้สูตรคำนวณที่แตกต่างกัน คุณสามารถลองแบ่งพื้นที่ห้องที่มีลักษณะนี้ออกเป็นองค์ประกอบสี่เหลี่ยมคร่าวๆ และคำนวณด้วยวิธีมาตรฐาน หากคุณไม่มีโอกาสนี้ให้ใช้วิธีต่อไปนี้:

• สูตรการหาพื้นที่วงกลม:

ห้อง S=π*R 2 โดยที่

R คือรัศมีของห้อง

• สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม:

ห้อง S = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)) โดยที่

P คือกึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม

A, B, C คือความยาวของด้านข้าง

ดังนั้น P=A+B+C/2

หากคุณมีปัญหาใด ๆ ในระหว่างขั้นตอนการคำนวณจะเป็นการดีกว่าที่จะไม่ทรมานตัวเองและหันไปหาผู้เชี่ยวชาญ

พื้นที่ของห้องที่มีการฉายภาพและซอก

บ่อยครั้งที่ผนังตกแต่งด้วยองค์ประกอบตกแต่งในรูปแบบของช่องหรือโครงต่างๆ นอกจากนี้การปรากฏตัวของพวกเขาอาจเนื่องมาจากความจำเป็นในการซ่อนองค์ประกอบที่ไม่สวยงามบางอย่างในห้องของคุณ การมีหิ้งหรือช่องบนผนังของคุณหมายความว่าควรทำการคำนวณเป็นขั้นตอน เหล่านั้น. ขั้นแรกให้พบพื้นที่ของส่วนเรียบของผนังจากนั้นจึงเพิ่มพื้นที่ของช่องหรือส่วนที่ยื่นออกมา

หาพื้นที่ของผนังตามสูตร:

ผนัง S = P x C โดยที่

P - เส้นรอบวง

ค - ความสูง

คุณต้องคำนึงถึงการมีหน้าต่างและประตูด้วย พื้นที่ของพวกเขาจะต้องถูกลบออกจากค่าผลลัพธ์

ห้องที่มีเพดานหลายระดับ

เพดานหลายระดับไม่ทำให้การคำนวณยุ่งยากเท่าที่เห็นในครั้งแรก หากมีการออกแบบที่เรียบง่ายคุณสามารถคำนวณตามหลักการหาพื้นที่ของผนังที่ซับซ้อนด้วยช่องและเส้นโครง

อย่างไรก็ตาม หากการออกแบบเพดานของคุณมีองค์ประกอบโค้งและมีลักษณะคล้ายคลื่น การกำหนดพื้นที่โดยใช้พื้นที่พื้นจะเหมาะสมกว่า ในการทำเช่นนี้คุณต้องมี:

1. ค้นหาขนาดของผนังส่วนตรงทั้งหมด
2. หาพื้นที่พื้น.
3. คูณความยาวและความสูงของส่วนแนวตั้ง
4. รวมค่าผลลัพธ์กับพื้นที่พื้น

คำแนะนำทีละขั้นตอนในการพิจารณาทั่วไป

พื้นที่ห้อง

1. เคลียร์ห้องจากสิ่งที่ไม่จำเป็น ในระหว่างขั้นตอนการวัด คุณจะต้องเข้าถึงทุกพื้นที่ในห้องของคุณได้ฟรี ดังนั้นคุณจึงต้องกำจัดสิ่งใดก็ตามที่อาจรบกวนสิ่งนี้
2. แบ่งห้องออกเป็นพื้นที่ปกติและไม่สม่ำเสมอด้วยสายตา หากห้องของคุณมีรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็สามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้
3. จัดทำแผนผังห้องแบบสุ่ม จำเป็นต้องมีภาพวาดนี้เพื่อให้ข้อมูลทั้งหมดอยู่ในมือเสมอ นอกจากนี้ยังจะไม่ทำให้คุณมีโอกาสสับสนในการวัดต่างๆ
4. ต้องทำการวัดหลายครั้ง นี่เป็นกฎสำคัญเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณ นอกจากนี้ หากคุณใช้งาน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าลำแสงวางราบกับพื้นผิวผนัง
5. หาพื้นที่รวมของห้อง สูตรสำหรับพื้นที่รวมของห้องคือการหาผลรวมของพื้นที่ทั้งหมดของแต่ละส่วนของห้อง เหล่านั้น. S รวม = ผนัง S+พื้น S+เพดาน S